數學抽象能力的內涵及其體系構建
——以初中數量關系內容為例

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《義務教育數學課程標準(2011 版)》(以下簡稱《課標(2011 年版)》)提出數學核心素養“核心概念”，其中涉及數學抽象思想的有六個：數感、符號意識、空間觀念、運算能力、模型思想和應用意識。高中學段提出的六個數學學科核心素養，數學抽象能力的培養在核心素養的首位。

一、數學抽象能力的內涵

對數學抽象能力的討論離不開數學核心素養。根據國內相關研究可分為以下幾種觀點：1.高中數學課程標準修訂組史寧中教授為代表的“三會”描述性定義(整體概況為會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界[1])；2.六種數學能力的結構劃分；3.張奠宙為代表，在六種能力的基礎上強調情感、態度、價值觀層面重要性的觀點。4.呂世虎為代表的數學知識與技能、問題解決能力、數學思維和數學精神交叉融合的觀點。[2]5.數學核心素養包含數學思維方式、數學關鍵能力及通過數學活動進行人格養成的觀點。[3]

聚焦幾種觀點，抽象能力在數學核心素養的構成中極為重要，這也是由數學學科的特點決定的。數學是對現實世界的抽象，并反映現實世界中事物的規律、關系和本質。數學抽象就是數學思維的過程。多種表述中，將數學抽象歸納到重要的數學思維層體系中。

目前數學抽象能力的內涵分析，呂世虎等專家表述中體現抽象中含有表達，認為數學抽象是從數學角度識別并歸納出問題情境中所蘊含的數學規律和數學問題，并用準確表述[2]；同時存在表達中含有抽象之意，體現為運用數學表述和解決問題的過程中，重復認識數學具有抽象的特點；還有用其它名詞取代數學抽象的傾向，如：張奠宙、馬文杰提出：數學抽象的意義較寬泛，與其他關鍵能力多有重復；算法設計更貼近信息時代的社會需求。用“算法設計”取代“數學抽象”。不同表述都具有相同點，即在抽象過程中，時刻伴有表達的發生，抽象與表達交叉存在。

對數學抽象能力的界定必須體現其過程性，包括基于現實和基于邏輯的不同階段思維過程。思維的過程就是表達的過程，語言承載著思想；思想是思維的結果，體現了語言產生、發展與表達的內心活動。

二、數學抽象能力體系的構建

1.現有數學抽象的素養水平劃分情況 教育部于2018 年1 月頒布了《普通高中數學課程標準(2017 年)》，對數學抽象的素養進行了水平的劃分。在評價項目基本相同的情況下，體現為描述項目的定語不同，如體現抽象數學概念和規則標準的用語：

水平一：在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則；

水平二：在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則；

水平三：在綜合的情境中抽象出數學問題。

三種水平的確定為螺旋上升式。此種劃分是一種理想化的形式，默認為學生在不同水平段均具有各項能力，只是在水平的發展上有不同的層次，忽視了學生能力發展的差異性，與學生實際能力的發展有不符之處。

2.初中數學抽象能力構成體系分析 依據能力形成的過程性，確定初中數學抽象能力的構成體系，由低到高分為三個層面：闡釋數學對象層、形成數學事實層、進行數學表達層。

以一初中數學數量關系問題為例，

問題：填上表格中? 表示的數：

分析：

第一個階段：觀察表格中的數，按照找規律的方式，一般情況下從序號3 一列開始分析比較容易。

將3 分解為3×1；8 分解為4×2；15 分解為5×3；24 分解為6×4…

列式即為：3=3×1；8=4×2；15=5×3；24=6×4…

將此列等式用數字、文字共用方式表述為：

因數3 與序號3 相同，因數1 比序號3 少2；

因數4 與序號4 相同，因數2 比序號4 少2；

因數5 與序號5 相同，因數3 比序號5 少2；

因數6 與序號6 相同，因數4 比序號6 少2…

本階段為闡釋數學對象層，即在具體的案例中，闡釋數學對象。

第二階段：用一句話概括數學對象，即每個序號下方的數可以分解成兩個因數的乘積，其中一個因數總與序號相同，另一個因數總比序號少2。

本階段為形成數學事實層，即在具體的案例中，抽象出規律，在特例的基礎上形成數學事實。

第三階段：用符號表述序號n 下方的數為n(n-2)。

進行驗證：當n=1 時，1×(1-2)=1×(-1)=-1

當n=2 時，2×(2-2)=2×0=0

演繹推廣，當n=200 時，n(n-2)=200×(200-2)=200×198=39600。

本階段為進行數學表達層，即在理解了相關的數學事實后，用符號化的語言進行數學表達，并推廣應用。

教師依據此體系進行教學，可以準確查找、發現過程性問題，確定抽象能力體系中出現問題的層面，進行教學矯正。

3.初中數學數量關系內容的具體要求

(1)《課標(2011 年版)》對數量關系內容界定的學段目標分析

初中階段涉及數量關系的教學內容，呈現數、字母、代數式、等式、不等式、函數的教學體系。

數量關系內容的教學脈絡呈現了層次性、階段性、持續性，與學生抽象能力的形成所應具備的過程相一致。

《課標(2011 年版)》在闡述學段總目標的項目里，細化到數學抽象能力，如在運用數學表述和解決問題的過程中，認識數學具有抽象的特點。這一闡述和數學抽象能力體系的構建也是相互呼應、密切聯系、相互交融的，其中情感態度層面的要求融合在體系的構建全過程。

初中數學抽象能力的形成是需要依托具體的教學內容、教學過程進行的，正如數字2 是人們從2 匹馬、2 棵樹、2 個人、2 塊石頭等現實概念中產生一樣，這個過程是有層次的，遵循了數學發展從繁到簡的認識規律，但其形成過程借助數學抽象能力體系圖層能實現可視化定位。正如皮亞諾所說“數學中的一切進步都是引入符號后的反響。”將現實問題轉化為形式符號進行研究，利用數學語言對研究對象進行深入結構分析、規律探索，是初中數學抽象能力形成的過程。