面向幾何直觀和計算思維的線性代數混合式教學方案

張大明 李璐 劉華勇

摘 要：提出一種面向幾何直觀和計算思維的線性代數課程混合式教學方案.新的混合教學模式可以在線性代數中培養學生的幾何直觀能力和計算思維能力，既有利于教師持續提高教學水平，也有利于學生提高信息化學習能力和自我思考能力.

關鍵詞：線性代數;幾何直觀;計算能力;混合式教學

[中圖分類號]G623.5 ? [文獻標志碼]A

Abstract：A teaching scheme based on geometric intuition and calculating ability in linear algebra course is proposed.The new blended teaching scheme aims to improve the geometric intuition and calculating ability in linear algebra course.Then，the teaching competence of teaches will be polished，and the informatization learning ability and the self-taught ability will be improved at the same time.

Key words：linear algebra;geometric intuition;calculating ability;blended teaching

線性代數問題廣泛存在于自然科學和工程技術的各個領域中，其理論和方法得到廣泛的重視和應用.線性代數是高等數學中的經典理論課程，對于培養學生的抽象思維和科學素養具有重要作用，是理學和工學等專業的公共基礎課.線性代數的概念因其抽象性和形式化，使得學生在學習過程中產生了較大的困難.學生難以理解線性空間理論中的形式化，更難以解釋形式化的概念跟幾何或線性方程組理論中更直觀內容之間的關系.

形式化將數學定義為嚴密的證明科學，做數學的唯一方法就是進行證明，只有通過嚴密證明得到確定的數學結論，才是完成了做數學的過程.杜賓斯基[1]指出，學生在學習線性代數時，遇到困難的原因包括：（1）教師是教學的主導者，他在教學過程中完全是單向的向學生灌輸各種概念、定義和定理，學習的內容和必要的操作也是完全由教師來告訴學生.數學思維的過程是完全由教師來進行展示和操作，學生往往不理解概念的意思，但是可以直接進行計算的操作.學生只記住了概念，就可以直接應用相關的算法來解題——如用高斯消去法進行初等行變換，可以得到矩陣的階梯形——這是線性代數的優點，同時也是數學教學所面臨的弱點和挑戰.（2）學生缺乏對于線性代數所需背景概念的理解，這些背景概念往往能夠解決線性代數之外的很多問題.通常這些問題是數學家所不關心的，也是數學教師所不了解的，但對于學生的學習而言卻很重要——它們助于建立學習的動機.（3）缺乏有效的教學策略讓學生形成自己的思考.一味的接受現成的理論和方法，不利于幫助學生建構自己對概念的理解.

線性代數的某些概念在三維以下空間中具有形象的幾何意義.從數學的發展來看，幾何與代數是很難完全分離的，所以線性代數的幾何化能夠真正建立概念意象.人們設計并實施以幾何的方式融入線性代數教學的方案，將線性代數概念賦予更多具體的幾何意義，以此克服抽象的概念所帶來的困難和形式化的障礙.[2-3]但同時也需要注意到，從幾何的角度引入概念，會讓學生很難與代數表征關聯起來，在推廣形式化概念的過程中會遇到一些困難.[4]由于幾何只能限于三維空間，如秩、合同等概念，在幾何情境下講述就會受到很大的限制.所以，幾何直觀在線性代數中雖然是一種常用的手段，但在現實幾何中的使用常常流于表面，甚至是膚淺的.對于學生而言，在線性代數中利用幾何表示或以幾何為參照物，并不總是有益的.換言之，幾何參照有時成了學生理解一般線性代數的障礙.因此，幾何直觀會成為一個積極的因素，但必須加以精心設計和使用，要在把與代數的聯系講清楚的條件下使用.[5-6]

1 幾何直觀教學實踐

混合式教學的思路：教學要由直觀到抽象，由低維到高維，再指導具體的問題解決.首先，闡述線性代數概念中的低階幾何意義，借助數學軟件演示實現數與形的結合，使得學生能直觀的體會概念在二維三維空間中的幾何意義;其次，推廣到一般的高維空間中去，抽取具體幾何意義，在抽象的意義上進行論證，在具體幾何應用中講解其一般概念.

1.1 從二維、三維的幾何意義出發使學生領會教學內容的本質

線性方程組是線性代數中最為經典和重要的內容.一般比較重視高斯消去法解法步驟的教學，注重對方程組無解、唯一解和無窮解的秩的判別方法解釋，往往會陷入到機械的解題步驟訓練和枯燥定理的記憶中去，不利于學生深刻把握問題的實質.筆者從二維、三維的幾何意義出發，使學生更加容易領會教學內容的本質.

A和A～分別表示方程組系數矩陣和增廣矩陣.

這種歸納教學，非常有利于學生將方程組理論用幾何圖形進行直觀，理解.進一步把方程組推廣到高維情形下，用圖形幫助學生理解方程組解的情形的判定，深入理解方程組中一系列定理的本質.

r是系數矩陣的秩，也是最終方程的個數，n是未知數的個數，n-r是自由未知量的個數.n=r則沒有自由未知量，那么，解當然就唯一（圖4（a）），否則r

1.2 利用正交變換保持圖形幾何性質不變的特性，解決復雜的二次曲面（線）形狀問題

正交變換有保持圖形幾何性質不變的特性，對于解決復雜的二次曲面（線 ）的形狀問題具有很大的優越性.一些二次曲面，直接看不出它的圖形類別，通過正交變換之后，就可以判斷曲面的類型.這個過程相當于從幾何圖形上尋求二次型主軸的問題，通過正交變換使得相應矩陣對角化，即找其主軸大小和方向，也就是求矩陣的特征值和特征向量.用特征向量組成正交矩陣，把二次型對角化，簡化二次型，從而判斷二次曲面的類型.

例如判斷方程3x2+4xy+2z2=1所代表的二次曲線類型.方程左邊實際上是三元的二次型，可設為f（x，y，z）=3x2+4xy+2z2，其對應矩陣為：3 2 02 0 00 0 2.

容易求得其特征值為4，2，-1，從而可得原二次曲面的標準方程為4x21+2y21-z21=1，易知該曲面為單頁雙曲面，見圖5.

三元二次曲面的圖形大致可以分類為橢球面、雙曲面、圓錐面、柱面、平面及直線等，其標準的二次曲面方程參考文獻[7].

二次型的幾何意義除了體現在判斷二次曲面的幾何形狀外，其正定性也有明顯的幾何意義.當函數為正定二次型時，可由坐標變換化為系數全為正的標準型，于是圖形橫切面f（x，y）=c是以原點為中心的橢圓族，隨著c減小且趨于零而收縮到原點.

如f（x，y）=14x2+y2是一個正定二次型，它的圖像是一個開口朝上的橢圓拋物面，整個曲面除頂點在坐標平面原點上，其余均在x oy平面的上方（圖6（a））;f（x，y）=2x2是半正定二次型，它是一個開口朝上的拋物柱面，整個曲面有一條母線在x oy面上，其余均在x oy面上方（圖6（b））;f（x，y）=xy是一個不定二次型，圖形是一個馬鞍面，顯然馬鞍面上正值、負值、零都是存在的（圖6（c））.

2 計算思維教育

計算思維教育是將知識傳授與能力的培養相結合，著眼于使用計算機方法實現對數據的處理與模型求解.計算思維是以表達和計算為特征進行問題求解、系統設計以及人類行為理解的思維活動.[8]

計算思維貫穿于理工科的各個專業.作為理論基礎課程的線性代數，其內容與本質和培養學生的計算能力和創新能力是一致的，大數據和人工智能是以矩陣向量等為工具進行基本數據計算實現模型的推理.線性代數的一些主要計算方法體現了許多計算思維的本質問題——如行列式、矩陣初等變換、矩陣求逆等問題——有著非常規整和嚴格的算法，也非常適合算法設計與計算機實現，學生在大學低年級階段，通過線性代數課程的學習，可以提高建模能力和計算思維能力.

第一，有利于教師個性化指導.混合式教學可以進行線上線下多方面的交流與指導，深程度地參與學生的監督與交流過程，多方面掌握學生的學習效果與特征，為學生提供豐富的學習資源，實現因材施教，個性化教學，最終提高學生對概念的理解.

第二，有利于對學生計算思維、邏輯思維以及自學能力的培養.學生在設計算法和編制程序時，需要從數據的結構出發，考慮程序的嚴謹性，還需要查閱資料，進行廣泛的閱讀.教師通過引導學生分析和完善示例程序，從定義到手工計算，再到算法設計和編程以及程序的調制，通過一系列的學習流程，提升學生的計算能力.

第三，混合式教學可以實現理論與實際相結合，綜合提高學生的思維能力、計算能力和動手能力，實現理論知識、設計算法和編程的學習，為后續專業學習培養堅實的計算思維能力.

筆者以逆矩陣的求解問題為例，說明計算思維教育的具體做法.

3 結論

提出一種面向幾何直觀和計算思維的線性代數課程混合式教學方案.新的教學方案可以在線性代數中培養學生的幾何直觀能力，培養學生的計算思維能力，既有利于教師持續提高教學水平，也有利于學生提高信息化學習能力和自我思考能力.

參考文獻

[1]DUBINSKY E.Some thoughts on a first course in linear algebra at the college level [C].CARLSON D，JOHONSON，C R，LAY D C.Resources for the teaching of linear algebra.The Mathematical Association of America，1997：85–105.

[2]杜美華，孫衛衛.三元齊次線性方程組的幾何解法[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2014（3）：8-10.

[3]宋曉輝.線性代數教學中學生邏輯思維能力的培養[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2014（1）：62-64.

[4]CARLSON D，JOHNSON C，LAY，et al.The Linear algebra curriculum study group recommendations for the firstcourse in linear algebra [J].College Mathematics Journal，1993 （24）：41–46.

[5]David C.Lay，Steven R.Lay，Judi J.McDonald.Linear Algebra and its Applications 5e[C].Linear algebra and its applications.Wiley-Interscience，2004.

[6]陳懷琛.論工科線性代數的現代化與大眾化[C].中國電子教育學會高教分會2011年論文集，2011.

[7]任廣千，謝聰，胡翠芳. 線性代數的幾何意義[M].西安：西安電子科技大學出版社，2015.

[8]Wing J M.Computational thinking[J].Communications of The ACM，2006，49（3）：33-35.

[9]Golub G H，Loan C F V.Matrix Computations[M].Johns Hopkins University Press，1996.

編輯：吳楠