小學生數學符號感培育的路徑探究

摘?要：義務教育數學課程標準提出了數學改革的十大核心概念，其中數學符號感就明確了具體目標要求。數學符號感是一種學生對數學符號系統的認知和理解的文化積累，要投入大量的心智成本去理解數學語言的意義，光靠記憶、背誦口訣是不行的。在數學文化的視域下，文章提出了小學生培育數學符號感的意義;小學生數學符號感培育的特征;小學生數學符號感培育的途徑與方法三個命題，為一線教師提升新課程標準執行力助力。

關鍵詞：數學;符號感;培育

義務教育數學課程標準把數學思想和方法列入教育目標，歸納成十個核心素養，其中符號感也是十大核心素養之一。數學符號是一種含義高度概括，形體高度濃縮的抽象科學語言。小學生學習數學要在數學符號發展的歷史長河中，認識符號、理解符號、運用符號，感受數學符號的文化意義，從而提升自己的數學文化素養，建樹一種探索創新的科學精神。

一、 小學生數學符號感培育的意義

數學符號是用以表示概念、數量關系的記號，是記錄數學理念和方法，建立概念和思維運算的專用文字，對人類的數學文化發展起著極其重大的意義。首先，數學符號的出現是數學誕生與發展的重要標志，不同地區、不同文化、不同民族都有各自的數學符號標記。其次，數學符號簡明直觀，準確簡約表達和交流人的思維活動過程，體現了數學美。最后，數學符號化，使數學發展的抽象化具有可操作性。小學生學習數學就像學習一門新的語言一樣，走進了一個嶄新的符號系統，用屬于數學專用的語言認識世界，交流自己的思維活動。

從文化學的視角看數學符號的產生，有跟漢字造字相通之處。學生數學符號感的產生是對人類文化的深度理解，是對人類智慧的高度信仰。例如圓周率π，最重要的并不是只知道什么是圓周率，或者圓周率≈3.14，最重要的是理解π符號背后的文化信息：中國文化對圓周率產生的貢獻;π隱含的有限與無限哲理;數的擴充等等。學生從具體事物到數字符號完成了第一次抽象，從數字符號到概念符號和運算符號完成了第二次抽象，學生符號感的產生是學生抽象思維的層級發展過程。

二、 小學生數學符號感培育的特征

數學符號的產生和發展來自生產和生活，最早產生的是自然數、幾何圖形。自然數概念符號依賴于算術運算，早期都用“表意”和“縮寫轉注”方式呈現。幾何數學符號一般都比較直觀，用“象形”方式呈現。例如三角形用“△”表示，垂直用“⊥”表示等等。小學生數學符號感的形成是一種跨文化的認知實踐，學好、用好世界統一的數學符號是學生數學核心素養的目標要求。

（一）小學生數學符號感培育的三個不同階段

第一階段是圖性直觀體驗階段。幼兒時期接觸的數字符號，并不告訴他們符號是怎樣發展而來的，只是從自然物件中抽象成一個記號，“2”像小鴨，“3”像耳朵，“5”像秤鉤等，“加”“減”是通過操作體驗形成概念的。第二階段是義性識記階段。例如：“∵”“∴”表示因為……所以……，π表示圓周率，S表示面積，V表示體積等等。某個字母，某個記號表示某個特定的概念，要依靠學生的識記能力掌握數學符號的義性。第三階段是唯義抽象階段。小學生在學習“字母表示數”后，對數學符號的認識就進入了唯義抽象階段，這種抽象是后繼學習數學的基礎，高等數學的符號基本上都是唯義抽象的。小學生在符號感缺失的條件下，經常會犯以下錯誤：4+15=415，a+1b=a1b，4、5是數字符號，4+15=415是成立的，a、b是字母符號，a+1b=a1b就不成立了。唯義抽象階段的學習要求學生掌握符號的定義域和特殊的符號含義，要深度理解符號背后的概念、定義和表述的實際意義。

（二）從a+1b=a1b的錯誤分析說起

教材“字母表示數”是從實物、圖形、數字、符號逐步拓展的，最后用字母表示特殊數、特殊單位名稱，為引進方程概念及代數運算作鋪墊。其實運種教材的編排是有缺陷的，教材只關注了數學符號的實用意義，忽視了數學符號文化意義的建構。字母表示數不僅是數學表達形式的變化，而且表示了人類對數學符號抽象思維層級上的變化和提升。4+15是數字明確的自然數“4”和15個單位“1”的合并，4+15=415是成立的。a+1b中，“a”和“b”都是任意數，在小學生學習數學階段可以是自然數，也可以是小數、分數，小學高年級可以理解為有理數。a+1b≠a1b，應該是a+1b=abb+1b=ab+1b，只有當a、b都是自然數并且b≠0時，a+1b=a1b才成立。數學符號感是建立在符號背后意義深度理解基礎上的一種直義的感覺，要在理解的基礎上加以運用，又要在運用中加深意義的理解。

（三）學生中算術思維轉入代數思維，在數學的表達上往往會犯錯誤

算術式的表達是用幾個等號連接表達其運算過程，例如（20+5）×4=25×4=100，但是代數中的解方程，學生往往犯算術表達式的錯誤，老師一般只強調書寫格式的規范，不明其中符號背后的意義，例如：x+5=6×2，x=6×2-5=12-5=7，老師要求學生訂正，學生并不理解為什么。x+5=6×2是一個方程，x=6×2-5也是一個方程，且是一個等價方程，解方程的過程是未知量參與的等式恒等變形，x+5=6×2→x=6×2-5→x=12-5→x=7始終在方程思維的軌道上展開，歸根結底，學生并不是書寫上的錯誤，而是用算術思維去看待代數思維的學習內容。

小學生數學符號感的培育是一種數學文化實踐，要有識憶、理解、應用、評價的認知過程，教師要從數學符號的意義著手，在習題練習中加深學生對數學符號意義的深度理解，從直觀層面提升到抽象概念層面，把學生學習數學的過程回歸到數學發展的歷史長河。

三、 小學生數學符號感培育的途徑與方法

人生活在三個世界：物理世界、精神世界、自我世界。學習是三個世界的三種文化實踐，即認知實踐、文化實踐和自我批判和反思性實踐。學校是一種特殊學習的社會性場域，學生在指定的課程中進行有意義的學習活動，許多核心素養是通過符號將文化一代一代傳承下去的。某種意義上講，學校的學習是通過語言符號作媒介有序展開的，數學符號只是許多語言符號中極其重要的一種。準確理解符號，靈活應用符號，使用數學符號來表達自己的思維過程，提煉自己對世界事物的認知，這是學習數學的根本目的。

（一）課堂教學要與小學生的生活經驗相銜接

人的任何一種語言符號的產生都離不開生活實踐，數學符號的產生也如此。但是任何一種語言符號系統都高于生活，并在創新中不斷發展。小學生學習數學本質上是一種符號性學習，依靠的是理解、分析和應用，并不單純的依靠記憶。課堂教學要與生活現實情境相結合，但是不能強調數學生活化而拋棄了數學抽象化、簡約化的本質。要把數學語言和生活語言、藝術語言區分開來。例如，平時我們講大于20，那么20是否包括在大于范圍內呢？不夠明確。A>20就非常明確20不包括在內，A≥20就明確了20包括在內，這在醫院里各種化驗報告上經常見到。數學符號的產生來源于生活，并應用于生活，這種現象可稱作“回歸”。我們在培育小學生數學符號感方面，要精心挑選生活中的案例，佐證符號的文化意義，激活學生的符號意識。

（二）數學教學要講一些數學發展史

小學數學教材十分注意教學知識跟生活實際的結合，但是并沒有突出數學的文化本質，很少講到數學在人類文明史中的貢獻。例如圓的概念知識。事實上人類對圓的認識和探究是繼火的應用、鐵的發明之后的第三個文明進步，有了圓的認識，才有車的發明。以后的機械發明、建筑離不開圓，甚至于人類對宇宙的認識也認為“天圓地方”。我們在講數學符號“π”時，只講π是圓周率，圓周長跟直徑的比約等于 3.1416。如果我們再講一講π背后的故事：中國數學史中的疏率和密率，π的有限與無限，茅以升爺爺背3.1415926……的故事等等，小學生對“π”的認知就不會僅僅停留在3.14上，而會對數學符號產生一種學術信仰，從而帶來一種數學符號感的自覺追求。

（三）在弄清數學符號意義的基礎上，盡量鼓勵學生用符號來推理運算和表達自己的思維過程

閱讀不僅僅是語文學科的任務，而且也是數學、音樂、美術學科的基本任務。小學生能讀懂數學例題，并用自己的思維模式理解例題，這是非常重要的。大多數老師總是把數學教科書當作練習冊，把練習冊當作教科書，只讓學生反復做，不讓學生反復想，由此學生害怕數學，討厭數學，喪失學習數學的信心。

與閱讀同行的是表達。閱讀是符號變成心智，表達是心智變成符號的可逆心理過程。小學生很少有用數學符號表達自己思維過程的機會，很少要求講一講算理。例如：學習多位數，學生只知道背數位，不知道265=2×100+6×10+5×1的展開式。到了小學高年級，自然數的展開式ab……yz=a×10m-1+b×10m-2+……+y×101+z×100的意義就不理解了。數學的閱讀能力和寫作表達能力與語文學科是同等重要的，要鼓勵小學生寫數學小論文。

（四）要注意小學生運算符號和數量符號的混淆

數學符號是有分類的，但符號是不能運算的，只有數量才能運算。因為表示數量的字母可以用不同的數替代，有的甚至可以用式子代替，任何一個數學符號都有內在的條件，不能參加運算，不能濫用。倒如平均數，表示一群數的相對集中的程度。一年級數學測驗成績的平均數=一年級所有學生測驗成績的總和一年級學生總人數，如果知道每個班級的成績平均數1、2、3、4，不能用1+2+3+44來計算，這是班級平均數的集中程度而不是所有學生測驗成績的集中程度，況且要跟事物的離散程度綜合起來評估才有現實意義。目前，我們以班級學科測驗成績的來評定教學質量的優劣，是不科學的，造成了學生學業負擔過重，學習障礙學生被遺棄，拼命進行無意義的重復操練等等。運算符號和數量符號混淆，學習數學符號“一鍋煮”，給學生后繼學習帶來的后果是災難性的。教師要主動指導學生有意識地提高自己學習數學符號“依形思義，形義結合”的實際能力。

數學符號有一個發展和創新的過程。許多符號存在“一符多義”和“一義多符”的現象，教師要嚴格要求學生規范準確使用世界數學界統一的符號，一定要做到對數學符號的意義、讀寫、含義準確無誤，數學教師也要一絲不茍。

作為義務教育數學課程目標的十大核心素養之一的數學符號感的培育是一個長期的浸潤性目標任務，光靠記憶和反復操練是完全不夠的，要依靠長年的心智和經驗的積累。新課程目標為一個各格的小學數學教師提出了一個符合時代發展要求的新的專業發展要求，把數學符號感的培育納入數學教育的新視野，用數學文化的新視角，創新和改革我們的數學課堂教學新范式，這是深化新課程標準改革，全面推進素質教育的新任務。

參考文獻：

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[4]張奠宙，等.小學數學教材中的達道理：核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2017.

作者簡介：

吳永華，江蘇省蘇州市，蘇州市敬文實驗小學校。