包含Bernoulli 多項(xiàng)式的正整數(shù)的m 次方部分之和

朱萍萍，洪海燕

1993年，羅馬尼亞數(shù)學(xué)家F.SMARANDACHE在其論著中提出了一些新的函數(shù)，并且列舉了100 多個(gè)未曾解決的問題及猜想，眾多學(xué)者都對(duì)其中的很多問題進(jìn)行了深入細(xì)致的研究，并獲得了一定的成果［1-3］.

對(duì)于任意大于1 的正整數(shù)m，n，設(shè)fm(n)是不小于n的最小m次方部分，例如f3(1)= 1，f3(2)= 8，f3(3)= 8，f3(4)= 8，f3(5)= 8，f3(6)=8，f3(7)= 8，f3(8)= 8.

設(shè)Sm(n)是不小于n的所有正整數(shù)的m次方 部 分 之 和，即文獻(xiàn)［4］利用初等方法研究了fm(n)的均值性質(zhì)，并給出了fm(n)的漸近性公式；文獻(xiàn)［5］利用解析法給出了fm(n)及除數(shù)函數(shù)的漸近性公式；文獻(xiàn)［6］利用初等法和解析法研究了正整數(shù)的四次方數(shù)列求和問題，給出了S4(n)的計(jì)算公式，即但 是并沒有給出Sm(n)的計(jì)算公式.文獻(xiàn)［7］直接利用f3(n)的性質(zhì)，給出了S3(n)的計(jì)算公式，即而當(dāng)k= 2，n= 8 時(shí)，S3(8)= 11.6 不是整數(shù)，文獻(xiàn)［7］所給的公式是錯(cuò)誤的.

鑒于目前仍未有學(xué)者研究Sm(n)的一般性公式及漸近性，本文根據(jù)Bernoulli 多項(xiàng)式與連續(xù)正整數(shù)的齊次和的關(guān)系式，推導(dǎo)出了Sm(n)的一般性計(jì)算公式及其漸近性，得到相應(yīng)結(jié)論.

1 主要結(jié)果

由定義可知Sm(n)= (1m- 0m)1m+ (2m-1m)2m+ 3m(3m- 2m) + …(n-km)nm，即

根據(jù)二項(xiàng)式定理［8］可知

對(duì)于正整數(shù)c和t，設(shè)

所以有

結(jié)合（3）式，可得

由其 中Bt+1與Bt+1(c+ 1) 分 別 是 第t+ 1個(gè)Bernoulli 數(shù)和Bernoulli 多項(xiàng)式，因而

由式（5）及式（6）式可得定理1.

證 明 由當(dāng)n→∞時(shí)，有k→∞，且(k- 1)m＜n≤km，顯然有

又由

可得

而當(dāng)i=m- 1 時(shí)，

由定理1 及式（7）、式（8）、式（9）、式（10）可得推論1.

2 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于連續(xù)正整數(shù)的m次方部分和的研究，筆者引入了正整數(shù)的齊次和與Bemoulli 多項(xiàng)式之間的關(guān)系式，再借助二項(xiàng)式定理展開式推導(dǎo)出Sm(n)的一般性計(jì)算公式，該方法可用于推導(dǎo)出Tm(n)的一般性計(jì)算公式及其漸進(jìn)性（設(shè)Tm(n)是不大于n的所有正整數(shù)的m次方部分和），有興趣的讀者可以嘗試.