高中數學解題中整合數形結合思想的實踐嘗試

摘要：在高中數學解題中，數形結合思想是一種十分重要的方法，不僅實用性強，還能培養學生的靈活思維，幫助學生消化知識。所以在數學解題中掌握數形結合的思想尤為重要，能夠降低解題難度，緩解學習壓力。本文將針對高中數學課本中的經典問題，提出數形結合思想的實踐嘗試，以幫助學生更好地理解運用此方法。

關鍵詞：高中數學解題;整合數形結合思想;實踐嘗試

中圖分類號：A 文獻標識碼：A

引言

高考考綱指出“數學科的命題在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查”，且在高考數學試題中大約57%的題型都涵括數形結合思想，學生用好數形結合思想方法，在解題時先想圖、畫圖后再解題，可以達到事半功倍的效果。

一、高中數學解題中整合數形結合思想的內涵

在高中數學里，整合數形結合表現為把數或數量的關系與圖形對應起來，借助幾何來研究代數關系或者利用代數關系來研究幾何的性質，可以使抽象思維和形象思維結合起來，化繁為簡，化隱為顯。“數缺形時不直觀，形少數時難定量”，把握數學問題的本質，可以讓很多問題迎刃而解，提高學生的解題效率。

二、高中數學解題中整合數形結合思想的實踐嘗試

（1）學生應牢固掌握數學基礎概念

例如，數與數軸、函數與圖像等。數的定義是數域里的某一個值，換成幾何的思維就是：在一條能夠表示數域的軸上（即數軸），一個數對應一個點。而從幾何來想代數就是：這條軸上所有點一一對應著數域里所有的數。函數的定義是含有未知數的一種對應關系，換成幾何的思維就是：在某一個運動面上，由滿足函數表達式的所有點形成的圖案;而從幾何來想代數就是：固定正交坐標軸后圖像上每一點的橫縱坐標都對應著滿足函數表達式的一對數值。

（2）教師應引導學生理解數形結合的思想

教師要通過積極的方式讓學生感受到利用數形結合思想對數學知識輔助掌握的優勢，從而在學習過程中更多地使用此方法。例如，在學習集合時，教師應先讓學生自己想出一個圖形或空間辦法來表示集合的包和并，然后教師展示韋恩圖這個方法，多使用例題讓學生牢記方法的使用和理解，從而幫助學生建立數形結合思想解題容易且準確的想法。再比如，以形解數問題的時候，選取典例“螞蟻路線”。在做題之前先引導學生畫出長方體的展開方式，標出長寬高，然后提出路線問題，直接利用展開圖快捷地解出最短路徑問題，把抽象的空間問題轉為簡單的平面問題，這也是數形結合思想的另一個優點。

（3）讓學生熟練掌握數形結合方法的應用

技巧一：有效轉化圖形與代數

在高中數學應試題目中，除去單純的代數計算，所有題目均可以使用數形結合思想，但不是所有題目使用此方法都會變得簡單直接，因此準確的推理與正確的圖形相互對照才能實現數形結合提高效率的有效性。

例題1 當 0<x<1時，x^2，x，1/x之間的大小關系如何？

本題定義域為（0，1），三個函數分別為y=x^2，y=x，y=1/x，則可以在坐標軸xOy中做出這三個函數的圖像，放大 0<x<1處的圖像，比較曲線的高低。因為x的定義域已知，則可以在（0，1）內取一數1/2，則x^2=1/4，x=1/2，1/x=2，顯然1/x>x>x^2，大小關系可以得出。

對比這兩種方法，我們可以看出實際上只做代數的運算會更簡單，畫函數圖像反而會影響加大分析過程難度和影響結果得出。因此，是否選擇數形結合的思想來解題這一判斷非常重要。

例題2 利用函數圖像求不等式解集 2x-6>3x-1

對于本題，分別作直線y=2x-6（紅色）與直線y=3x-1（黑色），它們相交于（-5，-17），所以當x<-5時，2x-6>3x-1，得出結果。然后我們再用代數的思想來驗證這一結果，取x=-6，驗算出2×（-6）-6>3×（-6）-1，即（-18）>（-19），不等式成立。

通過此題可以看出，數與形在解題過程中相互對照，這樣提高了正確率，使數形結合思想的應用變得更加高效。

技巧二：不局限于給出的圖像，善用輔助線構造新圖形來解決? ?代數要求（此技巧多用于解三角形一類題目）

例題3 如圖，已知在三角形ABC內，角BAC為60°，角C為40°，P，? ? ?Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是角BAC，角ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BP。

已知兩個角的度數，通過簡單的計算我們可以得出三角形BCQ為等腰三角形。因此求證的BQ+AQ可以轉化為AQ+CQ=AC，且AC如何=AB+BP的問題，很容易聯想到應在AC上截取AD=AB，轉而證明BP如何等于CD的問題。此后再證出CD=DP=BP即可解決題目所求。

通過此題可以看出，僅僅依靠所給的圖形來解決三角形的長度問題還不夠，因此在解三角形題目里常用到輔助線，而輔助線里常用的角平分線、中位線、等長線、取半線均有特殊的數量關系。利用這些特殊的線得出角度、長度的信息從而解出完整的三角形圖案。這是以數助形，以形解數的最普遍利用，學生應牢牢掌握此技巧，在解決空間立體幾何問題時才能游刃有余。

技巧三：在平時的學習解題過程中要多加練習，構建自己的數形結合聯想思維，碰到相似題型可以更快捷的直接應用已得出的結論迅速寫出答案。

例題4 若當P（m，n）為圓x^2+（y-1）^2=1上任意一點時，不等式m+n+c≥0恒成立，則c的取值范圍是多少？

由m+n+c≥0，可以看作是點P（m，n）在直線x+y+c=0的右側，而點P（m，n）在圓x^2+（y-1）^2=1上，實質上相當于是x^2+（y-1）^2=1在直線的右側并與直線相離或相切。則可以利用直線與圓的距離公式求出c的取值范圍。但當學生學會了使用三角換元方法：不等式m+n+c≥0恒成立等價于c≥-m-n，由題意，令m=cost，n=sint+1。所以經過代換可求等式-m-n=-cost-sint-1=-√2×sin（t+pi/4）-1的最大值為√2-1，則c≥√2-1。此方法更加的簡單便捷。

通過這道題可以看到，熟悉一種解題方法，在經過數形的準確分析后，遇到同類型的題快捷地使用代換即可求解，這是一種比較更為高級的技巧。

三、結束語

綜上所述，高中數學解題中整合數形結合思想可以開拓學生的解題思維，提高學習效率，對學生來說有著重要的價值。希望通過本文的實踐嘗試，學生能不斷提升做題思路，總結出技巧和規律，真正地將數形結合思想貫徹到高中數學學習中去。

參考文獻

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作者簡介：馮波（1989年-）男 重慶市 大學本科 中級職稱 研究方向：高中數學 工作單位：重慶市江津第八中學校