淺析數學解題教學中教師的引導

陳 柯

(江蘇省南通田家炳中學 226000)

習題課是是中學數學教學中的一種重要課型，是新授課的延續，也是新授課的升華，承載著培養學生良好的解題習慣和培養學生良好的解題思維的重要責任.不少教師已經做到：習題課前能根據教學目的準備好例題，注意各例題之間的竄并聯；但是也有不少教師在困惑，好的例題找到了，可是習題課該怎樣上，才能演繹出精彩？

下面，筆者就結合自己的教學實踐，來談談解題教學中教師的引導.

一、習題課提問存在的問題及分析

筆者認為，作為教師，能夠精心準備例題是值得肯定的，這是達到習題課教學目的的根本前提，但僅滿足于此還遠遠不夠，一個高明的教師，需要同時考慮好引導性提問.引導性提問包括兩方面的含義：一是當學生思考例題出現問題時，教師應該轉換角度或鋪設臺階展開提問，使學生能夠順利回答；二是當學生回答能夠解決的例題后，為了幫助學生掌握問題的本質而進行的更深層次的提問.無論是哪種提問，都需要教師的預知能力，更需要教師的教學智慧.由此可見，有效的引導性提問來源于超前的預知能力和靈活的教學機智.應該說，它是課前的精心設計和課堂的千變萬化的有機結合.在解題教學中，教師必須根據實際情況，精心設計引導性提問，抓住提問時機，讓引導性提問真正成為師生深入交流的平臺，以此提高數學解題教學的高效性，使數學習題課更加精彩.

二、把握教學中的引導性提問及時機

在課堂教學中，可以在以下幾種情況下抓住提問時機，實施引導性追問.

1.當學生思考遇到障礙時

例1在中考總復習第一輪復習“銳角三角函數”一課中，教師展示以下問題：

圖1

面對該題，大部分學生思路受阻，根本無從下手，此時教師可設置若干個小問題，展開引導性提問，設法啟發學生去解決問題.

師：tanA的解決必須在什么圖形中解決？

生1：當然是設法將∠A放入直角三角形中！

師：△ABC的內心的定義？

生2：△ABC的三條角平分線的交點！

師：內心在y軸上又說明什么？

生3：y軸平分∠ABC！

師：根據點C的坐標為(2,0)，點B的坐標為(0,2)，又能得到什么結論？

生4：△BOC是等腰直角三角形，∠CBO=45°，又根據y軸平分∠ABC，從而∠ABO=45°，進而得出∠ABC=90°！

師：終于根據條件找到了有關∠A的直角三角形了！那么，tanA怎樣表示呢？

師：求AB的長，現已知點B的坐標，還要知道什么量？

……

注：該案例中，教師沒有因為大部分學生思考遇到障礙，無從下手，而讓優秀生講解或自己講解，而是將整個問題的解決思路設置為若干個連續的引導性提問，層層推進，步步為營，逐漸向待求的問題靠攏，讓學生充分體會到“拔云見日”的艱辛和成功.

2.當學生思考出現錯誤時

例2在教學“二次根式的乘法”一課時，教師在講完常規的二次根式的乘法例題后，引出以下問題：

這個問題有一定難度，部分學生很容易上當受騙，不注意從二次根號內移出或從根號外移入的因式必須是非負因式，思考出現錯誤，馬上展開以下引導式提問.

師：由此可見，從二次根號內移出的因式有何特征？

生1：從二次根號內移出根號外的因式應是非負因式.

師：那么從二次根號外移入的因式的符號又該如何呢？

生1：(立刻恍然大悟)從二次根號外移入根號內的因式也是非負因式，首先必須先判斷式中x的符號，再移入根號內.

師：那么怎么判斷式中x的符號呢？

3.當學生思考偏離方向時

例3在初三總復習的一節習題課上，教師出示以下問題：

若x1、x2(x1

A.x1

C.x1

生1：先解方程，求出兩根，再根據選項進行比較.

師：那么你試試看吧！(讓該生上黑板解方程(x-a)(x-b)=1(a

生1解了一會兒，發現解不下去了，打起了退堂鼓，老師讓其回位置！

顯然，學生因為思維定勢，看見了一元二次方程的根，即想通過解方程求出根，明顯偏離了教師預設的方向.教師應立即根據具體情況，展開引導性追問.

師：剛才那位同學想通過解一元二次方程，設法求出兩根解決問題，但是實際操作過程中，發現此路不通！我們應及時調整解題的思路！不妨先看看該方程的左邊(x-a)(x-b)，形式類似于前面學過的什么知識啊？

生2：這不是二次函數解析式中的交點式的右邊部分嘛！

生3：(有所聯想)我們可以考慮令y=(x-a)(x-b)，y=1通過函數的方法解決.

師：很好！那么請問二次函數y=(x-a)(x-b)中a、b的意義是什么啊？

生3：是拋物線y=(x-a)(x-b)與x軸的交點的橫坐標的值

師：y=1的圖象又是什么啊？

生3：是過(0,1)的一條與x軸平行的直線！

師：既然考慮函數方法解決，自然少不了什么數學思想？

生3：數形結合，畫圖解決！……

注：該案例的問題，是一道易讓學生思考偏離方向的函數建模問題.當學生思考偏離了方向，教師千萬不要因為怕浪費寶貴的課堂時間而打斷學生的思考，而是要讓學生自己去發現自己的思考偏離了方向無法解決問題后，進而調整思路.教師應適時轉換角度，引導學生從與之相關的其它知識點去看問題，從而把學生引向建立函數模型的正確軌道，使學生感受到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”.在培養學生函數思想建模的同時，又培養了學生良好的數學解題習慣.

4.當學生思考不夠全面時

例4教師在教學“一元二次方程的根的判別式”時，出示以下問題讓學生思考：

已知關于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有實數根，求k的取值范圍.

生1：因為原方程是一元二次方程，又有實數根，所以△≥0，即建立關于k的不等式，求出k的取值范圍.

這個問題難在審題，只要學生審題不仔細，那就肯定會出錯！一般錯誤正如剛才那位學生一樣思考不夠全面，教師應立刻展開引導性追問.

師：你剛才說該方程是一元二次方程，有依據嗎？

生1：(經過仔細觀察后發現)好像不是一元二次方程!

師：為什么？

生1：該方程的二次項系數是k，可能為0.

師：那根據題設，該往哪個方向思考啊？

生1：(恍然大悟)根據二次項系數的特征，分類討論！當k=0時，為一元一次方程；當k≠0時，為一元二次方程，加以討論.……

注：該案例中，教師并沒有因為學生思考不夠全面而直接給出答案，而是通過及時展開引導式提問，先找出學生一開始回答出的破綻，要學生自己去攻破，使學生明白本題的解決必須分類討論.

5.當學生思考不達本質時

例5教師在教學“銳角三角函數習題課”時，出示以下問題讓學生思考：

如圖2，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則sinα=____． 生1(該生基礎較好)：根據正方形的特點，AD=DC，∠ADC=90°，

選擇過點D作這四條平行線的垂線，分別交l1于點E，交l4于點F，這時

問題解決后，為防止就題論題，學生的思考僅停留在表層，而達不到實質，教師可以通過引導性追問，讓學生找出其中的基本圖形，真正掌握其本質.

師：這張圖中存在一個在相似中很熟悉的基本圖形嗎？

生2：正方形的特點“∠ADC=90°”構造出“K”型的基本圖形

師：對，“K”型的基本圖形往往可以構造相似，當然正方形的特點“AD=DC”還可以在相似的基礎上構造全等！

接著，教師再出示以下問題：

如圖3，直線l過正方形ABCD的頂點B,點A、C到直線l的距離分別是1和2,則正方形的邊長是____，有了剛才的引導性追問，和老師的總結，不少學生積極舉手.

圖3

注：該案例中，教師沒有對問題蜻蜓點水，而是通過引導性追問，以一題為載體，通過現象抓“基本圖形”，使學生達到“解一題，會一類”的目的，避免了“題海”戰術的困擾.

車爾尼雪夫斯基說：“機智是一個不喜歡拜訪懶漢的客人.”應該說，引導性提問這種課堂教學機智不是一朝一夕可以完成的，需要教師在不斷學習，不斷總結，不斷反思中去積累，去完成.只要善于觀察和善于思考，在平時的教學中做個有心人，這種教學機智一定會從有痕到無痕，從偶然到必然，我們相信，如果“引導性提問”能被教師熟練運用于數學解題教學，數學習題課將會演繹更多的精彩，數學解題教學將會更加有效，真正做到“減負增效”.