基于問題解決的中國數學教育研究七十年:價值嬗變與研究展望

馬曉丹

一、引言

在世界數學發展史上,許多經典的數學問題都源于生活。我國古代就有著從社會實際中提煉出數學問題并加以解決的優秀傳統。這些問題的發現與探索無不彰顯出我國古代學者的智慧,為我國數學發展作出巨大貢獻的同時,奠定了我國在世界數學史上的輝煌地位。可見,數學問題解決是數學發展的源動力,也是一個國家創新發展的源泉。我們在自豪于古代數學成就的同時,反思我國現當代問題解決的發展是保持數學教育生命力、激發創造潛能的有力保障。

新時期,我國提出了“立足和結合中國國情”“繼承我國傳統教育優勢”“構建有中國特色的學生核心素養體系”等要求。鑒于此,基于問題解決的數學教育研究還需理清以下問題:在我國已有的有關數學問題解決的教育經驗中,有哪些做法是值得保留的?有哪些趨勢是值得延續的? 有哪些不足是需要完善的? 為此,從時間邏輯和內容邏輯梳理和反思70年來我國數學教育的發展歷程與研究趨勢,對彌補研究不足和明確未來方向具有重要意義。

二、數學問題解決的價值嬗變

在過去的70年里,問題解決一直是我國數學教育領域的研究熱點,其研究成果不僅影響著學生高層次思維的發展,還促進了積極的學習態度。不同時期,數學問題解決的名稱略有差異——從應用題到解決問題,再到問題解決,不同名稱的背后,反映了不同時期的價值追求。

(一)初興階段:指向實用主義的“應用問題”(1949年—1978年)

新中國成立初期(1952年),教育部根據蘇聯數學教學大綱編譯了《中學數學教學大綱(草案)》,并在大綱的“教養目的”部分從教師視角對“解決問題”提出了要求,即“培養他們應用數學基礎知識來解決各種實際問題所必需的技能和熟練的技巧”[1]。這一大綱在1954年和1956年先后經歷了兩次修訂,有關“解決問題”的部分延續了原有的闡述。這一時期解決的“問題”指的是應用問題,也常被稱作應用題,本質上是對書本上靜態知識的直接應用,所形成的步驟或方法呈現出程序化、可重復的特點,如“用所獲得的算術知識去解決應用題并完成具有實際性的簡單計算;應用代數知識解決有關物理、化學、天文學、技術方面、農業方面的簡單問題;運用所學幾何知識進行實地測量,測定各種建筑物的表面積和容積等;在幾何、物理、技術等問題上實際應用三角知識”[2]。這一時期解決的問題與當時經濟形勢下的生產生活密切相關,如計劃經濟背景下的工程問題、農業生產背景下的農藥配比問題(濃度問題)等都反映了這一時代背景下的需求。

總的來說,對解決應用問題的提倡對當時的數學教學具有重要的意義。特別是在1958年的“大躍進”運動中,其教育意義又得到進一步發展。這一時期編纂的應用題相當一部分來自新近的報刊,反映了社會主義建設飛速大躍進的形勢下,振奮人心、前所未有的新事跡和新成就,“大單位”的學習與運用是這一時期應用題的主要特點之一。[3]遺憾的是,“大躍進”運動使得“實用主義”走向了極端,直到1963年5月《全日制中學數學教學大綱(草案)》的頒布,才對這一極端現象進行了糾正,但是刪除“用數學解決實際問題”的做法又矯枉過正了。[4]

(二)發展階段:適應市場經濟的“解決問題”(1978年—2000年)

“文化大革命”結束后,教育戰線撥亂反正的急迫任務之一就是制訂新的大綱。1978年2月,教育部正式頒布《全日制十年制學校中學數學教學大綱(試行草案)》,有關“解決問題”的教育目的被重新提及,大綱將“逐步培養學生分析問題和解決問題的能力”作為三大能力(運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力)的歸宿。[5]20世紀80年代初,我國開始探索“打破單一計劃經濟,與市場經濟相結合”的道路,到了90年代初,更是作出要實現計劃經濟向社會主義市場經濟轉軌的重要決策。這一新的形勢下,我國教育教學工作者逐漸意識到,當時的數學教材所涉及的應用題未能反映當時如火如荼的經濟大潮,為了加深學生對市場經濟的了解,在初中數學教材中補充了復利、單利、成本、利潤計算等問題,為學生順利地解決市場經濟中的基本問題奠定了知識基礎。[6]1992年,教育部頒布《九年制義務教育全日制初級中學數學教學大綱》,這是《義務教育法》實施后頒布的首個大綱,這一版本大綱更加重視解決實際問題,并且提高了對數學應用能力的要求。大綱明確指出:“在解決實際問題中,要使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練,逐步培養他們分析問題和解決問題的能力,形成用數學的意識。”[7]與此同時,未納入義務教育的高中學段開始著手將應用題納入考試評價。1993年6月,嚴士健、張奠宙、蘇式東在《數學通報》上發表聯名文章《數學高考能否出點應用題》就是對這一問題的呼吁,同年,《中學數學問題集》問世。[8]隨后的幾年,從高考對應用題的重視程度可以看出,這一呼吁得到了教育研究和教育教學一線的積極響應。

(三)深化階段:素養導向的“問題解決”(2000年至今)

20世紀末,國家提出素質教育和創新教育的方針,在教學中更加注重“思維訓練”“應用能力”和“動手能力”的培養。[9]隨后,國家啟動了92版教學大綱的修訂工作,并于2000年正式頒布。大綱首次將“創新意識”列入培養目標,再次提高了對解決問題的要求。這是一個重要的轉折點,從應用意識到創新意識的轉變,標志著“解決問題”在認知行為導向上邁向了更高的層次。與此同時,解決真實情境中的問題也越來越受到重視。2001年教育部發布《基礎教育課程改革綱要(試行)》,規定“從小學至高中設置綜合實踐活動,并作為必修課程”[10]。這一規定傳遞了立足學生生活經驗、回歸學生生活世界開展教育教學的信息,提倡貼近學生生活、符合現實意義的真問題。這期間,“創新”“實踐”與“解決問題”共生。但是,在解決問題的過程中,創新意識與實踐能力這雙重目標的達成,任重而道遠。2010年我國頒布了《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020年)》(以下簡稱《綱要》),鞏固了“解決問題”在教育教學中的重要地位。《綱要》要求“著力提高學生勇于探索的創新精神和善于解決問題的實踐能力”,更是將解決問題納入改革與發展的戰略主題之一。

2011年教育部頒布的《全日制義務教育數學課程標準(2011版)》首次將“解決問題”替換為“問題解決”。[11]這一變化,不單是將慣用名稱與國際通用名稱(ProblemSolving)進行了統一,更是賦予了它新的教育使命。新使命旨在發展學生“分析問題、解決問題”能力的同時,培養其“發現問題和提出問題”的能力,并且認識到后者才是一個真實的問題解決過程的出發點。2014年,教育部印發《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》,提出要構建學生發展核心素養體系。這一體系的構建順應了國際范圍內以“知識社會”為背景的“關鍵能力”研究以及“21世紀型能力”研究兩大潮流,[12]要求學生“善于發現和提出問題,有解決問題的興趣和熱情;能依據特定情境和具體條件,選擇制定合理的解決方案;具有在復雜環境中行動的能力等”[13]。立足核心素養的背景下,問題解決應當回歸到“人的全面發展”上來回答學與教的問題。

三、基于問題解決的數學教育研究變遷

新中國成立后,一線教育工作者對應用題的教學研究抱有較高的熱情。這些研究以案例的形式,總結概括了應用題的教學經驗,諸如《我是如何講解某某應用題的》《我對講解某某應用題的一點體會》《講解某某應用題的方法探析》等文章提供的教學方法或組織形式有著很強的針對性和可操作性,對當時的教育教學實踐起到了積極的促進作用。值得一提的是,已有研究關注到了“自編題”的教學。如王厚馀(1955)認為,自編應用題是創造性的作業,教學時不僅要堅持深入淺出、由具體到抽象的原則,還要注意題目是否符合實際;[14]寶應實驗小學算術教研組(1960)針對低年級兒童生活經驗少的特點,提出要運用實物、看圖及生活中常接觸的事物來指導自編應用題。[15]這是我國早期的“提出問題”,雖不成氣候,且略顯生硬,但其進步意義是可圈可點的,從現在的視角來看,當時對“自編題”的關注具有一定的前瞻性。與此同時,心理學領域的應用題教學研究有序展開。朱曼殊等(1961)[16]、鄭祖心(1964)[17]、茅于燕等(1965)[18]、肖前瑛(1965)[19]、甘遠英(1966)[20]、陳沛霖等(1965)[21]、陜西師范大學教育系心理學教研室(1979)[22]等以學生視角開展實驗研究,并在《心理學報》上發表了相關成果,其研究結論通過剖析學生思維特點給出教學建議,邁出了學習視角下開展教學研究的重要一步。這些實驗研究大都集中在低學段的算術教學。

20世紀80年代開始,基于問題解決的數學教育研究規模不斷發展壯大,從分散式的研究轉向課題研究,研究層次不斷深入。問題解決已由一個相對獨立的專門論題演變成了整體性數學教育的有機組成成分。[23]從用心理學的方法設計實驗,到用心理學的理論指導教學,數學問題解決研究促進了數學教育與心理學的深入整合。認知結構研究、過程模型研究、策略研究以及元認知研究是基于問題解決的數學教育研究重點關注的四個方面,每一方面都呈現出較為鮮明的特點。

(一)認知結構研究:從具體化到抽象化

數學認知結構(曹才翰等,1989)是“學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度,結合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點,組合成的一個具有內部規律的整體結構”[24],其發展呈現出從具體到抽象的變化趨勢。如李士锜(2001)將數學認知結構的形式表示為由節點和聯線組成的網絡,節點表示數學元素或對象,聯線表示元素之間存在的穩定關系。[25]喻平、單遵(2003)基于圖式提出的CPFS結構理論,用概念域(ConceptField)、概念系(ConceptSystem)、命題域(PropositionField)以及命題系(PropositionSystem)來描述數學學習的認知結構。[26]隨著人們對數學認知結構的認識不斷深入,數學知識的相互聯系逐步發展為以圖式為基礎的不同層次的抽象關系,這樣的變化不僅表現為認知結構節點的增加與豐富,還表現為數學知識在不同水平上的抽象概括。認知結構抽象化呈現出的不同水平為數學問題解決研究提供了更為具體的研究工具。數學知識的抽象概括水平越高,越有利于學生已有知識的遷移,越有利于迅速解決那些需要結合實際情境作出分析和調整的新問題。

(二)過程模型研究:從單一化到多元化

數學問題解決模型的建構呈現出從單一到多元演化的特點。我國早期較為經典的模型結構主要反映的是以認知因素為基礎的信息加工方式。如張春莉(1998)提出的數學問題解決的信息加工模式,[27]單遵、喻平(2000)提出的數學問題解決認知模式。[28]隨著對數學問題解決影響因素研究的不斷深入,一些外部的、非認知的因素被納入數學問題解決的模型中。如李明振等(2006)構建的數學問題解決過程的動態系統模式,[29]龐麗娟等(2008)構建的數學問題解決的生態模式。[30]這些研究在信息加工學的基礎之上得到進一步豐富,既考慮到了數學基礎知識、基本技能、數學思想方法與元認知等認知要素,還考慮到動機、興趣、態度、情緒、意志品質等情感態度要素,以及不同學校環境、家庭環境、社會環境下學生形成的不同活動經驗、不同文化背景等外部要素。同時,內部要素之間、內部要素與外部要素之間存在的循環結構得到進一步詮釋。過程模型研究的多元化為改進用于教學和評價的數學問題提供了借鑒。越是真實的問題越容易受到幾個相互疊加的情境的限制,越需要學生挖掘自身的知識經驗,越需要學生重新整合問題中的信息條件,這些條件可能隱含在背景信息中,可能受到一些信息干擾,還可能隨著時間的變化而改變,需要分情況討論。優質的數學問題應當充分調動影響問題解決的內、外部要素之間的相互作用。這一變化趨勢與當前國際教育對復雜大環境中的行動能力的提倡是一致的。

(三)策略研究:從分散到分類,再到高度概括

關于策略研究,由于出發點及分類的不同,因而其提法也有所差異。[31]數學問題解決的策略研究經歷了從分散到分類再到高度概括的過程。羅增儒(1997)提出的數學解題的十大策略,[32]以及朱成杰(2001)提出的十種數學思想方法[33]都是相對具體的。進一步的研究關注了“策略”和“方法”的區別與聯系,將“方法”從“策略”內涵中剝離出來。喻平(2002)將“策略”界定為“方法”的上位概念,提出解題策略處于解題方法之上,在解題中起指導作用,解題策略融于解題方法之中,兩者相互依存。[34]如歸納思想是上位于猜想法、枚舉法、歸納法、類比法、統計推斷、因果分析、觀察實驗、比較分類的解題策略,又如演繹思想是上位于綜合法、分析法、反證法、同一法的解題策略。這既是對具體方法的分類,又是對解題策略的再認識。史寧中(2011)對常見的數學思想進行了高度概括,并指出3種數學基本思想(抽象、推理和模型)對數學學習的作用,即通過抽象,把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部,形成數學研究的對象;通過推理,得到數學的命題和計算方法,促進數學內部的發展;通過模型,創造出具有表現力的數學語言,構建了數學與外部世界的橋梁。[35]數學基本思想作為統整整個數學和數學教育的思想,它所呼吁的“抽象地、一般性地看問題,嚴謹地、有邏輯地思考問題,簡捷地、符號化地表達問題”是學生應對未來社會發展與挑戰的關鍵能力,是直接作用于數學基礎知識和基本技能的上位指導思想。立足數學基本思想探討數學問題解決的教學,為學生數學關鍵能力的培養提供了更強勁的引領作用,也間接回應了“數學教育要培養什么人”的問題。

(四)元認知研究:從內隱到外顯

元認知不同于一般的能力傾向,是一種獨立的認知過程。[36]元認知的內隱性是早期研究達成的普遍共識。相應地,其教學只能借助一定的載體,以滲透的方式給予學生潛移默化的影響。解題的元認知由主體的元認知結構和元認知監控組成,其中元認知結構的成分包括元認知知識和元認知體驗。[37]在數學解題活動中,數學元認知知識包括主體性知識、客體性知識和策略性知識;數學元認知體驗包括修正目標、改組元認知知識、激活策略等;數學元認知監控包括監控解題方向、監控解題過程和監控認知策略。[38]一些研究者對元認知在數學問題解決中的作用進行了研究,如李建才(1998)指出“數學元認知在目標認定與計劃擬定、解題進程的監控和解題后的反思三個方面發揮了重要的作用”[39];朱德全(1997)認為“元認知能夠修正數學問題解決的目標,能夠激活和改組數學問題解決的策略,能夠強化解題者在數學問題解決中的主體意識”[40]等。隨著數學元認知的結構研究走向成熟,研究者嘗試建立元認知與學習行為之間的關系。如章建躍(1999)編制的“數學解題自我監控能力問卷”,涉及計劃、調節、檢驗、管理、評價五個因素,該問卷具有較高的信度。[41]元認知研究的外顯化受到新的評價范式的影響。由于評價的目的不再是對學生學習結果進行審查,而是試圖影響學生的學習過程,解題元認知的評價結果就應當服務于學生元認知水平的提高,服務于學生問題解決能力的發展。更為具體的做法是探明與元認知成分對應的可干預的外顯行為,以可觀察、可測量的行為為出發點,培養學生敢于質疑的精神,提高學生問題解決的成就感,從而提高學生問題解決的能力,提高數學問題解決教學的品質。

四、基于問題解決的數學教育研究展望

已有研究大都是以成功地解決數學問題的學習者為研究對象,或是以數學問題解決的專家和新手之間的比較研究為切入點。數學問題解決的解題過程模式能夠給問題解決的新手或者多次嘗試后仍不能尋求突破的學生提供一個相對規律性的解題“流程”,顯然這一“流程”也是數學問題解決教學的重要參考。但是,數學問題解決的過程模式對數學問題解決教學的作用是間接的,它尚不能指導教師如何將復雜的或陌生的數學問題一步步分解為接近學習者原有認知圖式、符合學生已有活動經驗的數學問題。于教師而言,他們需要一個更為直接的路徑來指導自己分階段地開展教學,學生將在這一過程中實現多次認知結構的重組。

(一)關注同一情境中的不同結構,以及同一結構在不同情境間的遷移

數學問題解決研究通常具體到不同的類型。行程問題、工程問題、銷售問題等是根據問題的表面特征進行分類的,這種傳統的分類形式本質上是同一層次的橫向區分,不能反映問題結構的梯度,忽視了不同類型數學問題解決在結構上的共性與差異,更不能清楚地呈現學生的認知結構是如何進行重組、拓展和完善的。隨著心理學理論越來越多地介入數學教育研究,問題類型的劃分依據逐漸從表面特征轉向結構特征。在上述幾類問題仍廣泛存在于中小學問題解決學習素材的情況下,關注同一情境中的不同結構以及同一結構在不同情境中的遷移,能夠讓這些傳統素材發揮更大的作用。

遷移理論傾向于用問題的相似性來描述問題與問題之間復雜的關系系統。問題的表面特征與結構特征是影響問題相似性的兩個重要方面。問題的相似具有連續性,當表面特征相近時,問題的相似性存在兩個極端:“在一個極端上,兩個問題可能相似到完全相同;在另一個極端上,兩個問題可能僅僅看作是相似,因為它們是不同的問題。”[42]舉例來說,需要一次軸對稱變換解決的最短路徑問題,與需要一次平移變換解決的最短路徑問題,即使情境相近,其結構也是不同的。再如,相遇問題、追及問題、往返運動問題雖然都歸于行程問題,但解決它們所需要的圖式水平是不同的,能夠解決相遇問題、追及問題的學生,卻不一定能解決往返運動問題,其原因在于學生從低圖式水平向較高圖式水平進階的過程中存在障礙。同樣,表面特征存在差異的問題,其結構特征也有可能是相同或相近的。例如,打電話模型與細胞分裂問題有著相近的結構,“接到通知的學生可以繼續傳遞通知”相當于“分裂出的細胞還會繼續分裂”。類似的,這一結構還可以遷移到浮萍生長和某些傳染病傳播的問題中。又如,蓄水池問題與人口模型有著相近的結構,蓄水池的進水速度和排水速度相當于人口的出生率和死亡率。類似的,這一結構還可以遷移到機場和碼頭的調度問題中。有學者指出:“問題解決學習的意義在于,不僅要學會解決與樣例問題表面特征相同的問題,還要學會解決與樣例表面特征不完全相同的問題,更要學會解決與樣例問題的結構特征有很大差別的問題。”[43]而達到這一要求的前提是對教學素材的表面特征和結構特征有著清晰且深入的認識。

(二)為知識、技能向問題解決能力的轉化匹配學習條件

新世紀我國參與了多次國際教育評估項目,并取得了優異的成績。在最新公布的PISA2018測試中,我國四省市(北京、上海、江蘇、浙江)學生在閱讀、數學、科學三個領域的平均成績在參測國家(地區)中均排第一。令人欣慰的是,這一測評結果并沒有讓我們盲目地陷入自我崇拜。“PISA 重在考查學生生活中運用知識和技能解決現實問題的能力”,參與測評的四省市在這一方面表現突出,卻不能反映我國教育改革與發展的平均水平,“校際均衡”與“城鄉均衡”等問題仍需要特別關注。[44]因此,在今后相當長的一段時間里,促進知識、技能向問題解決能力的轉化對我國絕大部分地區來說仍然是教育改革亟須突破的難點。從我國教育發達地區汲取經驗的同時,需要特別關注作為轉化條件的基本活動經驗、問題圖式、數學思想方法、情感態度、教學策略等,基于這些條件探索行之有效的轉化途徑于縮小區域差異而言無疑是有益的。當然,數學問題解決在不同階段所需要的學習條件不應一概而論。這里的“階段”不應再局限于“方法”“步驟”,而是要與圖式的發展和進階相匹配。例如,在較低的圖式發展階段,題目信息的篩選、計算準確性的監控更為重要,教學上可以樣例教學為主;而在較高的圖式發展階段,數量關系的分解與整合、模式的識別、錯誤的歸因更為重要,教學上可以由變式練習向自主探究過渡,引導學生在更為復雜的情境提出解決方案、建立數學模型、驗證調整模型、得出結論。數學問題解決涉及數學知識、技能、數學思想方法的綜合運用,相對于數學概念與規則的學習而言,是更為復雜的認知過程。明確數學問題解決學習在不同階段所需要的內、外部條件,有利于為數學學習創設有效的外部環境。

(三)加強數學問題解決的表現性評價研究

認知結構與認知行為是數學問題解決的兩個重要方面。于學生而言,圖式反映的是學生的認知結構,是內部的;認知過程通過外顯行為來表現,是外部的。唯物辯證法認為,外因往往通過內因發揮作用。這就意味著,認知結構與認知行為之間存在著某種關聯。然而,基于認知結構對問題解決進行評價是不易操作的,打通內部心理結構與認知行為的關系是建立可觀察的數學問題解決評價機制的前提。因此,后續的研究迫切需要解決的是,處于不同圖式水平的學生的認知行為是怎樣的? 其認知行為表現出怎樣的共性與差異? 從低水平圖式到高水平圖式的發展過程,學生的認知行為呈現出怎樣的趨勢? 要想回答這些問題,需要進一步的實證研究結果來解釋。

隨著影響數學問題的因素從學生內部的一些認知的與非認知的因素拓展到一些外部環境因素,數學問題解決的評價也逐步走出數學內部,不僅要對數學內部的推理與運算進行評價,還要對實際問題轉化為數學問題的能力進行評價。實際情境中,能夠解決數學問題卻不能解決實際問題的學生不在少數。例如,能夠解決一筆畫問題,卻不能解決七橋問題。可見,具備相同知識、技能、思想方法、情感態度的學生,面對不同情境時仍有可能作出不同的表現。一方面是由于學生對條件信息的分析能力存在差異,如“能否區分有用信息與無用信息,能否用圖、表、符號組織和表征題目中的信息,能否意識到條件變化對數量關系的影響”等;另一方面是由于學生對實際問題的抽象概括能力存在差異,如“能否用數量關系或位置關系表示生活中的情境,已經概括出的數量關系和位置關系能否保證對所有的條件都成立”等。所以,在數學問題解決的教學與評價中強調情境化是十分必要的。情境化的問題可以是面向學生個人的,也可以是面向學生所處的群體的、甚至是社會的。諸如生活經驗、文化背景等外部因素都會影響到學生將實際問題轉化為數學問題的能力。數學問題解決評價的難點一方面在于表現性任務的設計,另一方面在于問題的編碼,認知結構與學生行為的對應關系能夠為評價編碼提供依據。

總的來說,基于問題解決的數學教育研究已取得多方面的進展,但仍有待進一步深入。數學問題解決的教學研究應當成為輔助學生問題解決學習的“支架”,而不是束縛學生自主學習能力和創造力的障礙。因此,基于學生圖式發展的不同水平劃分數學問題解決的教學階段,為不同階段匹配相應的教學條件,根據問題的表面特征和結構特征重新審視傳統的數學問題,以表現性評價為導向開發新的數學問題是今后數學教育研究的主要方向。