一道中考數學動點問題解析

任永生

中考數學運動變化類的壓軸題，題目展示涉及：單一（雙）動點在三角形、四邊形上運動;在直線、拋物線上運動;幾何圖形整體運動問題知識點涉及：全等三角形的判定與性質、特殊四邊形形的判定和性質、圓的相關性質、解直角三角形勾股定理，相似三角形的性質。數學思想涉及：分類討論、數形結合、方程思想。 解答這類問題的關鍵是正確分類畫出直觀圖形。確定點在運動變化過程中與圖形相關的某些量（如角度、線段、周長、面積及相關的關系）的變化或其中存在的函數關系。

例：（動點與幾何圖形綜合型問題）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。D是AC上的動點（點D與點A，C不重合），過點D作DF⊥BC于點F，過點F作FE∥AC，交AB于點E。設CD=x，DF=y。

（1）求y與x之間的函數解析式;

（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值;

（3）當△DEF是直角三角形時，求x的值。

【例題分層分析】（1）由已知求出∠C，可得到y與x之間的函數解析式;

（2）若四邊形AEFD為菱形，則DF=DA，從而可列方程;

（3）若∠FDE=90°，你能證明四邊形DFBE是矩形，四邊形CDEF是平行四邊形嗎？

【解題方法點析】

所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目。解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題。

解：（1）在Rt△ABC中，

∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴AB∠C=30°。

在△DFC中，DF⊥BC，則∠DFC=90°。

∵∠C=30°，∴DF=（0

（2）若四邊形AEFD為菱形，則DF=DA，其中DF=y，AD=60-x。

-x，解得x=40。

（3）若∠FDE=90°，如圖1所示，易證四邊形DFBE是矩形，

∥FB.

∵FE∥AC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形，

∴EF=CD=x。

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴EF=AD=60-x，

∴x=60-x，解得x=30。

若∠DEF=90°，如圖2所示。

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=60，AB=30。

由勾股定理，得BC=3

∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°。

∵∠DFC=90°，

∴∠DFE=60°。而∠DEF=90°，∴∠EDF=30°。

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，CD=x，

∴DF

同理，在Rt△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，DF=。

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∠EFB=30°，

綜上所述，x的值為30或48。

？誗編輯 王彥清