相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理深度剖析

摘 要：給出相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理的推導(dǎo)過程，對(duì)相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理進(jìn)行深度透視，探討其概念、原理及應(yīng)用，對(duì)比其與相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理的差異性.

關(guān)鍵詞：理論力學(xué);速度瞬心;動(dòng)量矩定理;時(shí)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

[中圖分類號(hào)]O313.3 ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Abstract：The theorem of angle momentum is a powerful tool for solving the dynamic problems of plane motion of rigid bodies.In theoretical mechanics textbooks，only the angle momentum theorem about mass center is given，but the angle momentum theorem about instantaneous center is not given.Because of the instantaneity of instantaneous center，students often have disputes and errors in solving a problem.This paper gives a deductive process of the theorem，which is compatible with the current theoretical mechanics teaching system. In order to deepen understanding of the theorem and to use it correctly，we also make a deep perspective on the theorem，discusses its concept，principle and application，and compare the difference of it with the angle momentum of mass center.

Key words：theoretical mechanics;instantaneous center;theorem of angle momentum;time-varying moment of inertia

動(dòng)量矩定理是解決剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題的一個(gè)有力工具.在理論教材中，只是給出了相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理[1]，沒有給出相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理.由于速度瞬心的瞬時(shí)性，學(xué)生在采用該定理解題過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)爭議和錯(cuò)誤，故有必要對(duì)相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理進(jìn)行深度剖析，理清其概念和原理.文獻(xiàn)[2]給出了質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，文獻(xiàn)[3]全面總結(jié)了動(dòng)量矩的定義及關(guān)系，給出了非慣性參考系下的動(dòng)量矩定理.文獻(xiàn)[4-5]討論了關(guān)于對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理，并給出了證明，得到了一般形式.文獻(xiàn)[6]探討了相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理及教學(xué)應(yīng)用.這些研討對(duì)于提升理論力學(xué)的教學(xué)效果是十分有益的，然而文獻(xiàn)[4-6]的推導(dǎo)過程和目前的理論力學(xué)教學(xué)體系不兼容，很難給學(xué)生講清楚.本文基于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，推導(dǎo)平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)于速度瞬心的動(dòng)量矩定理，并且給出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量形式，探討其在求解剛體平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題中的應(yīng)用.

1 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩包括兩種：質(zhì)點(diǎn)系絕對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩.文獻(xiàn)[3-7]中的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩均是指質(zhì)點(diǎn)系絕對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩，本文亦是如此.文獻(xiàn)[2]以簡潔的形式證明了質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，本文直接引用其結(jié)論，不進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo).

2 平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理

在理論力學(xué)教材中，講述了相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，速度瞬心和質(zhì)心具有明顯不同的屬性，主要區(qū)別如下：

（1）質(zhì)心是一個(gè)確定的點(diǎn)，而速度瞬心在不同時(shí)刻是不同的點(diǎn)，具有瞬時(shí)性.

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體各點(diǎn)到質(zhì)心的距離不變，而剛體各點(diǎn)在不同時(shí)刻到速度瞬心的距離是不一樣的.

（3）教材推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理時(shí)，將動(dòng)參考系固結(jié)在質(zhì)心上，在定參考系觀察，質(zhì)心是運(yùn)動(dòng)的;在動(dòng)參考系中，質(zhì)心就是坐標(biāo)原點(diǎn)，是一個(gè)固定點(diǎn)，而速度瞬心無論是從定參考系還是動(dòng)參考系中觀察都是時(shí)刻改變的點(diǎn).

（4）在理論力學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生及大部分教師最熟悉的是通過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或者剛體相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩，在這兩種情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不變的，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為常數(shù).采用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩與上述情況不同，由于速度瞬心具有時(shí)變性，所以相對(duì)速度瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量亦是時(shí)變的.

綜上所述，能否對(duì)速度瞬心取動(dòng)量矩及如何理解相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理就成了教學(xué)中的難點(diǎn).要突破教學(xué)難點(diǎn)，必須理解速度瞬心的特殊性.現(xiàn)行理論力學(xué)教材只闡述了速度瞬心的定義及確定方法，沒有講授速度瞬心的動(dòng)軌跡及定軌跡，對(duì)講授相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理造成了障礙.

2.1 關(guān)于速度瞬心的補(bǔ)充

在運(yùn)動(dòng)剛體上的不同瞬時(shí)瞬心點(diǎn)的軌跡稱為瞬心動(dòng)軌跡 .[2]在剛體運(yùn)動(dòng)過程中，在不同瞬時(shí)，參考平面上與速度瞬心相重合的點(diǎn)稱為定軌跡點(diǎn)，由定軌跡點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡稱為瞬心定軌跡.[2]值得注意的是，速度瞬心是位于剛體上的點(diǎn)，即動(dòng)參考系中的點(diǎn);定軌跡點(diǎn)是參考平面內(nèi)的點(diǎn)，即固定參考系的點(diǎn).如圖2所示，圓盤在地面上以角速度ω純滾動(dòng)，在S時(shí)刻，其速度瞬心為PS，PS位于圓盤上;定軌跡點(diǎn)為P′S，P′S位于地面.在S時(shí)刻，P′S與PS相重合.在地面上，由不同時(shí)刻的P′S點(diǎn)所組成的曲線即為定軌跡.在圓盤上，由不同時(shí)刻的PS點(diǎn)所組成曲線即為瞬心動(dòng)軌跡.對(duì)于純滾動(dòng)的圓盤，瞬心定軌跡為直線，瞬心動(dòng)軌跡為圓弧.

從（8）式中可以看出：

（1）當(dāng)質(zhì)心到速度瞬心的距離保持不變（例如，圓盤在平面上純滾動(dòng)時(shí)，速度瞬心為圓盤與平面的接觸點(diǎn)，此時(shí)圓盤質(zhì)心到速度瞬心的距離不變，始終為圓盤的半徑），即d為常數(shù)時(shí)，則d·=0，（8）式退化為（9）式.

（2）關(guān)于時(shí)間的函數(shù)d取極值點(diǎn)時(shí)（最大值或最小值）時(shí)，則d·=0，（8）式退化為（9）式.

（3）當(dāng)ω→=0時(shí)（例如剛體做平面運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻），（8）式亦可以退化為（9）式.

2.3 典型例題分析

均勻質(zhì)量的細(xì)桿AB長為l，質(zhì)量為m， A端放在光滑的水平面上，當(dāng)細(xì)桿AB受到微小擾動(dòng)倒下時(shí)，求其剛剛到達(dá)地面時(shí)的地面約束反力.[1]

3 結(jié)論

目前，針對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體相對(duì)于速度瞬心的動(dòng)量矩定理的教學(xué)內(nèi)容，僅限于教學(xué)輔導(dǎo)書及一些教研論文.在教學(xué)過程中，部分學(xué)生喜歡運(yùn)用相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩定理，以取得相對(duì)簡潔的解法.學(xué)生們及部分教師在理解該定理上有一定的困難.為了避免運(yùn)用該定理解題過程中可能會(huì)引起的錯(cuò)誤和爭議，與目前的理論力學(xué)教學(xué)體系兼容的講授該定理，筆者深度剖析其基本概念，闡述其與相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩的異同，澄清了對(duì)該定理的認(rèn)識(shí)誤區(qū)以及對(duì)速度瞬心理解的不足.

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編輯：吳楠