基于L2范數實際重要性的MEWMA在線控制圖*

廖玉瓊,訾雪旻

(天津職業技術師范大學理學院，天津 300222)

1 問題描述

生產過程中需要對各個階段進行評估和監控，實現對過程質量有效評價的同時盡早發現異常，并給出預警信號.Shewhart[1]首先提出了用于生產過程監控的控制圖.這種質量控制技術已在世界范圍內推廣應用.但Shewhart控制圖對中、小漂移始終不能達到很好的監控效果，Roberts[2]于1959年提出指數加權移動平均(EWMA)控制圖.在大規模生產中，影響過程質量的許多變量往往是相互關聯的.Lowry[3](1992)提出的多元指數加權移動平均(MEWMA)控制圖可用于同時監測多個相關過程變量，Runger與Prabhu(1997)[4]，Michael(2008)[5]和Zou(2013)[6]等人討論了關于這一主題的大量文獻.上述介紹的方法都依賴于經典假設檢驗，而在實踐中，并不需要盡快檢測到這些微小的偏差.如Box等人(2003～2004)指出，“被監測的系統(工廠)要么是‘好的’要么是‘壞的’的想法過于簡單化.”在這樣的情況下，Dett[8](2016)研究了帶有可容許度的檢驗問題，克服了標準假設檢驗帶來的不足.在Woodall[9](2013)重新思考控制圖的文章中，可以找到文獻綜述，描述了如何使控制圖具有實際重要性，而不僅僅是統計重要性.這種想法并不完全是新的，但有關于此的在線監控問題，迄今還沒有被討論.本文將結合實際情況，提出一種基于L2范數和具有可容許度的MEWMA在線控制圖，來監控具有實際重要性的變化.通過模擬研究，說明應用該MEWMA控制圖能有效降低在監控過程中的誤報發生次數，提高在線監控效率.

2 MEWMA控制圖

在MEWMA控制圖中，假設Xi=(Xi1,Xi2,…,Xip)T，(i=1,2,…,)是從監控過程中選取的p維相關質量特征的第i個測量值，其中Xij是第j個特征的第i個測量值(j=1,2,…,p).假設Xi相互獨立，且服從p維正態分布，即Xi～Np(μ0,Σ).其中μ0是可控狀態下質量特征的均值向量；Σ為可控狀態下質量特征的協方差矩陣.則MEWMA控制圖的加權值Zi為：

Zi=RXi+(I-R)Zi-1

(1)

式中Z0=0(零矢量)，I是單位矩陣且R=diag(r1,r2,…,rp)，0

r1=r2=…=rp=r.此時，加權值Zi可以簡化成：

Zi=rXi+(1-r)Zi-1

(2)

當過程發生漂移μ時，非中心參數為：

δ=(μ-μ0)TΣ-1(μ-μ0)

(3)

MEWMA控制圖的控制統計量為：

(4)

當Qi>H時，MEWMA控制圖給出一個失控信號.其中H(>0)是滿足某一給定可控平均運行長度(ARL0)而選取的上控制限.ΣZi是Zi的協方差矩陣，也就是：

ΣZi={r[1-(1-r)2i]/(2-r)}Σ

(5)

一般采用其漸進形式(i→∞)：

ΣZi={r/(2-r)}Σ

(6)

3 實際重要性

H0∶μ=μ0?H1∶μ≠μ0

(7)

假設一列Xi，i=1,2,…來自一生產過程中，則在線監控過程如下：

(8)

式中μ≠μ0，τ為未知的正整數.如果原假設成立，則生產線工作正常，如果備擇假設成立，則希望控制圖盡早地檢測出漂移的發生及其時間.然而，上述經典假設不具有實際重要性，經常容易發生錯誤報警.如果錯誤報警次數太多，則警報往往被忽略，監控將變得無效.在醫院重癥監護室中，需要連續監控血氧飽和度、心率、心臟電描記、血壓、溫度和液體狀態等多個變量.以成人收縮血壓為例，當患者測量值在區間(90,140)mmHg內，則患者正常，否則，監控設備會通知護理人員.而在實際情況中，可能由于患者的移動等人為因素導致傳感器的失效，產生過于頻繁的錯誤報警.這些報警不僅對患者和護理人員是一種困擾；它們還可能危及患者的安全和患者護理的有效性.引入可容許度的檢驗問題，可以解決標準假設檢驗帶來的缺陷.我們不再是快速檢測患者血壓在區間(90,140)mmHg內的漂移，而是快速檢測到超過165 mmHg或低于65 mmHg的漂移.因此，根據實際需要，我們設計出一類新的控制圖.它既能保證有效的降低錯誤報警的發生，又能快速檢測過程發生的重要變化.本文基于帶有可容許度的假設：

H0∶‖μ-μ0‖≤Δ?H1∶‖μ-μ0‖>Δ

(9)

其中初始值μ0通常取零矢量，μ為帶有漂移的均值矢量，‖·‖表示參數空間上的范數，Δ(>0)是一個預先設定的常數，表示實際情況中能接受的“最大”變化.

4 基于L2范數實際重要性的MEWMA控制圖

(10)

結合實際重要性和預先設定的ARL0，本文的目標是找到L，使得

(11)

式中E0表示接受可控狀態下的期望，檢測變化值‖δ‖≤Δ，則δ表示可控狀態下的均值.考慮MEWMA控制圖的典型示例，Lowry (1992年)中控制圖的表現僅與非中心性參數δTΣ-1δ的函數有關.此外，我們通常需要在實際應用中根據使用的難易程度來選取范數.從學習理論的角度來說，L2范數可以防止過擬合，提升模型的泛化能力；從優化或者數值計算的角度來說，L2范數有助于處理條件數不好的情況下矩陣求逆很困難的問題.從而，本文將該范數取為標準的L2范數，希望找到L，使得

(12)

等同于解決失控情形下的：

(13)

式中δ應該與特征向量的方向相同，該特征向量對應于Σ的最小特征值，用γ1表示.因此，當漂移為δ時，通過取δ=Δγ1，我們可以將其等價于MEWMA控制圖在給定失控狀態下的ARL，通過二分法重新調整找到L的過程.

5 模擬研究

表1 不同平滑參數r和可容許度Δ情況下的控制限L和平均運行長度ARL

表1中，在光滑參數r和漂移δ一定時，隨著可容許度Δ的增大，MEWMA控制圖的控制限L也逐漸增大.結果表明，帶有可容許度(Δ>0)的MEWMA控制圖監控效果優于不帶有可容許度(Δ=0)的MEWMA控制圖.而且，在考慮具有可容許度的情況下(Δ>0),對于每組固定的r和δ，都能找到一個Δ的最優值(用黑色加粗表示)，它在所示的選擇中提供了最小的ARL.以r=0.1，δ=0.1為例，當Δ=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5時，對應的控制限逐漸增大，分別為8.71,9.89,12.90,16.95,22.02.其中，當Δ=0時，其OC ARL為157.49，當Δ=0.1,0.2,0.3,0.4時，其OC ARL 分別為64.62,63.49,58.78,61.49.從中發現帶有可容許度的OC ARL都低于不帶有可容許度的OC ARL，且Δ的最優值為0.3.驗證了在r和δ一定時，具有實際重要性MEWMA控制圖的有效性.對于所有固定的r和δ，都能得到相似的結論.

此外，本文給出了基于可容許度Δ的平滑參數r的可適應性的選擇.可容許度Δ的最優值隨著平滑參數r的增大而增大.由表1知，當平滑參數r=0.1時，發生中、小漂移δ=0.1,0.2,0.3的OC ARL分別為58.78、28.81和18.06，其最佳的可容許度Δ約為0.2；發生大漂移δ=0.4,0.6,0.8,1.0的OC ARL分別為12.34、7.68、5.51和4.40，其最佳的可容許度Δ約為0.1.同樣地，當平滑參數r=0.2時，產生中、小漂移的最佳的可容許度Δ在[0.2,0.3]之間；其大漂移的最佳的可容許度Δ在[0.1,0.2]之間.當平滑參數r=0.4時，它的中、小漂移的最佳的可容許度Δ在[0.3,0.4]之間；其大漂移的最佳的可容許度Δ在[0.2,0.3]之間.可以表明隨著r的增加，Δ的最優值也是逐漸增大的.

6 結論

本文將數據實際重要性和MEWMA控制圖相結合，克服了傳統控制圖對漂移過分靈敏的缺點.研究發現，可容許度Δ的最優值隨著平滑參數r的增大而略微增大.據此給出了不同的漂移情況下 ，MEWMA 控制圖參數選擇的小范圍建議，對于進一步提升 MEWMA控制圖的監控表現具有一定的指導意義.今后將對基于L2范數實際重要性的研究拓展到累積和(CUSUM)等其他控制圖.