例談“圖式建模”在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的應(yīng)用

■天津市濱海新區(qū)塘沽福州道小學(xué) 宋春霞

模型思想是連接數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的有效橋梁，是學(xué)生解決問題的重要途徑。由此可知，數(shù)學(xué)模型的建立尤其依賴于學(xué)生的主動(dòng)建模。其中，圖式建模是學(xué)生從具體到抽象、從問題到本質(zhì)的核心能力。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生成為解決數(shù)學(xué)問題的事件主體，創(chuàng)設(shè)寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境和提供展示學(xué)生不同學(xué)習(xí)思路和方法的平臺(tái)，放手讓學(xué)生合理運(yùn)用繪圖、語言敘述等不同的方式表征問題結(jié)構(gòu)，闡述自己在解決問題中的思維變化的過程和結(jié)果。

為此，引導(dǎo)學(xué)生理解題意、合理選擇繪圖方式、具體解說繪圖過程來幫助學(xué)生習(xí)得“圖式建模”的方法，是我們不斷思考與實(shí)踐的主題。

一、“讀—繪—說”以圖為基，表征題意

（一）讀懂題意，形象繪圖

有效理解問題情境是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的首要環(huán)節(jié)。運(yùn)用圖示法表征問題結(jié)構(gòu)，讀懂題意是基礎(chǔ)，隨后應(yīng)該根據(jù)不同類型的題型，選擇不同的繪圖方法。

以教授三年級(jí)上冊(cè)“歸一”問題為例，新課伊始，大屏幕出示例題“媽媽買3個(gè)碗用了18元。如果買8個(gè)同樣的碗，要用多少錢”。學(xué)生在審題過程中找到已知信息和所求問題。通過學(xué)生獨(dú)立嘗試了解到班上37.2%的學(xué)生能夠迅速厘清數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解決問題的思路；但62.8%的學(xué)生從讀題中并不能厘清數(shù)量關(guān)系，無法單純依靠“憑空思考”得出解決問題的步驟和方法。

三年級(jí)學(xué)生的抽象邏輯思維仍然與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，尤其是在理解“同樣的碗”這一關(guān)鍵詞時(shí)，還不能將前后已知信息聯(lián)系起來。基于學(xué)情，鼓勵(lì)學(xué)生用畫一畫的方式形象地表示圖中的已知信息和所求問題。具體形象的繪圖能夠幫助學(xué)生理解問題中的關(guān)鍵信息，升華對(duì)問題的感知，從而找出解決問題的途徑與方法。通過圖式這種直觀感受來輔助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)模型，厘清解題思路，直觀地感受“單位數(shù)量”的存在，能為“歸總”問題類型的解決做好鋪墊。

（二）多元表征，厘清關(guān)系

當(dāng)學(xué)生無法理解多種已知信息間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，對(duì)情境中各數(shù)量間關(guān)系的分析與表達(dá)就變得尤為重要。通過繪圖、認(rèn)圖和讀圖，學(xué)生可以直觀、具體地理解數(shù)量關(guān)系，提高分析問題的能力。

解決“歸一”問題時(shí)，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，用畫示意圖的方式表征信息，之后用圖形反饋。學(xué)生的繪圖形式一般以實(shí)物圖、幾何圖和線段圖為主。我選取了三種具有代表性的圖示，在學(xué)生充分表述自己所畫的圖意后，將這些不同的素材集合在一起，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、對(duì)比這些不同素材的過程中找到異同點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生明確：他們分別借助了具體實(shí)物、幾何圖形或線段圖表示出題目中的已知信息和問題，從實(shí)物圖—幾何圖形—線段圖，逐漸演變，思維水平漸進(jìn)提升。在辨析中明白線段圖簡(jiǎn)潔、方便。學(xué)生在“讀—畫—說—比”的過程中，掌握畫線段圖的方法，學(xué)生的思維能力和畫圖能力不斷提升。

學(xué)生在匯報(bào)時(shí)重點(diǎn)說出圖的各部分與題中哪部分文字?jǐn)⑹鱿鄬?duì)應(yīng)，幫助學(xué)生理解題意。在說圖的過程中，學(xué)生能夠從示意圖中清楚地感受到，要解決“買8個(gè)同樣的碗需要多少錢”這個(gè)問題，需要先求出碗的單價(jià)，這是解決此類問題的關(guān)鍵。為了讓學(xué)生對(duì)“碗的單價(jià)”這個(gè)單位數(shù)量有更清晰的認(rèn)識(shí)，我?guī)ьI(lǐng)全班學(xué)生共同感受畫線段圖的過程，邊畫線段邊說：“用3條線段表示3個(gè)碗用了18元。買8個(gè)同樣的碗用了多少錢怎么畫”，然后提示學(xué)生：“8段線段要和上面的每段一樣長(zhǎng)”。在學(xué)生畫線段圖的過程中，我再次強(qiáng)調(diào)“碗的單價(jià)”是解決這道題的關(guān)鍵所在，從而分析得出解決問題的關(guān)鍵信息，以圖式為手段，明確解決問題的方法，從而積累、建立數(shù)學(xué)模型。

二、“學(xué)、驗(yàn)、變”內(nèi)化升華，構(gòu)建模型

（一）演示引導(dǎo)，模仿學(xué)習(xí)

無論是日常生活還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師都應(yīng)當(dāng)做善于汲取圖式信息的觀察者、引導(dǎo)者和應(yīng)用者。教師要引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決實(shí)際問題的過程中感知：圖式方法是幫助他們解決問題的有效策略，這一方法能夠喚醒他們對(duì)圖式的興趣，并引發(fā)他們的注意，為后續(xù)形成“繪圖”能力埋下“渴望”的種子。

教師的演示可以多元化，不僅在解決數(shù)學(xué)問題方面可以運(yùn)用圖形演示，在分析其他生活實(shí)際問題的過程中也可以合理借助圖形，巧妙地繪圖，或借助多媒體工具進(jìn)行動(dòng)畫演示，通過圖像的演示、觀察、比較，展示各類問題要素的關(guān)鍵信息之間的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)“圖式建模”方法的學(xué)習(xí)做隱性示范。

無論怎樣的形式，學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常接觸到圖形表征，能為抓住圖形的本質(zhì)特征、提高辨認(rèn)圖形的能力和對(duì)圖形與文字的認(rèn)讀、比較和分析等方面做好鋪墊。多元演示、隱性示范，既體現(xiàn)了圖形表征在解決問題過程中的直觀性，又揭示了讀圖、繪圖能力在“圖式建模”過程中的重要作用。

如在“歸一”問題的練習(xí)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了這樣一組練習(xí)，讓學(xué)生們通過認(rèn)圖、說圖的環(huán)節(jié)學(xué)會(huì)準(zhǔn)確讀圖、語言表達(dá)圖意。在“圖式建模”的初期，培養(yǎng)學(xué)生讀圖、說圖能力非常重要，同時(shí)也是深刻理解“歸一模型”的重要途徑。

（二）對(duì)比檢驗(yàn)，變式訓(xùn)練

將圖與文字一一對(duì)應(yīng)，檢驗(yàn)每一條已知信息與示意圖是否相符。在畫示意圖時(shí)，很多學(xué)生會(huì)將已知信息處理后的結(jié)果直接在圖中表示出來，但這并不是題目中的已知信息。如“3個(gè)碗一共18元”，學(xué)生畫圖式時(shí)會(huì)直接將“碗的單價(jià)6元錢”畫在圖中，這顯然無法與題中的已知信息一一對(duì)應(yīng)。因此，在學(xué)生獨(dú)立畫圖表征完后，教師可組織同桌或四人小組合作交流，將各自畫圖的想法和圖式所表示的意思，根據(jù)已知信息一一對(duì)應(yīng)地進(jìn)行檢驗(yàn)，并對(duì)有爭(zhēng)議的部分展開討論，進(jìn)而在討論和思辨中厘清各信息之間的數(shù)量關(guān)系和畫圖步驟，幫助學(xué)生用圖式全面、有序地表達(dá)題意。

在變式練習(xí)中，我設(shè)計(jì)了根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)膱D示。如設(shè)計(jì)“小林讀一本故事書，4天讀了32頁。照這種速度，7天可以讀多少頁”的目的，在于通過對(duì)圖示的解讀提高學(xué)生的讀圖、識(shí)圖能力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圖示中的信息和問題的敏銳度，體會(huì)圖式表征在分析數(shù)量關(guān)系上所起的重要作用，使“圖式表征”真正成為學(xué)生在解決問題過程中的有利抓手。

三、整體構(gòu)建，按“圖”索驥

“繪圖”能力的形成并非一蹴而就，而需要建立數(shù)形結(jié)合思想并持續(xù)不斷地應(yīng)用練習(xí)。當(dāng)學(xué)生真正感受到畫圖使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單具體化時(shí)，他們會(huì)從心里喜歡上畫圖，真正使畫圖成為自己解決問題的好幫手。從教材關(guān)于問題解決的編排體系來看，無論是問題解決的步驟、數(shù)量關(guān)系序列構(gòu)建還是畫圖策略意識(shí)和能力形成，“歸一”“歸總”教學(xué)都是圖式建模的其中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。就“歸一”問題題意理解、數(shù)量關(guān)系分析和數(shù)學(xué)模型初步構(gòu)建而言，圖示類型影響不大；關(guān)鍵在于如何為下節(jié)課——利用線段圖表征“歸總”問題積累必要的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。盡管在“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元的學(xué)習(xí)中，多次用線段圖表征題意，但還不足以讓學(xué)生形成畫線段圖的經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)際教學(xué)表明，如果“歸一”問題的教學(xué)只是呈現(xiàn)實(shí)物圖替代或幾何圖形，在“歸總”問題中學(xué)生會(huì)缺乏用線段圖表征題意的方法準(zhǔn)備和心理準(zhǔn)備。因此，在“歸一”問題教學(xué)時(shí)必須豐富表征方式、適度介入線段圖來加以銜接過渡，這能夠?yàn)閷W(xué)生步入高年級(jí)解決較復(fù)雜的問題、達(dá)到腦中成圖的能力做好鋪墊。

我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容突出數(shù)學(xué)與圖式的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到圖式的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)會(huì)運(yùn)用具體、直觀的圖式化抽象為形象，在不斷模仿學(xué)習(xí)、信息對(duì)應(yīng)和檢驗(yàn)分析圖式的方法中，真正實(shí)現(xiàn)按“圖”索驥，從而提高解決問題的能力，助推核心素養(yǎng)的形成。當(dāng)然，圖式建模能力的形成和發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期、循序漸進(jìn)的過程，教師在教學(xué)時(shí)要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)、搭建平臺(tái)，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中落地生根。