培養(yǎng)建模能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

張 燕 （江蘇南通市天星湖中學(xué)）

伴隨著科技和文化的蓬勃發(fā)展，學(xué)校響應(yīng)科技時(shí)代對高層人才的需求，為社會培養(yǎng)出創(chuàng)新型人才，而創(chuàng)新型人才一般都具有深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)底蘊(yùn)，所以我們應(yīng)該將重心放在如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題上，而在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生建模能力，能有助于提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、提出假設(shè)，簡化問題

細(xì)細(xì)研究高中生解決數(shù)學(xué)問題的過程，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍存在一個(gè)弊病。那就是在碰到數(shù)學(xué)問題時(shí)，不是對這個(gè)問題進(jìn)行詳細(xì)的分析，提出合理假設(shè)，然后通過驗(yàn)證假設(shè)選擇合理的解決方案，而是不管三七二十一直接從問題的表象出發(fā)，解決問題。事實(shí)上通過對問題的分析，提出假設(shè)進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題在某種意義上有利于簡化問題。

如，在教學(xué)蘇教版高中數(shù)學(xué)必修五第二章第三節(jié)“等比數(shù)列”一課時(shí)，筆者首先讓學(xué)生回顧上節(jié)課講的等差數(shù)列的內(nèi)容，并簡單概括等差數(shù)列的特點(diǎn)，在學(xué)生充分掌握等差數(shù)列這個(gè)知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上引入等比數(shù)列的概念；然后讓學(xué)生根據(jù)他們所掌握的等差數(shù)列的特點(diǎn)猜想等比數(shù)列的特點(diǎn)，并提出假設(shè)；緊接著讓學(xué)生以小組為單位針對提出的假設(shè)進(jìn)行討論，探討出驗(yàn)證假設(shè)的方法；最后筆者再以一個(gè)例題為代表講解：已知{an}為等比數(shù)列，且a1=3、a2=9、a3=27……求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并求出該等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和。筆者本著循循善誘的原則逐步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)他們提出的假設(shè)，求出該等比數(shù)列的比值q 及前n 項(xiàng)和Sn，并引導(dǎo)他們推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，學(xué)生通過就問題本質(zhì)提出假設(shè)，并對其進(jìn)行詳細(xì)分析，然后展開探究的這種學(xué)習(xí)方法，將復(fù)雜的問題簡單化了。

其實(shí)高中生已經(jīng)具備一定的邏輯思維，所以數(shù)學(xué)教育者如果能充分發(fā)揮這一優(yōu)勢，在課前通過引導(dǎo)學(xué)生就所學(xué)內(nèi)容的問題提出相應(yīng)的假設(shè)，然后組織學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)探討。這在一定程度上有助于將復(fù)雜問題簡單化，而且在另一方面有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，進(jìn)而提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、刻畫關(guān)系，建立結(jié)構(gòu)

我們都知道，在教學(xué)過程中，教師是學(xué)生的引導(dǎo)者，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所以在教學(xué)過程中我們要時(shí)刻堅(jiān)守這個(gè)原則。尤其是講授立體幾何知識點(diǎn)時(shí)，要將這一點(diǎn)發(fā)揮到極致，做到拋磚引玉，讓學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)會自己刻畫幾何中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，從而為立體幾何這個(gè)知識點(diǎn)建立一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。

例如，在教學(xué)必修二第一章第二節(jié)“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”一課時(shí)，有的學(xué)生由于缺乏空間想象力，無法用肉眼觀察出點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確掌握這節(jié)課的知識點(diǎn)，為了輔助學(xué)生更好地理解并掌握這節(jié)知識點(diǎn)，筆者以最簡單的立方體ABCD-A'B'C'D' 作為典型代表，將這個(gè)立方體ABCD-A'B'C'D' 放在空間直接坐標(biāo)系里，分別取AD、CD、A'B'、B'C'的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、GH，讓學(xué)生證明線段EF與線段GH 的位置關(guān)系，學(xué)生通過直觀的視覺觀察，判斷出EF//GH，于是將這兩條線段刻畫成平行關(guān)系，然后筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量的方法證明這兩條線段的平行關(guān)系，從而建立系統(tǒng)的立體幾何結(jié)構(gòu)，為下次碰到類似的幾何證明位置關(guān)系題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

縱觀各所學(xué)校的教學(xué)措施，我們不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在越來越多的學(xué)校注重培養(yǎng)學(xué)生觀察以及構(gòu)建相關(guān)知識結(jié)構(gòu)的能力，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用這種教學(xué)方式，將有利于學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識，而且在某種程度上也能更好地提高學(xué)生獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)他們邏輯思維能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、獲取數(shù)據(jù)，做出計(jì)算

高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容大多以數(shù)據(jù)為核心，而數(shù)據(jù)的處理對于大部分高中生來說也是一大難題，所以傳授學(xué)生如何用正確的方法處理數(shù)據(jù)、做出計(jì)算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)者的重中之重。在教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理數(shù)據(jù)類問題。

在教學(xué)選修1-1 第三章第四節(jié)“生活中的優(yōu)化問題舉例”一課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理應(yīng)用型問題時(shí)總是因無法找到相關(guān)數(shù)量關(guān)系而措手不及、無從下手。為了幫助學(xué)生找到解決這類問題的最佳方法，筆者給學(xué)生講了一道與生活相關(guān)的導(dǎo)數(shù)例題：某工廠生產(chǎn)某種毛絨玩具，每件玩具的成本為30 元，并且每件玩具的加工費(fèi)為t 元（2＜t＜5），設(shè)該工廠每件玩具出廠價(jià)為x 元（35＜x＜41），根據(jù)市場調(diào)查，日銷量與ex 呈反比例，當(dāng)每件玩具的出場價(jià)為40 元時(shí)，日銷量為10件，問當(dāng)每件玩具的日銷量為多少時(shí)，該工廠利潤y 最大，并求出y 的值。筆者引導(dǎo)學(xué)生首先根據(jù)x 的定義域列出日利潤y與每件玩具的出廠價(jià)x 的函數(shù)關(guān)系式，然后對這個(gè)函數(shù)求一階導(dǎo)，求出當(dāng)一階導(dǎo)為零時(shí)對應(yīng)的x，并將相對應(yīng)的x 代入到函數(shù)關(guān)系式中，進(jìn)而求出最大利潤。

學(xué)生通過從實(shí)際問題中獲取數(shù)據(jù)，并根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，反復(fù)推敲、分析，從而做出計(jì)算，在這個(gè)過程中學(xué)生不僅掌握了導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的運(yùn)用，而且也學(xué)會了處理函數(shù)問題。這在教學(xué)中是十分值得借鑒的，能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、跨越學(xué)科，綜合應(yīng)用

學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程就是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題抽象化、結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)化，并能夠運(yùn)用所學(xué)去分析、解決問題，最終實(shí)現(xiàn)指導(dǎo)實(shí)踐、學(xué)以致用的過程。同時(shí)，這里所指的綜合運(yùn)用知識的范疇并不僅局限于數(shù)學(xué)概念、規(guī)則及原理等一門學(xué)科內(nèi)容，跨學(xué)科知識的綜合應(yīng)用也是教師可以關(guān)注的方向。

如，在教學(xué)必修二“基本立體圖形”的內(nèi)容時(shí)，需要讓學(xué)生掌握柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征?；趯W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，筆者首先為學(xué)生準(zhǔn)備了一些不同形狀、不同類型的柱、錐、臺、球的實(shí)物模型，先引導(dǎo)學(xué)生通過觀察對幾何體進(jìn)行分類，并以小組討論的形式，歸納和總結(jié)柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。這時(shí)候?qū)W生對這節(jié)內(nèi)容已經(jīng)基本熟悉了，再鼓勵(lì)學(xué)生利用美術(shù)課堂所學(xué)，如素描、透視理論，嘗試透過實(shí)物、抓住本質(zhì)特征，畫出這些幾何體的三維空間模型。就這樣，在數(shù)學(xué)與美術(shù)的融合下，學(xué)生對這節(jié)課的內(nèi)容有了更深刻的理解和印象，之后再學(xué)習(xí)立體圖形的相關(guān)內(nèi)容就容易多了。

我們說數(shù)學(xué)是最基本，也是最具有科學(xué)哲理的學(xué)科。如果說培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是要引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角去建立數(shù)量關(guān)系、解決實(shí)際問題的話，那么支撐學(xué)生完成建模過程的就是數(shù)學(xué)與各學(xué)科的知識積累與綜合運(yùn)用。

五、拓展延伸，豐富素材

隨著時(shí)代的進(jìn)步與發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科也在深度、廣度上不斷得以擴(kuò)展和提升。那么，我們的教學(xué)不能只局限于課堂內(nèi)容的理論知識，而是要關(guān)注和引入學(xué)科的前沿知識、最新發(fā)展，在對所學(xué)內(nèi)容做拓展延伸、豐富素材的過程中調(diào)動學(xué)生刻畫關(guān)系、建立模型的積極性。

如，在教學(xué)必修三中“算法”的內(nèi)容時(shí)，為了使學(xué)生能夠重視算法學(xué)習(xí)，理解算法在不同領(lǐng)域的重要作用，筆者為學(xué)生準(zhǔn)備了算法在多個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用素材。往大了說，舉世矚目的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度學(xué)習(xí)是如今非常熱門的算法，往小了說，現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題，還有學(xué)生常用的搜索引擎，都離不開算法的應(yīng)用。就搜索引擎來講，搜索引擎技術(shù)的提升使其涉及的算法復(fù)雜程度不斷提升，但從最基礎(chǔ)來講，其本源就是簡單的搜索算法。這時(shí)候筆者再引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)和建構(gòu)一個(gè)搜索算法，學(xué)生的積極性會更強(qiáng)，學(xué)習(xí)效果也會更好。

我們對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)實(shí)質(zhì)上是為了引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的持續(xù)能力，使之能夠在掌握數(shù)學(xué)概念、原理等理論知識的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)建模意識，感悟數(shù)學(xué)思想，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，以此來幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，推動學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

六、融入生活，解決問題

人們都說，數(shù)學(xué)是一門生活化特別強(qiáng)的學(xué)科，它與我們生活中的方方面面都息息相關(guān)，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入生活元素，將在一定程度上調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力。

如，在教學(xué)蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 第二章第三節(jié)“拋物線”一課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對拋物線這個(gè)概念理解不到位，于是筆者引用生活中的例子：一座拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面為5 米時(shí)，水面寬為10 米，那么當(dāng)水面降低2 米時(shí)，水面寬度將增加多少米呢？學(xué)生積極思考，踴躍回答道：可以建立平面直角坐標(biāo)系，以過拱頂且垂直水面的直線為y 軸。以水面為x軸，從而將原來水面上各個(gè)點(diǎn)字坐標(biāo)的形式表示出來，求出相對應(yīng)的拋物線方程，再將當(dāng)水面降低時(shí)的點(diǎn)代入拋物線方程中求出相對應(yīng)的水面寬度，從而就可以求解出水面寬度到底增加了多少米了？聽到學(xué)生的回答。筆者十分欣慰，并鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)知識靈活運(yùn)用到生活中，解決生活中的實(shí)際問題。

我們應(yīng)該多鼓勵(lì)學(xué)生為數(shù)學(xué)知識點(diǎn)構(gòu)建相應(yīng)的模型。然后讓其聯(lián)系生活，靈活運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，它不僅能幫助解決生活中的一些復(fù)雜問題，而且學(xué)生通過構(gòu)建模型解決生活問題，能有效做到學(xué)以致用。從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透建模思想，培養(yǎng)學(xué)生建模能力為教育核心，這樣的話，能有效開發(fā)學(xué)生的潛力，讓學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化，而且在另一方面能有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。所以，將建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)校實(shí)施素質(zhì)教育具有遠(yuǎn)大而重要的意義。