數學思想方法的滲透

李建軍

【摘要】初中有理數在數學學習中是非常重要的，在初等數學中，這一章被稱為奠基石，它是學生學習代數的基本，不僅內容非常豐富，而且數學思想方法也非常多，非常有利于在這方面對學生的培養。初中數學教師在教育教學中，不僅要傳授知識、技能，還要滲透數學思想方法，培養學生數學意識，培養數學素質人才，非常有利于未來數學學科的長遠發展?；诖?，本文以初中有理數教學為例，分析了教學中的數形結合方法、分類討論方法、轉化思想、化歸思想，進而在教學中有效滲透教學思想方法，以此來供相關人士交流參考。

【關鍵詞】數學思想方法 ?初中有理數 ?教學 ?滲透

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）48-0037-02

在數學學科教育教學中，數學思想方法是非常重要的，教師在提出問題、思考問題、講授概念、推導結論、總結規律等等這些過程中，通常都有數學思想方法的滲透，進而培養學生數學素養，鍛煉思維方式的拓展[1]。對于學生對數學學科的學習，他們必須要具備一定數學思想方法，才能有效提高數學成績，有利于未來持續發展，教師要在七年級的數學教學中，就有意識地滲透數學思想方法。而在初中有理數教學中，這種方法是比較豐富的，非常有利于教師展開教學活動，但同時，這種方式不容易直接被學生發現，這就需要教師發揮其引導作用，在日常教學中，注意對數學思想方法的滲透，還要經常運用這些方法，使學生做到有效掌握。

一、數形結合方法

“數形結合百般好，割裂分家萬事休”是我國著名數學家華羅庚曾經說過的話，它通過將抽象的數進行具象化，使直觀的圖與抽象的數有機結合起來。數形結合可以更好地去把握問題的實質，避免一些簡單錯誤的發生。

【例1】已知條件為：a與b之間距離為8，并且a與b互為相反數，a>b，要求：求出a與b的值。

在學生解答這道題的時候，很容易由于錯誤理解絕對值的概念，從而將答案寫成±8，但是此刻教師若將數形結合的方法教給學生，引導學生做此類試題時借助畫圖進行分析，就能避免此類錯誤的發生。

在數學教學中，非常基本的概念就是數與形，對學生來書，數是非常抽象的，而圖形非常直觀，將兩者有效結合起來就形成數形結合方法。在初中解決數學問題時，這種方法應用非常廣泛，無論是教師還是學生，通過畫圖可以更直觀對問題進行分析，使之簡單化，更容易解決數學問題。教師在對有理數授課時，要有意識地培養學生對這種方法的應用，使他們形成畫圖解決問題的習慣，從而能夠熟練運用這種方法。本章針對有理數進行分析時，借助了數軸用來描述，不僅非常直觀形象，而且在有理數運算中，數軸也發揮了重要作用，充當工具角色，幫助學生分析問題、理解問題、解決問題。

【例2】若a>0，b<0，并且|a|>|b|，請你試著用“>”號表示a，-a，b，-b之間的大小關系。

分析：在對這種問題進行分析時，可以借助數軸來表示這些數，進而非常直觀的就可以看出大小。由題意已知，a>0，b<0，所以在數軸中，a在原點右邊，b在原點左邊，而且因為a的絕對值比b的絕對值大，因此b離原點更近，a離原點更遠，在數軸中標出來。同時，根據所學過的相反數概念，在數軸中標出-a，-b，又知道在數軸中，右邊的數比左邊的數大，從而非常容易就可以得出a>b>-b>-a。

在初中數學中，在絕對值、相反數等相關知識點的學習中，非常重要的數學思想方法就是數形結合，該法能夠幫助學生理解題目含義，避免許多錯誤，并且在以后的函數模塊學習中也會應用到該思想方法，在數學教學中有著極其重要的作用，所以教師在授課過程中，對于學生數形結合方法的應用一定要重點講解，為學生之后的學習奠定基礎。

二、分類討論方法

在數學教學中另一種常用的數學思想方法是分類討論法，像幾何圖形的分類、有理數的分類等。為加深學生知識理解的深度，幫助學生更好地理解知識點的內涵，掌握課堂知識的同時，更多地拓展相關知識，就需要教師著重幫學生掌握分類討論方法。

分類討論這種方法在數學中的應用，是在對問題進行解決時，為了更好分析問題，正確解決問題，要對此進行分析考慮，針對不同情況作出分類，然后一步一步進行解答，最后再將這些結果進行綜合，就可以全面得出問題答案，作出回答。這種分類討論，在解決某些數學問題時，非常關鍵，可以不遺漏某一種情況下的答案，可以幫助學生整理知識、理解知識，從而提高認知能力，數學思維得到有效發散。只有引導學生在解題過程中將問題可能出現的所有情況進行分類討論，才能正確解決問題，值得注意的是，使用分類討論方法時不能相互矛盾、重合。

【例3】若|a|=5，|b|=7，試求a+b的值。

分析：要充分考慮絕對值的概念，明確得出，a、b都有兩個值，要考慮不同取值下的情況，所以針對這個問題，要進行分類，從而得出答案。

解：因為|a|=5，|b|=7，所以a=±5，b=±7

（1）當a=5，b=7時，a+b=5+7=12

（2）當a=-5，b=7時，a+b=2

（3）當a=5，b=-7時，a+b=-2

（4）當a=-5，b=-7時，a+b=-12

綜上，a+b的值可能為12;2;-2;-12

【例4】試比較a與2a的大小。

分析：對于剛剛步入初中有理數學習范圍內的學生來說，本題具有一定的難度與挑戰性，有理數的學習，將他們的數域擴大到了負數，在他們最初的數字范疇內，只有正數，也就是a>0的概念，因此拿到該題，他們會很快給出2a>a的錯誤答案。

在解決該題時，教師應著重對學生強調有理數的概念，讓學生意識到a不僅可以是正數，還有可能是負數或是0，引導學生解決問題時，運用分類討論方法，將問題中a的可能性一一列舉，分情況討論a與2a的大小關系。即：①當a=0時，a=2a;②當a>0時，2a>a;③當a<0時，2a

通過這樣的分類討論，可以全面考慮每種情況，利用不同標準，使每種情況也不重復，全面分析了在絕對值中，有理數的正負號情況，進而更加清楚地解決問題，使之簡單化，容易解決。

三、轉化思想

將現有需要解決的難題轉化成已經解決的問題或是較為簡單的問題就是轉化思想。換句話說，該方法是將未知的問題轉化為已知知識，將復雜問題轉化為簡單問題的一種數學思想方法。

在有理數的運算中，轉化思想應用得比較廣泛。在對某些數學問題進行解決時，可能會面臨新的未知問題，這時候就要進行轉化，轉化成學生熟悉的已知問題，將繁瑣問題簡單化，對于那些比較抽象的問題，學生不能很好理解的問題，轉化成直觀、簡單、明了的問題。在初中數學應用中，可以說它是非常有實效性的，比較基礎，可以很好地幫助學生解決數學問題。在有理數運算中，轉化思想可以說是精髓，轉化的過程就是運算的過程，比如除以一個數，可以當成乘以它的倒數;減去一個負數，可以當成加它的相反數。

分析：在這個有理數計算題中，有乘法，有除法，還有加法，一般要運用轉化思想，將除法進行轉化，轉化成學生比較熟悉的乘法，接著再運用乘法法則，進行有效計算。

四、化歸思想

對于化歸思想，它也是數學問題解決中比較常用的一種方法，在解決問題的過程中，對陌生問題進行分析，利用轉化，歸結成一簡單、熟悉的問題，從而充分調動以前學過的方法、經驗、知識、能力，對此進行解決。通過化歸思想，把問題做出一定轉化，使學生有思路、有想法，更加簡便地找到答案，解決問題。

【例6】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，經過分析，2100個位數為6，22002個位數為4，請用這種方法進行分析，說出32005個位數為多少？

分析：學生可能覺得非常困難，可以引導學生找出規律，觀察前四個數的個位數，接著觀察再4個數的個位數，然后發現規律，是根據2，4，6，8進行循環，由此非常容易就可以得出答案。

五、集合思想

將符合統一條件對象集中到一起就是集合思想，使用集合思想可以讓問題變得直觀易懂。例如：可以將共青團看作一個集合，初一（1）班里所有的學生也可看作一個集體。

【例7】將下列數字放入相應的集合內

該題能夠幫助學生充分理解集合思想，并且通過此類問題，能夠加深學生對集合思想的印象。

六、逆向思維

將問題反方向思考就是逆向思維。

【例8】計算：2×4+2×1.5-2×（-2.5）

分析：首先整體觀察該題，不難發現，在每個部分中都有共同的2，而我們之前學過乘法分配律a（b+c+d）=ab+ac+ad，將逆向思維運用進該規律中就可以轉化為ab+ac+ad=a（b+c+d），所以就可將該題直接轉為2×（4+1.5+2.5）=2×8=16。

七、類比思想

為了讓學生能夠進一步掌握更多的知識，可以通過類比思想，將不同知識之間的聯系與區別進行歸納總結。

【例9】計算（2.8-0.5-1.7）×（-30）

分析：當學生初次遇到這類問題時，可以先讓學生將小學階段所學習過的乘法分配律回憶一下，再讓學生自主思考，若是將題目中的“-30”換作是“30”，題目又該如何作答。我們升入初中后，進行有理數學習時，區別就是加入了負數的概念，但相同點是，無論是正數還是負數都可以使用同樣的運算規律及方法，只不過處理方式略有差異，最關鍵的一點是將負數處理好。

八、方程思想

學生在初中數學的學習中開始進行由記憶型向理解型方向轉型，同時該階段內學生的理解能力也在不斷提升，該階段內為幫助學生更好地學好數學，可以逐步將方程思想教給學生，提升學生的理解能力，而利用方程將未知問題解答出來就是方程思想。

【例10】已知：a+5與b-3互為相反數，試求出8-2a-2b的值。

學生拿到該問題后，可以引導學生先以題中給出的已知條件為出發點，已知兩個部分之間互為相反數，也就是這兩部分的和為0，從而可以列出方程（a+5）+（b-3）=0，由此可以得出a+b=-2的結果，最后將（a+b）看作一個已知整體，代入題中進行計算。

即：8-2a-2b=8-2（a+b）=8-2×（-2）=12

綜上可知，在初中有理數教育教學中，有著許多數學思想方法，可以更好幫助學生理解數學知識，解決數學問題，實用性非常強。教師在日常教學過程中，首先要對數學思想方法有一定重視，然后不僅要強調學生的數學知識、數學能力、培訓運算技能，還要注意對這些方法的滲透，進而使學生在整個數學學習過程中，熟練掌握數學思想方法，并能進行靈活運用。通過數學思想方法的滲透，培養學生數學能力、數學素養，激發他們學習興趣，提高課堂效率，還可以增強教學質量，達到預期效果。

參考文獻：

[1]丁自瑤.交互式電子白板與初中數學課堂教學的整合探索——以《有理數的加法》第1課時教學為例[J].中國現代教育裝備，2017（8）：61-63.