統計軟件R 在數理統計教學中的探索與應用

王麗麗 趙 娟

（合肥學院<人工智能與大數據學院數學與統計系，安徽 合肥 230601）

0 引言

數理統計是理工科院校數學與統計專業的必修專業課，是一門從隨機數據中獲取信息、發現規律并指導決策的科學。 數理統計以概率論為基礎，研究大量隨機現象的統計規律， 其主要內容有參數估計、假設檢驗、方差分析和回歸分析。由于計算機的應用，數理統計在自然科學、工程技術、管理科學及人文社會科學中的應用越來越廣泛和深入，而傳統的“理論+推導+例題講解” 的上課方式已經無法滿足數理統計的教學要求。 隨著大數據時代的到來，計算機技術的普及和各種統計軟件的廣泛應用，減少數理統計教學中復雜理論知識的講解和繁復的證明，著重介紹模型的應用背景和應用實例， 并介紹一款統計軟件工具，力爭每個實例都能以算法實現，就顯得尤為重要了。

統計軟件R 是以一種S 語言的擴展實現作圖和數據分析的系統，是一個優秀的統計計算和可視化的軟件。 相對于目前廣泛使用的商業統計SAS、SPSS 軟件而言，統計軟件R 最大的特點是：開源，版本更新快，有大量的用于各種任務的庫。 尤其是有許多使用統計軟件R 的各領域的學者源源不斷地提供最新和最前沿的開源軟件包可供使用。本文著重介紹統計軟件R 在數理統計教學中的探索與應用。

1 統計軟件R

1.1 R 軟件的下載及安裝

用戶可根據自己計算機所用的操作系統， 從R 官方網站或其遍及各國的CRAN 鏡像站點選擇對應的版本下載。目前R 最新版文件命名形式已統一為R-x.x.xwin.exe，直接運行，并選擇安裝目錄及選裝內容即可。

R 是一種解釋型語言，輸入的指令可以直接被執行。在提示符后可以以交互式的行命令方式一個個地輸入指令，也可以創建一個腳本文件并以此方式運行所寫的腳本文件。許多擴展的、新的開發包可以在“程序包”選單選擇安裝加載。

1.2 與統計計算有關的常用函數

常用函數：max（），min（），which.max（），which.min（），length（），sum（），prod（），mean（），median（），var（），cov（），cor（），std（），quantile（），summary（），rev（），sort（），order（），rank（）常與統計函數聯用的兩個重要的函數：apply（），sweep（）

表1 R 中常用的分布函數

R 軟件在統計分析時為處理方便準確，提供了更為細致的有關概率函數。 這些函數包括四類：d（密度函數），p（分布函數），q（分位數函數），r（隨機數生成函數）。

2 R 在數理統計教學中的探索與應用舉例

2.1 抽樣分布中的應用實例及R 語言實現

數理統計第一章主要介紹基本概念理論，包括常見統計量如樣本均值、方差、樣本矩的計算；散點圖、餅圖、直方圖、盒裝圖、莖葉圖等的繪制；抽樣分布、經驗分布函數等的直觀展示。 R 具有便捷的數據可視化系統，除了常規的圖形之外，還可作出美觀、個性化的圖案，如小提琴圖，臉譜圖等。 在上課過程中，結合學生參加全國大學生市場調查與分析大賽的題目和調查問卷收集的數據，作出臉譜圖，引起了學生極大的興趣。 附R-語言程序及執行結果如下：

圖1 臉譜圖

在臉譜圖中，臉的長度、寬度、臉型及嘴的高度、寬度分別代表著品牌的高端、性價比高、安全可靠、智能及方便。

2.2 參數估計中的應用實例及R 語言實現

數理統計第二章主要介紹的是參數估計，包括點估計中的矩估計和極大似然估計、區間估計、估計量的評價標準和克拉默-拉奧不等式。

例：已知某人分別搭乘公共汽車和地鐵上班所需的時間數據，假設其服從正態分布。假設分別有65 分鐘和58 分鐘可用，問應選取哪種交通工具上班？

解：輸入數據，R-語言程序及計算結果如下：

時間限制 65 時 P（x＜=65）的估計：乘公汽 0.7233102；乘地鐵0.7699699

時間限制 58 時 P（x＜=58）的估計：乘公汽 0.5295298；乘地鐵0.1969957

所以，假設有65 分鐘可用，應乘地鐵上班；假設有58 分鐘可用，應乘公交車上班。

2.3 假設檢驗中的應用實例及R 語言實現

數理統計第三章主要介紹的是假設檢驗。假設檢驗是統計推斷的一個重要方面，包括參數假設檢驗和非參數假設檢驗。

例：廠家A、B、C 是生產某一產品的知名企業，在過去的一年里，它們的市場占有率分別是15%、35%、25%。 廠家A 為了提高市場占有率，對該產品進行了改進。 現進行抽樣調查，對銷售出的200 件調查的結果如表2 所示：

表2 廠商銷售量數據

依據調查數據對該產品的市場占有率是否發生變化做出判斷，以便為廠家A 下一步的決策提供依據（顯著性水平0.05）

解： 設 p1，p2，p3分別為廠家 A、B、C 的市場占有率， 現進行非參數假設檢驗：H0∶p1=0.15，p2=0.35，p3=0.25 R-語言程序及計算結果如下：

所以，不拒絕H0，即現有數據不拒絕“市場占有率未變”這一論斷。

2.4 回歸分析中的應用實例及R 語言實現

數理統計第四章介紹的是兩種非常重要的統計方法：方差分析和回歸分析。

例：某企業逐年用于技術改造資金x（單位：萬元）與產品銷售利潤的增加額y（單位：萬元）資料如下：

表3 某企業技術改造投入與銷售利潤數據

若使利潤增加額以95%的概率在100 萬～150 萬元之間，利用一元線性回歸預測，技術改造資金應在何范圍內？

解：①建立一元回歸方程；②預測。R-語言程序及計算結果如下：

通過觀察t 檢驗和F 檢驗的p 值，可判斷自變量和整個模型都是顯著的。 技術改造資金應在38.87萬～42.89 萬之間，才能使利潤增加額以95%的概率在100 萬～150 萬之間。

3 結論

數理統計是一門應用性非常強的學科，在近幾年的教學過程中， 我們突出了數理統計基本思想的介紹，適當略去了復雜的公式推導和定理證明。 著重介紹統計方法和模型的應用背景和應用實例，并引入統計軟件R，力爭每個實例都能以算法實現，以期全面改善教學效果。

通過兩個學期的教學實踐，我們發現使用R 軟件后， 學生擺脫了煩瑣的計算，R 強大的互動性極大地激發了學生的學習興趣。 未來，我們將進一步探索R在教學中的應用，使學生能夠在領會各種統計方法的基本思想的基礎上，自覺地、得心應手地借助R 軟件來解決遇到的各種實際問題。