尋問題 找差異 促提升
——以非常規(guī)問題為例尋求縮小思維差異的策略

■浙江省海鹽縣城西小學(xué) 傅敏娟

為了縮小學(xué)生數(shù)學(xué)思維上的差異性，我們研究發(fā)現(xiàn)：思維過程起始于問題的形成和確定，任何思維過程總是推向于某一具體問題，問題是生長新思想、新方法、新知識(shí)的種子。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地思考有價(jià)值的問題，并形成一定的策略，對(duì)于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維來說至關(guān)重要。

一、問題初探，呈思維差異之現(xiàn)象

案例：一杯水連杯子重450克，倒出一半水后，連杯重250克。

提問：1.你能提出什么簡單的數(shù)學(xué)問題？2.你還能提出什么挑戰(zhàn)性的問題？怎樣解決這些問題呢？把你的方法寫下來，方法越多越好！對(duì)于第一個(gè)問題，學(xué)生能模仿提問，學(xué)生：水重多少克，杯子重多少克？我們發(fā)現(xiàn)在這一層次的問題提出上看不出思維的差異。同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生一時(shí)都提不出挑戰(zhàn)性的問題，于是我們讓學(xué)生先把想到的方法寫下來，并試以交流的方式讓學(xué)生說出心中疑問。

我們看到：第一層次的學(xué)生提出“水和杯子各重多少克”的，這些關(guān)于知識(shí)性的問題往往最直接想到，顯現(xiàn)出一點(diǎn)小差異；第二層次是關(guān)于方法的問題，可能通過交流表達(dá)更適合把心中的疑問通過圖畫、語言等呈現(xiàn)出來，在這個(gè)環(huán)節(jié)，差異開始變大；有些學(xué)生會(huì)寫、會(huì)畫，但不會(huì)用適當(dāng)?shù)恼Z言表達(dá)出來；當(dāng)關(guān)于策略選擇的問題出現(xiàn)時(shí)，就是內(nèi)隱為學(xué)生內(nèi)心的思維活動(dòng)，這一層次便出現(xiàn)了更大的差異。于是，我們?cè)噲D尋找這些差異產(chǎn)生的原因。

1.解決問題程序缺失，思考過程缺少條理。學(xué)習(xí)是有規(guī)律的，不同的人，學(xué)習(xí)特點(diǎn)也不一樣。我們看到部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息的加工出現(xiàn)種種疑惑與困難，他們只能按照自己的思考方式，這些學(xué)生的記憶基本是塊狀結(jié)構(gòu)，缺少邏輯性。

2.數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)零散，彼此之間缺少溝通。新教材以情境代替例題，以對(duì)話式的圖文代替文字表述，讓“數(shù)量關(guān)系”隱含在情景中，增加了教學(xué)難度。有部分學(xué)生會(huì)列等量關(guān)系會(huì)畫線段圖，但缺少數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，到最終在解決問題的方法上還是不能靈活運(yùn)用。

3.問題層次性訓(xùn)練不夠，習(xí)慣常規(guī)缺少挑戰(zhàn)。學(xué)生在解決問題時(shí)往往簡單地以經(jīng)驗(yàn)為主，盡管知道可以畫圖、可以找等量關(guān)系，但缺少解決問題的一般方法和策略。案例1提挑戰(zhàn)性的問題，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生也在往“畫個(gè)圖→表示出數(shù)量關(guān)系→形成算式”方向思考，這就是關(guān)于面對(duì)問題的策略選擇。但這種思考比較內(nèi)隱，比較零散，形成不了系統(tǒng)，他們不知道這樣的思考方法可以用提問的方式表達(dá)出來。這也是學(xué)生所存在的最核心的差異。

二、問題尋根，析思維差異之原因

1.解題至上，思維提升缺引領(lǐng)。非常規(guī)數(shù)學(xué)問題，是指無法用現(xiàn)成的常規(guī)方法解決的問題。這些已經(jīng)超越了以往單純“解題”的教學(xué)功能。而我們教師仍然把解決問題看成“解題”來指導(dǎo)，缺乏一定的系統(tǒng)性和發(fā)展性眼光。在上面的案例中，當(dāng)結(jié)構(gòu)性材料缺失的時(shí)候，學(xué)生就出現(xiàn)了塊狀思維，解題困難的情況。

2.接受為途，解決問題缺挑戰(zhàn)。案例中學(xué)生對(duì)第一問法非常積極，這是他們認(rèn)知基礎(chǔ)上已形成的方法，但對(duì)于挑戰(zhàn)性問題這樣的難度就有所畏懼，不敢主動(dòng)提問，不能及時(shí)地把心里思考的過程表達(dá)出來，在心理學(xué)上，這也是一種“趨利避害”的現(xiàn)象。

三、問題再探，尋縮小差異之策略

我們以同樣為非常規(guī)問題的“植樹問題”為例，尋找縮小學(xué)生思維差異的策略。

（一）解決問題的程序性知識(shí)，作為最基本要求

1.建立表象，給知識(shí)性問題的提出搭建“腳手架”?！爸矘鋯栴}”屬于非常規(guī)問題，缺少常規(guī)的解題信息和解題思路，而教師用貼近學(xué)生實(shí)際的知識(shí)呈現(xiàn)方式進(jìn)行教學(xué)，能幫助學(xué)生縮小差異。如“植樹問題”一課的開始，我們就通過課件向?qū)W生展示了5棵樹是怎么種的，間隔是怎么來的，這樣非常直觀地展示在學(xué)生面前，形成植樹問題的表象。

2.耐心等待，給深層的思考提供時(shí)間和資源。數(shù)學(xué)家姜伯駒先生說過：“數(shù)學(xué)使我學(xué)會(huì)長時(shí)間地思考，而不是匆忙地去做解答?！蓖瑯釉凇爸矘鋯栴}”教學(xué)中，我們可以給學(xué)生學(xué)具擺一擺，讓他們靜靜地思考，就會(huì)有新的想法出現(xiàn)。

（二）數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)訓(xùn)練，廣泛建立聯(lián)系

1.分析數(shù)量關(guān)系的方法。一般的策略包括“綜合法”與“分析法”“尋找中間問題”等。在這些方法的習(xí)得中，我們有意識(shí)地在教學(xué)過程中運(yùn)用，潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生有條有理地分析，并把自己的想法用語言或者圖式表達(dá)出來。隨著熟練程度的提高，作為一種習(xí)慣性的數(shù)學(xué)思維方式成為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一部分，從而提升學(xué)生的思維。

2.提煉數(shù)量關(guān)系的策略。提煉數(shù)量關(guān)系，這既是一個(gè)尋找規(guī)律的過程，也是獲得同類問題解決方案的一個(gè)通用策略。數(shù)量關(guān)系常有兩種類型。比如，“4個(gè)間隔，每個(gè)間隔5米，一共幾米”，分析這題：每個(gè)間隔5米×4個(gè)，一共20米→每個(gè)間隔的米數(shù)×間隔數(shù)等于總米數(shù)→每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。這里“每個(gè)間隔5米×4個(gè)”是情景型關(guān)系式（還如“速度×?xí)r間=路程”等）；純數(shù)學(xué)術(shù)語表征的關(guān)系式（即“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”）。作為“現(xiàn)實(shí)問題”向用“數(shù)學(xué)方法解決”過渡的橋梁，這些關(guān)系式無疑是十分重要的，我們?cè)诮虒W(xué)中運(yùn)用歸納、記憶與應(yīng)用等方法，讓學(xué)生在思中問，在思中練，在思中經(jīng)歷抽象過程，讓思維向高一層次發(fā)展。

（三）問題層次性訓(xùn)練，由知識(shí)問題到策略問題

1.注重原型，滲透思想。數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力的根本所在。如在“植樹問題”中把100米的小路改成了1000米，這樣數(shù)字變大了，就有學(xué)生提出可不可以舉一些較小的數(shù)來驗(yàn)證，這也是我們數(shù)學(xué)思想中的“化繁為簡”“以小見大”。有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展到更深的層次。

2.巧用建模，發(fā)展思維。非常規(guī)問題的教學(xué)，最重要的就是要突出如何把一個(gè)實(shí)際問題，抽象轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決。在學(xué)生得到兩端都種的情況是棵數(shù)=段數(shù)+1，教師不急著講解另外的兩種類型，而是問學(xué)生那10個(gè)點(diǎn)幾段？100個(gè)點(diǎn)呢？讓學(xué)生閉上眼睛，在腦海中想象一下這個(gè)圖，從而更深刻地理解這個(gè)模型的內(nèi)涵，又通過點(diǎn)段圖建立“一一對(duì)應(yīng)”的思想，幫學(xué)生建立了植樹問題的三種模型。

特級(jí)教師許衛(wèi)兵提出：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是“思維”。我們要將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的共性與個(gè)性辯證地統(tǒng)一起來，形成解決問題的一些基本策略，縮小思維的差異性從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的素質(zhì)與能力。