高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題教學(xué)

江蘇省海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 徐 鍵

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式與函數(shù)、幾何以及方程都是非常重要的內(nèi)容，為了讓學(xué)生掌握解題方法，提高學(xué)生對(duì)于不等式內(nèi)容的掌握和運(yùn)用水平，高中數(shù)學(xué)教師要對(duì)幾類重點(diǎn)題目進(jìn)行著重講解，并引導(dǎo)學(xué)生盡可能多地對(duì)題目進(jìn)行練習(xí)。本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式的一些易錯(cuò)題型與解題的思路或方法進(jìn)行重點(diǎn)分析。

一、線性規(guī)劃類題目以及解題教學(xué)

線性規(guī)劃類題目是高中數(shù)學(xué)不等式章節(jié)中較為重要的一類題目，在各大考試中出現(xiàn)的頻率非常高，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出錯(cuò)的題型，因此，高中數(shù)學(xué)教師要將線性規(guī)劃類題目作為重點(diǎn)講解題型。一般情況下，線性規(guī)劃題目考查的是學(xué)生通過(guò)不等式組求目標(biāo)函數(shù)最大值和最小值的能力，這種題目的解題思路一般是：判斷不等式組的定義域，然后解不等式組，接著求出不等式組解集與定義域的交集，最后在這個(gè)交集上面求出目標(biāo)函數(shù)的最值。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生容易出錯(cuò)的地方有：忘記判斷不等式組的定義域、解錯(cuò)不等式組以及最值計(jì)算錯(cuò)誤。教師在教學(xué)過(guò)程中要使學(xué)生牢記線性規(guī)劃題目的解題順序，并提醒學(xué)生易錯(cuò)之處。

例如，線性約束條件為5x-11y ≥-22，2x+3y ≥9，2x ≤11，目標(biāo)函數(shù)為z ＝10x+10y，求目標(biāo)函數(shù)的最大值。在解題的過(guò)程中，首先要解不等式組，然后畫(huà)出可行域，最后再在可行域上求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，也就是z ＝10x+10y 的最大值。尋找最優(yōu)解可以采用“目標(biāo)函數(shù)直線平移法”“調(diào)整優(yōu)值法”以及“檢驗(yàn)優(yōu)值法”。線性規(guī)劃類題目都可以采用這種方式來(lái)解答，其中最為重要的一步就是目標(biāo)函數(shù)可行域的確定，高中數(shù)學(xué)教師要指導(dǎo)學(xué)生多加練習(xí)，這樣才能提升學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性。

二、參數(shù)不等式題目以及解題教學(xué)

與線性規(guī)劃類題目相比，參數(shù)不等式類題目的難度較大，學(xué)生出錯(cuò)率高。但是從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，參數(shù)不等式的解題方法是固定的，只要高中數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，那么他們解答這類題目的正確率也許會(huì)有很大的提升。解決參數(shù)不等式問(wèn)題時(shí)，最為關(guān)鍵的一個(gè)步驟就是對(duì)未知參數(shù)的值進(jìn)行分類討論，很多學(xué)生在完成這一步的過(guò)程中很容易出現(xiàn)遺漏，因此，教師在進(jìn)行解題教學(xué)的過(guò)程中要著重強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，即參數(shù)值的討論一定要覆蓋全面。參數(shù)不等式類型的題目能夠提高學(xué)生分類討論的能力，對(duì)于學(xué)生之后的學(xué)習(xí)有很大幫助，高中數(shù)學(xué)教師一定要引導(dǎo)學(xué)生多加練習(xí)，爭(zhēng)取使學(xué)生不在此類題型中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例如：求不等式（x-a）（x-2）＜0 的解。在這道題目中，參數(shù)a 的具體取值并沒(méi)有給出，因此首先要對(duì)a 的取值進(jìn)行分類討論。通過(guò)對(duì)不等式進(jìn)行觀察可知，可以將a 的值分為a ＜0，0 ＜a ＜2，a ＞2 三種情況來(lái)討論，這樣可以分別解出三種結(jié)果。高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，要向?qū)W生演示未知參數(shù)分類討論的具體過(guò)程，特別是不以0 為分界線的分類討論，有些學(xué)生在做題過(guò)程中會(huì)誤以為所有的參數(shù)都是以0 為分界線進(jìn)行討論的，這是非常錯(cuò)誤的想法，高中數(shù)學(xué)教師要及時(shí)予以糾正。

三、高次不等式類題目及解題教學(xué)

高次不等式類型的題目對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)都具有一定難度，很多學(xué)生見(jiàn)到高次不等式就直接放棄思考，但是實(shí)際上，解高次不等式的方法很多，比如穿針引線法、不等式組法以及列表法等，其中穿針引線法是最常用也是最方便的一種方法。高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行不等式教學(xué)的過(guò)程中，首先要鼓勵(lì)學(xué)生放下對(duì)于高次不等式題目的畏懼，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生尋找解高次不等式題目的規(guī)律。教師要及時(shí)將穿針引線法介紹給學(xué)生，其中，函數(shù)圖像的升與降是高中數(shù)學(xué)教師需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的問(wèn)題。學(xué)生大致掌握了穿針引線方法之后，教師要給出一些習(xí)題讓學(xué)生多加練習(xí)，提升學(xué)生對(duì)于這種方法的掌握程度。學(xué)生在多次練習(xí)之后，就會(huì)逐漸建立起解題的信心，之后再遇到類似的題目就可以順利解決。

例如:求高次不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0 的解。大多數(shù)學(xué)生看到這種題目時(shí)，根本不知道從何算起，但是應(yīng)用穿針引線法可以快速解決這個(gè)問(wèn)題。具體來(lái)講，首先根據(jù)不等式左邊的式子可以將數(shù)軸劃分為四個(gè)區(qū)域，分別以1、2、3 為分界點(diǎn)，接著就可以“穿針引線”了，從數(shù)軸最右邊的數(shù)，也就是x=3 的上方開(kāi)始穿，往左下畫(huà)線，依照“奇穿偶不穿”的原則依次穿過(guò)幾個(gè)點(diǎn)，最后再根據(jù)不等號(hào)的方向判斷根。這就是學(xué)生應(yīng)該了解并掌握的高次不等式穿針引線法的解題流程。

高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行不等式內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，要認(rèn)識(shí)到線性規(guī)劃類題目、參數(shù)不等式類題目以及高次不等式類題目的重要性，對(duì)學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)點(diǎn)撥和講解，使他們掌握這些類型題目的解題方法，提高學(xué)生針對(duì)此類題目解答的準(zhǔn)確性。除此之外，高中數(shù)學(xué)教師還要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對(duì)經(jīng)典題型和解題方法進(jìn)行歸納總結(jié)，提高學(xué)生的解題水平。