多參數復合核的Hilbert 型不等式及應用

有名輝，董 飛，何振華

若f(x),g(y) ≥0，且滿足f,g∈L2(R+)，則Hilbert 不等式通常可表述為［1］：

其中：π 是滿足式（1）的最佳常數因子.此外，文獻［1］中還給出了與式（1）類似的含有對數函數核的不等式

其中：π2是滿足式（2）的最佳常數因子. 式（2）通常被稱為Hilbert 型不等式，通過對核函數進行推廣、類比等不斷的演化，數學工作者們已經建立了形形色色的Hilbert 型不等式［2-10］.這些新不等式的建立借助了許多經典分析的技巧，同時又在很大程度上促進了現代分析的發展.與式（2）類似的，還有楊必成［11］建立基本的Hilbert 型不等式

其中：G= 0.9159…為Catalan 常數.其它一些與對數函數關聯的Hilbert 型不等式可參見文獻［12］～［14］.另外，通過構造對數函數和指數函數復合而成的核函數，劉瓊［15］構建了Hilbert 型不等式

其中：μ(x)=x-3，ν(y)=y-3.受文獻［15］的啟發，本文將構建以下Hilbert 型不等式

其中：μ(x)=x-1，ν(y)=y-1及

其中：μ(x)=xp-1，ν(y)=yq-1.更一般地，下文將構造一個含有對數函數及指數函數的多參數核函數，并同時考慮齊次和非齊次兩種形態，利用統一的處理方法，建立式（5）及式（6）的統一推廣.先給出以下引理.

1 預備知識

引理1 設b＞a＞0，γ＞0，定義K(t):=則

證明 把ln(1 +e-at)展開為麥克勞林級數，并逐項積分，可得

作代換u=akt，則

把式（9）代入到式（8），可得

類似地，可算得

結合式（10）與式（11），可得式（7）.

引理2 設b＞a＞0，K(t)如引理1 定義，則

證明 任取δ1，δ2＞0，經過簡單的代換，可得

分別對式（13）中的積分使用積分第一中值定理，則有

其中：a＜ξ1，ξ2＜b，令δ1→0，δ2→+∞，則可得式（12）.

注：根據引理1 和引理2，可記

引 理3 設b＞a＞0，γ≥0，β1β2≠0，由式（14）定義.定義核函數

n∈N+，且fn(x)及gn(y)定義如下：

不管β2＞0 還是β2＜0，由勒貝格控制收斂定理，可算得

把式（17）代入到式（16），令n→∞，并利用式（14），則可得式（15）.

2 主要結果

定 理1 設b＞a＞0，γ≥0，β1β2≠0，和k(x,y) 分別由式（14）和 引 理3定義且 滿 足f∈Lp,μ(R+)，g∈Lq,ν(R+)，則

證明 由H?lder 不等式［16］，得

類似地，

將式（20）和式（21）代入式（19），則有

根據Hilbert 不等式相關文獻［2-3］通用的處理方法，可得式（22）不可取等號，故式（18）成立.

使得式（22）的常數因子變為A后，式（22）依然成立.即

用引理3 中的fn(x) 和gn(y) 分別替代式（23）中的f(x)和g(y)，并借助式（15），可知

令n→∞，則這顯然與假設矛盾.故式（22）的常數因子最佳．定理1 證畢.

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 1，因

故定理1 轉化為：

其中：μ(x)=x-1，ν(y)=y-1.令a= 1，b= 3，則有式（5）成立.

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 3，因

故定理1 轉化為：

在定理1 中，令β1=β2= 1，γ= 0，a=1，b= 2，則有式（6）成立.另外，在定理1 中，令β1= 1，β2= -1，還可得0 齊次核的Hilbert型不等式，在此不再贅述.

3 結語

通過構造一個與指數函數和對數函數相關、且包含齊次和非齊次兩種情形的核函數，建立了一個新的Hilbert 型不等式.核函數中引入β1和β2這兩個實數域中的參數，對之前文獻中參數的范圍有所改進，處理方式也異于以往；在最佳常數的處理上，借助積分第一中值定理等分析的方法，解決最佳常數的計算問題.