深度體驗實驗過程，深刻理解實驗本質

黃城紅 劉詠梅

一、現象

“可能性”是人教版數學五年級上冊的教學內容。在教學這節課時，很多教師都會做拋硬幣實驗，讓學生體驗事物發展的可能性及說明概率的大小。在教學中，我們經常會見到如下的教學過程：學生分小組拋硬幣，以同桌的兩個人為一組，一個拋，一個記錄，當拋了10次后，各小組匯總，統計全班的實驗結果，得到結論：每拋一次硬幣，正面和反面都有可能出現。從每一個小組統計的結果來看，正面和反面的次數相差可能會比較大，也可能比較相近，感覺沒有規律，如果把全班的統計結果相加，則正、反面出現的次數就比較接近。教師再出示歷史上一些數學家所做的拋硬幣實驗的有關材料（如表1），強調當拋硬幣的次數越多時，正、反面各出現的概率會越接近[12]，也就是50%。

二、反思

在這個教學過程中，筆者覺得有如下幾個方面值得商榷。

1.學生的操作不夠規范

要體現硬幣正、反面出現的隨機性，那就要求用統一的硬幣，在拋起的過程中，能夠翻滾較多的次數，這樣，硬幣落在桌面上出現正、反面就會更具有隨機性。但在實驗過程中，有些教師沒有規范拋硬幣的動作，學生拋硬幣的動作就會五花八門，有的學生只是把硬幣拎到大概30 cm的高度就松手，讓硬幣自由地落下，沒有向上拋的動作。這樣，硬幣在有限的時間和空間內，沒有翻滾或只翻滾一兩次就落在桌面上，就不能體現隨機性。

2.學生對可能性的體驗不深

學生只是在教師的要求下進行拋硬幣的實驗，做完實驗后，也只是匯報數據，沒有對實驗的過程和結果進行反思，也沒有對數據進行分析，這樣就只是純粹為做實驗而做實驗。這個過程就好像蜻蜓點水，太快、太淺，一滑而過，沒有觸及數學的本質。表面看起來學生都在進行拋硬幣操作實驗，很熱鬧，學生也都參與進來了，但在這種熱鬧的背后卻是數學味不足，沒有蘊含數學思考。

3.對硬幣正、反面出現的概率理解有偏差

當拋的次數越多，硬幣正、反面出現的概率就越接近50%嗎？這樣的表述是否正確？把歷史上一些數學家做的硬幣實驗拿出來比較，是否具有可比性？

對于硬幣正、反面出現的概率，我們都知道，各是50%，于是就想通過實驗來證明。實際上，這個概率是不需要證明的，而且是證明不了的。比如在做1萬次實驗時，恰巧得到硬幣正、反面各是5 000次，就能說得到這個結論了嗎？不一定，因為如果在這基礎上再做一次，又不是50%了。所以，從某種程度來說，這是一個不可能經過實驗能證明得到的結論。既然得不到結論，為什么還要去做這個拋硬幣的實驗呢？

我們做這個實驗，不是要刻意地追求概率是50%的結果，而是要體驗50%的大概存在，體驗這個實驗的過程。因為這個概率50%是由這個實驗的本質所決定的：只要把同一枚硬幣從同一個高度拋，在空中有足夠多的翻滾次數，這個實驗本身就決定了硬幣正、反面出現的概率是50%。而我們做實驗時，記錄的只是硬幣正、反面出現的頻率，這個頻率是可以經過實驗統計而得到的，這個頻率只是這個概率50%的外在表現形式，這個頻率也只是表現這個實驗的本質。所以，我們做實驗統計的只是頻率，通過這個統計到的頻率去推測概率，感知概率，而不是去證明它。

對于硬幣正、反面出現的概率問題，還應該這樣理解：這個實驗的本身就決定了50%的概率，如圖1中的那條表示[12]的橫線，而我們做拋硬幣出現的正、反面的概率，就是圍繞這條[12]的橫線上下波動的一條毫無規律的曲線，這條曲線在局部看時，可能會波動比較大，但做的實驗次數更多時，從整體看，這條曲線就會鈍化，波動也就沒有那么劇烈了，就會更接近于50%了。圖2的這條股票K線，當交易日較少時，看起來波動的范圍比較大，而當交易日比較多時，此時就要看股票月K線，就感覺波動不大了，所以我們在總結實驗結論時，不能說成是當拋硬幣的次數越多，概率就越接近50%，因為如果這樣表述，畫出的圖像就應該是圖3這樣，這是不符合這個實驗的本意的。

另外，在累加學生的實驗次數之后，再與歷史上的數學家所做的實驗進行對比，這樣做科學嗎？科學家也是在做拋硬幣實驗，但他們用的硬幣與我們所用的硬幣是一樣的嗎？我們之所以用硬幣來做拋投實驗，就是因為取材方便，場地要求也不高。但我們都知道，硬幣只是近似的矮圓柱體，但每個國家硬幣的底面直徑和高度都不同，在硬幣上雕刻的花紋也不同，不同硬幣的重心會稍微有些不同，這樣做出來的實驗結果當然不同。所以，在拋不同硬幣時，有些硬幣正面出現的概率可能會比50%稍微多一些，而有些硬幣正面出現的概率就會比50%少些。從理論上來說，拋不同的硬幣，就屬于不同的實驗，是不具有可比性的。

三、實驗的再處理

為了讓學生更好地體驗這個實驗的本質，我們可以重新處理這個實驗過程。

全班用統一的硬幣。我國現行常用的硬幣有1元和5角兩種，其中5角硬幣偏輕、偏小，相比較，全班統一用1元硬幣較為合適。

先猜測實驗的結果。根據生活經驗，學生能猜到硬幣正、反面出現的概率是相等的。

讓學生自己設計拋硬幣實驗的方案。有了猜測，就必須用實驗來驗證。如何做這個實驗呢？教師可以讓學生自己設計和討論。學生在討論中，就會出現各種拋硬幣的方法，通過比較和辨析，明確要求把硬幣舉到統一高度（例如40 cm），再往上拋，讓硬幣有充分多的翻滾次數，這樣才能體現這個實驗的隨機性;學生也會認識到，做一次實驗不具有代表性，做的次數越多就越具有統計意義，但要在課堂上做比較多的次數，時間又有限，于是，學生分組做10次實驗后，各組再把結果累加。學生在討論實驗方案過程中，就已經初步感知這個實驗的目的就是要突出隨機性，也知道要證明猜測的正確性，實驗方法必須正確，而且要有大量的實驗數據來驗證，這也培養了學生理性的科學精神，學生體會到正確的實驗方法的重要性，為今后的學習和研究滲透了良好的科學研究精神和態度。

為了讓學生更好地體會隨機性，教師可以利用表2。從表中可以看出，在每次拋硬幣之前，教師都要求學生猜測結果，再與每次的實驗結果進行對比。增加這個猜測環節，可以讓學生充分感受到這個實驗的結果是很難猜測到的，是不受人為控制的，是無序的，從而更深刻地體會硬幣正、反面出現的隨機性，從而更好地感受可能性的本質。

這個實驗，不需要教師把結論告訴學生，而是要讓學生在自己實驗的基礎上發現規律和總結規律，讓學生自己把實驗過程中的感受說出來，這才是這個實驗最需要得到的東西。

教師還可以讓學生在課后做同時拋兩枚硬幣的實驗，記錄實驗結果。讓學生思考：各會出現什么情況？每種情況出現的頻率大概是多少？讓學生在實驗中發現規律、總結規律，學生也會很熱衷于做這樣有趣的實驗。

從以上可以看出，學生在這個拋硬幣的實驗過程中，不應只是一個按教師指令進行拋硬幣的操作者，也不是一個被告知結果的接受者，而應該是一個具有充分自主學習能動性的實驗者和探究者。豐富的實驗內容可以讓學生在實驗過程中有更充分的探究和體驗。經過這樣的實驗過程，學生對于隨機性、可能性的感受將會更加深刻，也更能理解概率的概念，同時還能培養嚴謹的科學研究精神，提升數學綜合素養。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一小學 江西師范大學數學與統計科學學院）

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