對目前初級中學數學里的正、負數、零的加減法進行改革與創新的三個課時課文

梁齊天

當前初級中學一年級的正、負數加減法法則是：

兩數相加，若同號，兩數的絕對值相加，取同號。若不同號，兩絕對值相減，取絕對值大的符號。

兩數相減，即是加上減數的相反數。

這個法則很是復雜，其法則長達50字之多，不便記憶和操作，而今我把其改成只用八個字的法則，就是去括號的符號法則：

同號得“加”，異號得“減”的法則。這樣大大提高了教學和學習效率。（如下以課文的形式出現）

第一節、正確認識正數負數

一、什么是負數？（負數怎么產生的？）

負數的產生：

我和同學李小明到商店去買米，每袋米30元，我帶50元，李小明帶錢10元，我們兩人各買一袋米后，各人剩幾元？

解：（所帶的錢數）-（每袋米的錢數）=剩余的錢數

我：50-30=20 （剩余20元）

李小明：10-30=？

1.首先問，10減30夠減嗎？不夠。

2.其次再問，不夠減那還缺多少才恰恰能夠減呢？

答：很明顯，缺20元，就是10還缺20元才恰恰夠減。

3.上面缺的20是從何處得來的呢？

答：缺20里的20是從式子“30-10”得到的，寫成：10-30=缺欠20。“缼欠”兩字用“-”號代替，于是：

10-30=缺欠（30-10）

=-（30-10）

=-20

兩數相減，由于不夠減，而產生的數，叫負數。

這樣得出口訣便是：

小減大，不夠減，缺多少，大減小。

用式子表示就是：

（小）-（大）=缺[（大）-（小）]

=-[（大）-（小）]

人類在實際的生產生活中，由于引起較小的數減較大的數不夠減而產生的負數，使原來的數擴大了范圍。

例1、20-30=？

解20-30=-（30-20）=-10（讀作負10）

例2、3-6=？

解：3-6=-（6-3）=-3（讀作負3）

例3、

解：

二、正數、零、負數

像上面我們引進了負數，上面的30-10=20，我們叫正數，我們小學數學課遇到的皆為正數和數零。①30-10=20，這是正20，有時也可以寫成+20，但通常省略“+”號，只寫成20， 我們記得“正20”及“20”都是“貳拾”，它們都是一個同一的數。于是有“正20”=（+20）=+20=20=“貳拾”。②而負20即是-20，這個“負號-”是不能省略的。

三、負數在生產生活中的應用

以上我們講到由于缺欠而產生了負數，相反的，由于剩余而出現了“正數”，缺欠”和“剩余”這兩個詞是具有相反意義的。

我們還可以把負數與正數表現在其他方面，例如：把我家院內的地平面的高度設為“0”米，我家的樓房上尖最高處離地12米高，記為“+12米”，我家的地下室離地平面為4米，那么地下室的底平面高度就為“-4”米。

我國黑龍江省省會哈爾濱在冬季某天的氣溫是零下16℃，是-16℃;海南省三沙市夏天有時氣溫上升到39℃，這個39℃可以記為+39℃。

總之，零上溫度、零下溫度;向上或向下移動、缺欠和結余、前進和后退等等這些具有相反意義的量，都能產生和運用正數、零、負數。可見負數在生產和生活中廣泛的應用著。

四、負數是個普通的數，負數并非劣于正數

某山區經過地質勘探隊勘查得知地平線以上皆為泥土和石塊，地平線以下1000米（高度是-1000米）及其以下含著大量的黃金礦，這里的-1000米比+20米，+500米，+2000米都比較優越。

五、數零（數0）的特殊功能

我們在小學階段，在遇到數0與其他數運算時知道

（1）、3+0=3，0+3=3

（2）、一個算式加上0，它的算式的值不變化。例如：

3+5-1=7，3+5-1+0=7，0+3+5-1=7，3+0+5-1=7

（3）、0-3=？

0-3（小減大，不夠減）= -（3-0）=-3或者-3=0-3

有了“-3=0-3”這個簡明而又不被人們重視的算式有時起了不小的作用。

我們計算-3-5=？

可以把-3 改寫代換成為-3=0-3

于是有-3-5=0-3-5（這里使用小學連減法運算便有）

=0-（3+5）=0-8=-8

就這樣，我們利用數0的特殊功能，得到了如上的“（負數）”-（正數）的方法。

六、作業

1.（1）2-7=? （2）3-81=? （3）5-12=? （4）4-32=? （5）6-31=? （6）3-

（7）3-5-17=? （8）15-18-2-17=? （9）8-10-57=? （10）-3-5-6-12=

（11）? ?（12）? ?（13）? ?（14）

（15）? ?（16）

2.閱讀課文“三、負數并非劣于正數”

3.冬季某城某天的氣溫是

早晨：零下5℃? ? ?中午：零下1℃? ? 晚上：3℃

用正負數記下如下溫度

早晨：? ? ? ? ? ? ?中午：? ? ? ? ? ?晚上：

4.某糧食倉庫某天上午運出糧食60噸，中午運進糧食40噸，下午運出糧食50噸

用正負數寫出運入糧食噸數

上午運入：? ? ? ? ?中午運入：? ? ? ?下午運入：

5.冬季某天早晨氣溫是-4℃，中午氣溫是0℃。問中午氣溫比早晨氣溫高多少度？

（1）列出計算式子：（中午氣溫數）? ? ? （早晨氣溫數）=？即是? ? ? ? ? ? ?。

（2）這應該等于多少呢？

第二節、正數負數的加減法

一、訂正上次作業的第五題

（中午氣溫數）-（早晨氣溫數）=0-（-4）=（實際高4度）

=4=+4

所以0-（-4）=+4=4

二、正負數的加減法

├ （（正數）+（正數）@（正數）+（負數）@（負數）+（正數）@（負數）+（負數））}共4類? ? ? ? ?├ （（正數）-（正數）@（正數）-（負數）@（負數）-（正數）@（負數）-（負數））}共4類

三、講解

1類：（正數）+（正數）

例如（+10）+（+20）=？

讀做：正10加正20等于什么？

（+10）+（+20）=10+（20）

式子的左邊的括號及括號里的正號都可省略而成為

（+10）+（+）20? ? ? ?=10+20

↑ ↑? ? ? ? ? ? ? ↑

符號相同? ?脫去括號及里外的符號取加號“+”號

這里好像有個規律如下：

括號里外符號相同時，脫去括號及括號里外的符號得到“+”號。

2類：（正數）+（負數）

例如：5+（-2）=？

讀做：正5加負2等于什么？

我們舉個例子，例如某商店今年營利5萬元，因修建房屋等花去2萬元，問這店今年收入多少元？

解：花去2萬元，可以當做收入-2萬元，共收入即是兩項加起來

5+（-2）=？

這應該從營利額里去掉2萬元，便是今年的收入了。

5+（-2）=5-2=3

這里的5+（-2）? ? ? =? ? 5-2

↑? ↑? ? ? ? ? ? ?↑

∣? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∣

符號不同? ?脫去括號及其里外的符號得 “-”號

括號里外的符號不同時，脫去括號及括號里外的符號以后得減號“-”號

練習（學生填充做完）

（1）30+（-5） =? ? ? ? ? ? ? （2）6 +（-11）=

3類：（負數）+（正數）

例如（-10）+（+30）=? ？

讀作：“負10加正30等于什么？”

某小微工廠上半年虧損10萬元，經過改善經營方法，下半年營利30萬元，問該工廠全年營利多少元？

解：上半年虧損10萬元，可以記為營利（-10）萬元，下半年營利30萬元，即為（+30）萬元。

全年營利額=（上半年營利額）+（ 下半年營利額）

=（-10）+（+30）=？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?……? ①

這等于什么數呢？

我們可以這樣想一想：

全年營利額=（上半年營利額）+（ 下半年營利額）

這也可以改變為如下：

全年營利額= （下半年營利額）+（上半年營利額）

=（+30）+（-10）=？

于是有（-10）+（+30）=（+30）+（-10）……②

②式里的（+30）+（-10）應該等于什么呢？這里（+30）省略括號里的“+”號及括號，而成為30，就是（+30）+（-10）=30+（-10），然后按照前面2類里（正數）+（負數）的類型來運算。

30+（-10）=30-10

=20

因此，該工廠全年營利20萬元。

從全年營利額

=（上半年營利額）+（下半年營利額）

=（下半年營利額）+（上半年營利額），

我們可以得到正負數的加法交換律，但是各數必須要帶著各自的符號進行交換。

4類：（負數）+（負數）

例如：（-3000）+（-2000）=？

讀做：負3千加負2千等于什么？

例1：某小型企業商店上半月虧損3000元，下半月虧損2000元，問該商店這月共營利多少元？

解：上半月虧損3000元，就是營利-3000元;

下半月虧損2000元，就是營利-2000元。

該月總營利額=（上半月營利額）+（下半月營利額）

=（-3000）+（-2000）=？

這應該等于什么數呢？這很簡單，從實際情況來看，就是虧損3000元，接著又虧損2000元，共計虧損5000元，就是營利-5000元，從而得到：

（-3000）+（-2000）=-5000……①

本題里的連續虧損就是連續的減少，就是在-3000元的基礎上又減少了2000元，也就是結果兩次減少而成為減少5000元，于是

-3000-200=-5000……②

由①與②得到：

-3000+（-2000）=-3000-2000=0-（3000+2000+=-5000

↑? ↑? ? ? ? ↑? ? ↑

不同符號? ? 脫括號及其里外的符號得減號“-”號

↑? ? ? ? ? ? ? ?↑

結論：括號里外的符號不同時，脫去括號及其里外的符號得減號“-”號。

四、作業

1.閱讀課文4類、5類

2.計算

（1）（+15）+（+2）=? ? ? ? ? ? ? （2）20+（-5）=

（3）20+（-3）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）18+（-16）=

（5）2+（-7）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）8+（-10）=

（7）（-9）+（+12）=? ? ? ? ? ? ? （8）（-10）+2=

（9）（-15）+（+2）+（+20）? ? ? ?（10）-102+（+4）+（+10）

第三節、正數負數的加減法（續）

一、講解

6類、（正數）-（負數）

例如 12-（-4）=？

讀做：正12減負4等于什么？

我們可以利用前面的用“一個算式的值在加上0不會引起該式的值的變化”，于是

12-（-4）=12+0-（-4）

此處的0-（-4）=？我們可以引入如下實例：（在第一節課里已作為習題出現）

某地冬天早晨的氣溫是零下4度，即-40C，中午的氣溫是零度即00C，問中午氣溫比早晨高多少度？

解：（中午氣溫數）-（早晨氣溫數）

=0-（-4）

這里實際上中午氣溫比早晨高出4度，

即是0-（-4）=4=+4

于是12-（-4）=12+0-（-4）= 12+4

↑ ↑? ? ? ? ? ? ? ? ? ↑

符號相同? ? ? ? 脫去括號及括號里外符號得加號“+”號

↑? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ↑

以上這式從左式到右式，左式中12-（-4）里的“-（-4）”，括號里外皆是負號，即是相同號，從12-（-4）到右式里的12+4，這可以得到一個結論：就是括號里外的符號相同，脫去括號及去掉括號里外的符號，結果取“+”號。

二、7類：（負數）-（正數）

例如：-5-8=？讀作負5減8等于什么？

這里可以把-5寫成-5=0-5，于是有

-5-8=0-5-8（使用連減法得到如下）

=0-（5+8）

=0-13

=-（13-0）

=-13

這在前面有詳細敘述。

三、8類：（負數）-（負數）

例如：-4-（-5）=？讀作負4減負5等于什么？（這個8類型作為課后作業題）

總結以上八個類型的問題，在一個加減的式子里，括號里面外面的：符號相同時，脫去括號及去掉其里外的符號，結果得“+”號;符號不同時，脫去括號及去掉括號里外的符號，結果得“-”號。簡言之，脫去括號：同號得“+”號，異號得“-”號。

四、9類：括號有兩個或多個正負數，脫去括號怎樣呢？

例如：45-（10-7）如何計算？

45-（10-7）=45-（+10-7）

括號“（10-7）”前面的“-”號對于括號里的“+10-7”來說是公有的運算符號。 “-”號對于“+10”來說是相異符號，脫去括號及括號里外的符號得減號“-”號， “-”號對于“-7”來說，是相同符號，脫去括號及括號里外符號得加號“+”號，于是

45-（10-7）=45-10+7

這里的“10”變成“-10”，而“-7”變成“7”。這就是如下：

脫去負括號“-（）”，括號里的各數皆變號。

類似的對于45+（10-7），脫去正括號“+（）”，括號里的各數皆不變號。

現在用幾個例題來鞏固正數與負數的加減運算。

例1、計算8-（-20）+（-3）-（+2）

解：8-（-20） +（-3）-（+2）=8+20-3-2=23

例2、計算-3+2-10+7+（-5）-（-15）

解：原式=-3+2-10+7-5+15

=+2+7+15-3-10-5（加法交換律）

=（2+7+15）-（3+10+5）（小學里的連加法與連減法）

=24-18

=6

以上數學里的加減法運算就是這么簡單。

1.運用好產生負數的方法：

（小）-（大）=-[（大）-（小）]

2.在一個加減法運算式子里，用好脫去括號法則，即是去括號后，同號得“+”號，異號得“-”號。這和后面的乘法法則相呼應，這很好記憶和操作，昏昏欲睡狀態也可操作。

3.運用好“加法交換律”

4.運用好小學數學里的連加連減法運算。

5.運用好括號含有多個正負數的加減的脫括號法則。

6.盡力把式子轉化成減法的式子。

五、作業

（一）閱讀課文“7類：（負數）-（正數）”

（二）“8類、（負數）-（負數）

-4-（-5）=？

1.讀作什么？

2.詳細計算出來

①在“-4-（-5）”里“-4”后面加個“0”成為如下：

②0-（-5）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即問數0比-5高多少？答：高

③把0-（-5）等于的數代換到①中的式子里即-4-（-5）=-4+

④觀察脫括號規律：簡單地說，同號得? ? ? ，異號得? ? ?。

（三）45+（10-7）

1.式子里“+（10-7）”前面的“+”號對于“10”和“-7”是共有的;

2.“+（? ）”前面的“+”對于“10”來說是相同號，去掉括號后取“+”號，即為“+10”;“+（? ）” 前面的“+”對于“-7”來說是? ?號，去掉括號后取? ?號，即為? ? ;

3.結果是45+（10-7）=? ? ? ? ;

4.結論：一個數加上一個括號，括號里含有兩個以上的數時，去掉“+（? ）”，括號里的各數? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（四）計算

（1）3-（-5）+（-2）? ? ? （2）27+（-5）-（-13）

（3）0-3-5-7? ? ? ? ? ? ? ?（4）-9-17-（-28）

（5）-4-5-7? ? ? ? ? ? ? ? （6）89+（-25）-（-35）

（7）2+（-5）-（-1）? ? ? ?（8）

（9）-35-（-21）+（+2）? ? ?（10）-93-（-35）-（-4）

（11）120+（-1-7+9-27）? ? ? ?（12）-45-（2-3-19-108）

（五）閱讀課文中“1--8類”結論

（六）某水泥倉庫庫存200噸，上午運出20噸，中午運出20噸，下午運入30噸。用正負數的加法列式計算出今天的庫存數

（七）某地早上的氣溫是零下6度，上午上升2度，中午又上升了3度，到了傍晚下降4度，用正負數的加法列式并算出傍晚的氣溫度數來

作者簡介

作者現任中國教育科學研究會榮譽理事，曾在安徽省阜陽教育學院、阜陽師范學院數學系三年級任教復變函數論等課程。后調至淮北市第十中學任教，現退休。