基于弗賴登塔爾教育思想的“任意角三角的函數”教學設計

叢彥明 馬曉慧

數學來源于生活，最終也要為生活所用，所以教師要善于將數學知識與生活實際相聯系，引導學生在合適的教學情境中思考、探究，以形成數學知識框架。教師需要為學生提供應用知識的途徑，讓學生運用數學語言表達出整個信息加工的過程。

如三角函數的知識點多且關聯性較強，與任意角的三角函數概念相關聯的，有任意角、誘導公式、三角函數圖像與性質等。當下，學生已掌握銳角三角函數，但當角的范圍擴大到任意角時，學生經常把任意角的三角函數看作是銳角三角函數的一般化形式，不能很好地從函數角度分析和解決問題。下面，筆者以弗賴登塔爾的教育思想為理論基礎，重新思考任意角的三角函數教學設計，突出邏輯性和思維性，優化教學過程。

一、教學目標

第一，知識與技能目標是掌握任意角的三角函數的概念及其蘊含的函數思想。

第二，過程與方法目標是從數學現實出發，借助單位圓與角的終邊的交點坐標關系，探究概念及其性質。

第三，情感態度與價值觀目標是體會數形結合的思想，引導學生參與知識生成過程。

二、教學重點和難點

教學重點是理解并掌握定義、求三角函數值 。教學難點是理解任意角的三角函數概念及其性質。

三、教學過程

教師提問：“求30度和60度的三角函數值。”學生主動回答后，教師再提問：“你們是怎么求得這些值的？那么sinα，cosα，tanα怎么求？”

設計意圖：從學生已有的數學現實來創設問題情境，讓學生在頭腦中將新問題與原有的認知結構建立聯系，從而減少了數學的抽象性，提高了課堂教學效率。

問題1：從名稱上看，銳角和任意角的區別在角的范圍，說一說任意角是什么？

問題2：結合任意角特有的性質，給任意角的三角函數下定義。

問題3：如圖1所示，設單位圓與角的終邊相交于上點P（x，y），過點P作x軸的垂線交x軸于點M，那么sinα，cosα，tanα怎么求？

問題4：如圖2所示，改變點P的位置，三角函數會發生什么變化？

問題5：如圖3所示，當|OP|=1時，此時三角函數會發生什么變化？

問題6：比較兩組公式，有什么發現？

問題7：三角函數起源于古人對天體運動的研究，是一種周期性函數。哪組公式可以反映任意角的三角函數概念的本質？

通過分析，可得任意角的三角函數定義為：設α是任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：①y叫作α的正弦，記作sinα，即sinα=y;②x叫作α的余弦，記作cosα，即cosα=x;③比值叫作α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）。

問題8：從這三個表達式中，是否能找出其蘊含的函數關系？

設計意圖：學生從數學情境出發，尋求任意角的三角函數的定義。運用數形結合的思想方法，通過類比確定任意角的三角函數的概念，此過程即為數學化。

課堂練習：書上例1、例2。

設計意圖：通過習題訓練達到數學應用知識的目的，即再創造，這有助于鞏固和深化學生對概念的理解，提高學生分析問題和解決問題的能力，做到學以致用。

在這個過程中，教師可以提問：“談一談，你收獲了什么，還有哪些困惑？”學生回答后，再由教師進行整理。

設計意圖：以問題的形式讓學生歸納所學，及時構建知識網絡，優化了學生的知識結構。

（作者單位：貴州師范大學）