淺談構造法在柯西不等式中的運用

周維太

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-54-

在高中數學里，不等式的考查日趨多樣化，而柯西不等式就是其中的一種常見的考查要點，但對于多數同學來說，如何正確地運用柯西不等式，如何將不等式構造或轉化成柯西不等式的形式尤為困難.構造法是一種很常用的方法，本文擬通過對教學工作中的一些思考，將柯西不等式的構造作一點粗淺的總結，以期拋磚引。

一、柯西不等式

等號當且僅當或時成立（k為常數，）

證明：構造二次函數

=

由構造知 ? 恒成立

又，當都為0時成立，若其不都為0時，則顯然，

即

當且僅當 ?即時等號成立

二、柯西不等式的構造

柯西不等式是一個非常重要的不等式，有非常重要的運用意義，但很多問題不能直接運用，就需要進行適當轉換和構造，使其在形式上符合柯西不等式的運用要求.

例1 ?設，試求之最小值.

解：考慮以下兩組向量

=（2，–1，–2）， =（x，y，z），根據柯西不等式，就有

即

將代入其中，得 ?而有故之最小值為4.

由于柯西不等式有三角形式、多維形式、向量形式，可以考慮用適當的方式進行解決.這個題在用柯西不等式的向量法求解同時，也可用一般形式解決.對出現的負號，其處理的方式和正號一樣，不用區別化對待，只需構造出柯西不等式即可.

例2 ?若x，y，z為實數，且，求證：.

解：根據不等式的結構特征，構造兩組數：

，因為

所以，所以，

又因為

所以，

所以，故有.

若柯西不等式直接使用，需要對數學式子的形式進行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結構，才能應用. 因而適當變形是我們應用柯西不等式的關鍵.注意平方及根式的運用，同時注意數字或字母的順序要應對柯西不等式中的數字或字母的順序.

例3 ?，求證：

證明：

利用柯西不等式時關鍵問題是找出相應的兩組數的關系 ，當這兩組數不太容易找時，需分析、增補、平方、寫根式（特別對數字1的增補，如a=1·a）變形，為運用柯西不等式創造條件.

例4 設正數

很有些問題本身好像不具備運用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項式的形態結構，認清其內在的結構特征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的.

例5 已知 [來源：學科網]

在這些習題中，要能夠順利地解決問題，就要在對柯西不等式熟悉的基礎上，為不等式的利用創造條件，進行合理地運用和轉化，讓條件和結論進一步加深它們的關聯性.

綜合本文，可以看到柯西不等式有諸多應用技巧，它對解題具有很強的指導作用和應用價值.通過對不等式的構造和轉化，能避免繁雜運算，優化解題過程，提高解題速度，提升學生學習的興趣.

參考文獻

[1]陸昌榮 ?《柯西不等式》

[2]劉翠霞 ?《教科書資源開發與利用之選修4-5柯西不等式的應用》