數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微

徐士永 武方敏

【摘要】自從中考提高了對識圖、畫圖的能力要求，函數(shù)圖像作為“數(shù)形結(jié)合”的典型代表自然也是中考復(fù)習(xí)的重點之一.就“一次函數(shù)”這一章而言，作為函數(shù)學(xué)習(xí)的起始章節(jié)，學(xué)生要學(xué)好本章內(nèi)容，首先要學(xué)會感知“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用函數(shù)的觀點觀察分析問題.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù);圖像;數(shù)形結(jié)合;策略

函數(shù)是用來刻畫和研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.在新知授課時，過多強調(diào)函數(shù)解析式 “數(shù)”的特征，就會弱化圖像 “形”的特征，最直接的影響就是學(xué)生識圖、用圖能力差，數(shù)形結(jié)合意識薄弱，給初三的二次函數(shù)教學(xué)埋下了隱患.所謂數(shù)形結(jié)合，顧名思義就是把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述結(jié)合起來，使代數(shù)問題幾何化或幾何問題代數(shù)化，從而將抽象思維與形象思維相結(jié)合的一種思想方法.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，對問題的解決會起到事半功倍的效果.

人教版第19章“一次函數(shù)”在章節(jié)伊始，就借助具體情境讓學(xué)生了解函數(shù)概念和三種表示法：圖像法、列表法和解析法;讓學(xué)生學(xué)會用函數(shù)的觀點觀察、分析問題，感受“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系.教材中設(shè)置了“用函數(shù)圖像解二元一次方程（組）及不等式”的相關(guān)運用，意在引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待函數(shù)、方程、方程組，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三者之間是一個聯(lián)系的整體的重要特征.這是一個將分散的知識交織成縱橫交錯的整體的過程，是一個將教材從厚到薄的整合過程，也是深化對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識過程.

在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合思想”觀察分析問題是學(xué)好函數(shù)的關(guān)鍵.如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，用“形”的直觀來理解“數(shù)”，用“數(shù)”的縝密來感知“形”，可以采取以下策略：

一、對有效獲取圖形信息并解決相關(guān)問題進行強化訓(xùn)練

只有準(zhǔn)確獲取圖形信息，才能建立正確的代數(shù)模型.下面通過對例題的改編，讓學(xué)生多經(jīng)歷通過圖像獲取信息并解決有關(guān)問題的過程.

例1 學(xué)校有一批復(fù)印任務(wù)，原來由甲復(fù)印社承接，按每100頁40元計費.現(xiàn)乙復(fù)印社表示：若學(xué)校先按月付給一定數(shù)額的承包費，則可按每100頁15元收費.兩家復(fù)印社每月收費情況如圖所示：

根據(jù)圖像回答：

（1）乙復(fù)印社的每月承包費是多少？

（2）每月復(fù)印多少頁時，兩家復(fù)印社實際收費恰好相同？

此例意在讓學(xué)生感受到函數(shù)與生活的密切聯(lián)系.為了讓學(xué)生更好地重視對圖形的觀察，教學(xué)中可以將原有的封閉性問題改為開放性問題，讓學(xué)生多經(jīng)歷通過圖像獲取信息，并以此來提高學(xué)生用函數(shù)觀點解決問題的能力.

【改編題】原題設(shè)不變，問題改為“從圖像和文字上你分別能獲得哪些信息？”

此類題型就是圖像信息問題，通過問題的改編，學(xué)生利用圖形中的關(guān)鍵點就會有更多的發(fā)現(xiàn).比如在解答“復(fù)印800頁，該給多少錢”這個問題上，學(xué)生可以利用圖像直觀感知得出結(jié)果，也可以先由圖像提煉信息然后轉(zhuǎn)化為解方程組進而得出結(jié)論.在學(xué)生通過對開放題不同結(jié)論的探究，同一個問題不同方法的探究的同時，用“數(shù)形結(jié)合的思想”研究函數(shù)問題的方法也就順勢、自然地植入學(xué)生的思維意識中.

二、讓學(xué)生經(jīng)歷通過文字獲取信息，再通過圖形解決有關(guān)問題的過程

例2 在例1的基礎(chǔ)上刪去圖像部分并進行如下改編：

其中：x表示頁數(shù)（頁），y表示復(fù)印社每月收費情況（元）.

（1）寫出兩家復(fù)印社月收費y（元）與復(fù)印頁數(shù)x（頁）的關(guān)系式.

（2）請在同一直角坐標(biāo)系中畫出甲、乙復(fù)印社月收款相應(yīng)的函數(shù)圖像.

（3）說明交點表示的含義.

此類題型為文字信息問題，所有的信息由文字反映，在這道例題的教學(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了閱讀文字—提煉信息—列出函數(shù)關(guān)系式的過程.將實際生活中的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為圖形是教學(xué)的一個難點.只有圖形準(zhǔn)確，學(xué)生才能借助“形”來研究“數(shù)”.教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識地強調(diào)“畫圖”的重要性，在板書過程中適當(dāng)放緩畫圖的節(jié)奏.學(xué)生在畫圖、識圖能力提升的同時，數(shù)形結(jié)合的思想也得到了進一步滲透.

例2的設(shè)置，讓學(xué)生經(jīng)歷通過文字獲取信息，再通過圖形解決有關(guān)問題的過程.實際上對學(xué)生思維的靈活性提出了更高的要求.在動手操作的過程中，學(xué)生體驗了知識的形成過程，經(jīng)歷了將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并主動結(jié)合圖像進行解釋與應(yīng)用的過程.

人教版教材安排了三個課時的篇幅進行“用函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式”的教學(xué)，教材本意在于從運動變化的角度，讓學(xué)生用函數(shù)的觀點對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的方程（組）與不等式等內(nèi)容有更深刻的認(rèn)識，進一步體會函數(shù)的價值.但是解方程組和不等式是學(xué)生在初一已經(jīng)學(xué)過，并熟練掌握的內(nèi)容，所以學(xué)生在新的學(xué)習(xí)的過程中會產(chǎn)生“不知道為什么學(xué)，新知識到底有什么用”的困惑，從而導(dǎo)致不重視本章內(nèi)容的學(xué)習(xí).要解決這一教學(xué)難點，可以通過比較“ 用圖像的直觀性解決問題” 與“用計算方程組解決問題”，讓學(xué)生學(xué)會“用函數(shù)的思想反觀方程（組）與不等式”，并 用“形”的直觀來理解“數(shù)”，用“數(shù)”的縝密來感知“形”.

三、通過“圖像的直觀性”理解函數(shù)和方程組之間的聯(lián)系

在本例題的教學(xué)過程中，學(xué)生第一反應(yīng)是直接用二元一次方程組求解.對于“利用圖像解方程組”，學(xué)生常會有如下困惑：如果畫圖不精確，那么就會影響到結(jié)果.比如將交點的橫坐標(biāo)1，看成0.9.

這是教學(xué)中常見的一種學(xué)生質(zhì)疑.解決得好，學(xué)生對“用函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式”會有更深刻的認(rèn)識;反之，則會引起學(xué)生的反抗心理，并影響到正常的課堂教學(xué).通過例4可以很好地解決這個教學(xué)困擾.

例4的設(shè)計雖然簡單，但對本節(jié)知識的理解有極大的幫助.上述問題的設(shè)置是通過問題1調(diào)動學(xué)生觀察圖像，從“形”的角度，判斷點是否在直線上.問題2是從“數(shù)”的角度，讓學(xué)生求二元一次方程組的解.

例4讓學(xué)生通過探討函數(shù)圖像的交點與方程組的解之間的聯(lián)系，再次強化了“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，從而使學(xué)生對用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生了進一步探究學(xué)習(xí)的興趣，也為后面二次函數(shù)的教學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

為了突出“ 用圖像的直觀性解決問題”，教師還可以在教學(xué)中設(shè)置例5，通過坐標(biāo)系做好“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化.讓學(xué)生通過“形”的直觀性理解函數(shù)和方程組之間的聯(lián)系.

此題無法直接通過解方程組得出結(jié)論，只有借助數(shù)形結(jié)合的思想，將“兩直線的交點坐標(biāo)”與“二元一次方程組的解”聯(lián)系起來，才能迎刃而解.

例4和例5的設(shè)計，使學(xué)生們在解題時主動運用圖形的直觀性進行思考和探究，知道了學(xué)習(xí)用圖像法解二元一次方程組的優(yōu)點，學(xué)會了從函數(shù)的視角重新認(rèn)識方程（組）與不等式.在學(xué)習(xí)過程中充分發(fā)揮了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究問題的能動性，擺脫了以往傳統(tǒng)教學(xué)中的學(xué)生被動接受新知的模式.

四、“用代數(shù)方法解不等式” 和“用函數(shù)圖像解不等式”深化數(shù)和形之間的聯(lián)系

在具體教學(xué)中可以設(shè)置例6，通過比較問題（1）“用代數(shù)方法解不等式”和問題（2）“用函數(shù)圖像法解不等式” 深化數(shù)和形之間的聯(lián)系本文旨在培養(yǎng)學(xué)生 “數(shù)形結(jié)合的思想”，通過“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待函數(shù)、方程、方程組這三者之間的聯(lián)系，充分讓學(xué)生親身體驗這個學(xué)習(xí)的過程，通過“數(shù)形結(jié)合”的思想，我們不僅能培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣化，更能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而使學(xué)生學(xué)會從多角度分析數(shù)學(xué)問題，感悟數(shù)學(xué)之美，體驗數(shù)學(xué)之趣.

【參考文獻】

[1]孫學(xué)東. “一次函數(shù)”教學(xué)探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（8）.

[2]張華. 淺談數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（30）.