積分常數法在中值定理中的證明及應用

潘嶸 宋宗余

摘 要：通過積分常數法證明中值定理，啟發學生的思維，加深其對問題的理解和解決問題的能力.

關鍵詞：微分中值定理;變上限積分;原函數;構造函數

[中圖分類號]O172.1 ? [文獻標志碼]A

Abstract：The mean value theorem is proved by the integral constant method，Which inspires students' thinking，deepens the understanding of the problem and the ability to solve the problem

Key words：differential mean value theorem;change upper integral;original function;constructor function

微分中值定理是大學數學中重要的定理之一，是微分教學的重要內容.教學難點是，證明過程中要構造一個合適的輔助函數，因此，輔助函數的構造就成為中值定理教學的關鍵.在大多數大學數學中，拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理的證明都是直接給出輔助函數，利用輔助函數滿足羅爾（Rolle）中值定理得出結論，沒能將前后知識合理銜接.筆者給出一種新的輔助函數構造技巧方法-積分常數法，這里對拉格朗日和柯西中值定理進行證明.

積分常數法證明柯西中值定理要注意的是，柯西中值定理表達式包含兩個不同的函數.在實際處理問題時，要注意變形.

微分中值定理很好地刻畫了導數的局部性和函數的整體性關系，是聯系導數和函數之間關系的橋梁紐帶.中值定理的證明關鍵是構造合適的輔助函數，輔助函數法是解決數學問題重要的思想方法，是非常有效的數學工具.進行構造的目的是：如果不能按正常的邏輯關系推理得到問題的結論時，就要從新的角度觀點出發，另辟蹊徑，依據已知的信息創造性的解決問題.

2 結束語

本文從羅爾中值定理的應用出發，明確羅爾定理證明問題構造輔助函數的解題思路，順理成章地構造出合理的輔助函數，從而證明出相應的結論，變形要盯住目標.由于解決問題的途徑常常不是唯一的，在平時的學習中，應考慮如何才能更快有效的解決問題，注意可能途徑之間的選擇，體現出對知識的靈活運用，有助于邏輯思維的訓練，形成知識網絡.公式的形式要懂得推廣，在構造輔助函數的過程中，要多留意經常用的模型，只要條件允許，f″（x）←→f′（x）←→f（x）←→∫xaf（t）dt，相鄰兩項均可使用中值定理.

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編輯：吳楠