導數背景下的函數對稱性探究

陜西省西安惠安中學 (710302) 龍正祥

利用導數研究函數的單調性，解決函數的極值、 最值、零點等問題成為當下高考關注的熱點，關于導數與函數單調性的研究頗深.但利用導數研究函數的對稱性的案例較少，導致在解決函數對稱性時很少考慮導數這條解題思路.本文通過梳理函數自對稱結論的基礎上，研究導函數與原函數的對稱性關系及應用，希望能給讀者在解決這類問題時提供一點啟示.

1 函數自對稱結論的梳理

定理1 函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(a-x)=f(a+x)成立.

證明：(充分性)若f(a-x)=f(a+x)對定義域內的每一個x恒成立，設點P(x,f(x))是y=f(x)圖像上任意一點，則它關于直線x=a的對稱點Q坐標為 (2a-x,f(x))，∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x)，∴點Q(2a-x,f(x))的坐標滿足方程y=f(x)，即點Q(2a-x,f(x))也在函數y=f(x)的圖像上，∴函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.

(必要性)若函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，設M(x,y)是函數y=f(x)的圖像上的任意一點，則y=f(x)的圖像上點M(x,y)關于直線x=a的對稱點為N(2a-x,y)，∵y=f(x)的圖像上關于直線x=a對稱，點N在y=f(x)的圖像上，∴f(2a-x)=y， ∴f(2a-x)=f(x).∴f(a-x)=f(2a-(a+x))=f(a+x).

推論1.1 函數y=f(x)的圖像關于直線x=0(y軸)對稱(偶函數)的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(-x)=f(x)成立.

推論1.2 函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(2a-x)=f(x)成立.

定理2 函數y=f(x)的圖像關于點(a,b)對稱的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(a-x)+f(a+x)=2b成立.

證明：(充分性)若f(a-x)+f(a+x)=2b對定義域內的每一個x恒成立，設點P(x,f(x))是y=f(x)圖像上任意一點，則它關于點(a,b)的對稱點Q坐標為 (2a-x,2b-f(x))，∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=2b-f[a-(a-x)]=2b-f(x)，∴點Q(2a-x,2b-f(x))也在函數y=f(x)的圖象上，∴函數y=f(x)的圖像關于點(a,b)對稱.

(必要性)若函數y=f(x)的圖像關于點(a,b)對稱，設M(x,y)是函數y=f(x)的圖像上的任意一點，則y=f(x)的圖像上點M(x,y)關于點(a,b)的對稱點為N(2a-x,2b-y).∵y=f(x)的圖像上關于點(a,b)對稱，且點N在y=f(x)的圖像上，∴f(2a-x)=2b-y， ∴f(2a-x)=2b-f(x)，∴f(a-x)=f(2a-(a+x))=2b-f(a+x)，∴f(a-x)+f(a+x)=2b.

推論2.1 函數y=f(x)的圖像關于點(0,0)(原點)對稱(奇函數)的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(-x)+f(x)=0成立.

推論2.2 函數y=f(x)的圖像關于點(a,b)對稱的充要條件是對定義域內的每一個x恒有f(2a-x)+f(x)=2b成立.

2 兩個函數對稱性的關系

定理3 記定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x),則函數y=f(x)的圖象關于點(a,f(a))對稱的充要條件是導函數f′(x)的圖像關于直線x=a對稱.

證明：(充分性)若f′(x)的圖像關于直線x=a對稱，則由推論1.2得f′(2a-x)=f′(x)，從而有

(必要性)若函數y=f(x)的圖像關于點(a,f(a))對稱，則由推論2.2得f(x)+f(2a-x)=2f(a)，從而兩邊求導可得f′(x)-f′(2a-x)=0，即f′(x)=f′(2a-x).故由推論1.2得函數f′(x)的圖像關于直線x=a對稱.

推論3 若函數f(x)為可導的奇函數，則其導函數f′(x)為偶函數.

定理4 記定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x),則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是導函數f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱.

(必要性)若函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，則由推論1.2得f(x)=f(2a-x)，從而兩邊求導可得f′(x)=-f′(2a-x)，即f′(x)+f′(2a-x)=0.故由推論2.2得函數f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱.

推論4.1 若函數f(x)為可導的偶函數，則其導函數f′(x)為奇函數.

推論4.2 記定義在R上的可導函數f(x)的導函數為f′(x)，若函數f(x)圖像關于直線x=a對稱，則必有f′(a)=0.

3.實例分析

思路1：利用定理1，建立恒等式，從而得到實數a的值.

施工承建單位的項目經理是項目建設質量、進度和投資控制的關鍵。一個具有較豐富施工管理經驗和質量意識、敬業精神、責任心都強的項目經理，在承擔中標工程項目任務時，都會挑選自己信任的得力助手，包括主管生產的副經理、總工、質檢負責人等。這樣的經理進場后，以他為核心的項目組會結合工程施工實際制定施工措施和質量管理辦法等，并且能落到實處，保障工程施工建設得以順利進行。

思路2：利用推論4.2，通過求導函數，而得到實數a的值.

點評：思路1利用傳統方法(定理1)，建立恒等式，通過三角恒等變換，得到實數a的值，思路2利用導函數與原函數對稱性的關系，問題很容易得到了解決，這就是“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的數學文化，這就是“潤物細無聲”的數學抽象素養和數學運算素養的培養.

例2 求函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖像的對稱中心.

思路1：利用待定系數法，通過定理2建立恒等式來解決.

解法1：設對稱中心為點(m,n),由f(m-x)+f(m+x)=2n,得a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n,化簡得(3am+b)x2+am3+bm2+cm+d=n,要使上式恒成立，

思路2：利用定理3，通過探求導函數的對稱性，解決原函數的對稱性.

點評：思路1利用傳統方法(定理2)，建立恒等式，通過多項式的運算和化簡，得到了對稱中心，思路2利用導函數與原函數對稱性的關系，將三次函數的對存在性問題轉化成了二次函數的對稱軸問題，這就是“柳暗花明又一村”的數學文化，這就是數學抽象素養(導數)“四兩撥千斤”的價值體現,這就是邏輯推理素養與“無形之有形”中的培養.

4.考題鏈接

題1 (2017年Ⅱ卷文第13題)函數f(x)=2cosx+sinx的最大值.

題2 (2018年Ⅰ卷文第6題) 已知函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( ).

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

解析：由推論3知，二次函數f′(x)=3x2+2(a-1)x+a為偶函數，從而得a=1，此時f(x)=x3+x，f′(x)=3x2+1，k=1，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x，故選D.