以實驗帶動體驗

莘義 成楊麗

基于現實問題和學生已有認知設計合理的統計活動，讓學生經歷收集、整理、分析數據及做出合理推斷和預測的過程，可以幫助學生感受統計的價值，積累基本活動經驗，發展數據分析觀念。

一、親歷統計過程，積累活動經驗

發展學生數據分析觀念的有效方法，是讓他們真正投入統計活動的全過程。教學中，筆者通過設置“求箱子里黃球個數”“估計圖釘釘尖朝上的概率”等問題，引導學生設計實驗并動手操作驗證，經歷收集數據、整理數據、描述數據、分析數據、做出統計決策的過程，幫助學生積累統計經驗。

課上，筆者首先創設了這樣的問題情境：“我們知道拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5。小明課后做了一個拋擲硬幣實驗，拋擲10次有4次正面向上，拋擲20次有7次正面向上，小明產生了質疑：為什么我做的實驗正面向上的‘概率’不是0.5呢？”學生回答：“每一次實驗，硬幣正面向上的概率為0.5，并不意味著拋擲2次就一定會有1次正面向上。”還有學生說：“0.5是理論數值，和實際是有出入的。”筆者抓住“和實際有出入”提問：“‘有出入’是不是說明概率是0.5不合實際呢？”學生思考后提出：“是不是實驗次數少了？如果多實驗幾次可能結果會是0.5?！边@個問題情境引發了學生思考并提出疑問，從而確立本節課要研究的問題，讓學生感受到“為何學”。

活動環節，筆者設計了兩次拋硬幣實驗，引導學生通過實踐操作，完成數據收集與數據描述的過程，使學生感悟頻率的隨機性和穩定性，理解頻率與概率之間的關系，自然而然地體會到用頻率估計概率的合理性。

活動1：初次實驗，體會頻率的隨機性。全班學生5人一組，分為10組，每組學生拋擲硬幣50次，統計正面向上出現的次數m，計算正面向上的頻率[mn]。學生以小組為單位，分工合作完成實驗并填寫統計表。實驗結束后，筆者首先請各組匯報實驗數據，并利用Excel形成各組的頻率數據散點圖（如下圖）。然后筆者提問：觀察統計圖和統計表，想一想頻率和概率有什么不同？學生回答：從圖、表可以看出，拋擲硬幣50次的頻率在0.5左右波動，每組實驗得出的頻率不同，而概率是一個確定的數，即0.5。

活動2：增加數據，發現頻率的穩定性。此環節圍繞“如果重復實驗次數增多，結果會如何”的問題展開探討。筆者首先請學生填寫表格（第1組的數據填在第1列，第1、第2組的數據之和填在第2列……10個組的數據之和填在第10列），并利用Excel形成頻率數據散點圖（圖略）。隨后，筆者引導學生思考：隨著重復實驗次數的增加，頻率的變化趨勢是什么？由此你能得到頻率與概率之間的關系嗎？學生通過真實的實驗數據得出“正面向上的頻率在0.5左右波動，隨著實驗次數的增加，越來越接近0.5”的結論。該環節使學生進一步理解了頻率具有隨機性，但隨著實驗次數的增加，頻率會逐漸表現出穩定性。

二、解決實際問題，體會統計價值

用頻率估計概率是獲得隨機事件的概率的一種方法，它的適用范圍比用列舉法求概率更廣泛。在運用統計知識解決問題的過程中，學生能逐步形成“用數據說話”的觀念，感受統計的科學價值、應用價值。課上，筆者呈現了兩個探究問題。

問題1：在不透明的箱子中放5個大小、質地相同的球，有紅色、黃色兩種顏色。每次隨機摸出一個小球后放回，通過摸球實驗推測箱子里有幾個黃球。

筆者組織學生討論，發現解決問題的關鍵在于摸到黃球的概率。學生仿照教科書中的摸球實驗，小組合作設計實驗過程，全班分享交流后執行實驗。實驗中，筆者引導學生利用圖形計算器統計實驗結果，繪制頻率分布圖，并根據統計結果對箱子里黃球的個數做出合理判斷和預測。學生通過實驗得出“大量重復實驗才能得到相對準確的概率，加大實驗次數可以通過累加數據得到，對于數據是否穩定需要檢驗”等結論，發現除已知概率的問題之外，對于概率未知的問題，也可以利用頻率估計概率，形成用頻率估計概率的方法。

問題2：投一枚圖釘，能否估計出釘尖朝上的概率。對于這個問題，學生首先認為“不能”，因為無法確定釘尖朝上、朝下的可能性是否相等。筆者追問：你認為釘尖朝上的可能性大，還是釘尖朝下的可能性大？釘尖朝上的概率是多少？有的學生猜測釘尖朝上的可能性大，有的學生猜測釘尖朝下的可能性大，但都說不出概率是多少。于是，筆者組織學生獨立設計實驗方案，完整地經歷用頻率估計概率的全過程，不僅驗證了猜想，推斷出概率，而且加深了他們對用頻率估計概率這個統計方法的理解和運用。

三、借助信息技術，提高學習效率

教學中，筆者利用圖形計算器收集、整理、描述摸球實驗的數據，合理選用Excel的數據處理功能，準確、有序地呈現統計圖表，引導學生進行觀察、分析，逐步體會頻率和概率之間的關系。

課上，筆者首先借助Excel工具引導學生整理、描述拋擲硬幣的累加數據，并形成正面向上的頻率散點圖;接著利用投硬幣模擬軟件演示投2000次硬幣的模擬實驗，并生成統計表和正面向上的頻率散點圖，讓學生將模擬實驗結果與真實實驗結果做比較;然后利用軟件的“擦除”功能擦除模擬拋擲一枚硬幣2000次的正面向上頻率散點圖中表示概率的直線，引導學生估計此未知概率事件發生的概率是0.5;最后擦除學生拋擲硬幣100次的正面向上頻率散點圖中表示概率的直線，估計結果并不趨向0.5，引導學生分析估計頻率不準確的原因是實驗次數少，頻率分布不穩定，從而得出“需要大量重復實驗至頻率穩定時，才能估計得相對準確”的結論。這樣教學，使學生更方便、快捷地得到實驗結論，為學生留有更多的思考時間。

四、滲透數學文化，發展數學素養

在課堂中滲透數學文化，能充分體現數學的人文性和思想價值，提升學生的文化素養。筆者在課堂中通過多媒體課件介紹布豐等5位數學家成千上萬次地做拋擲硬幣實驗，以及雅各布·伯努利以定理的形式給予用頻率刻畫概率的嚴格證明的過程，讓學生感受到科學家求真務實的科學精神和嚴謹的科學態度。這樣教學，既增加了課堂的趣味性，又體現了數學學科的育人功能，促使學生從數學文化中感悟統計的力量，形成崇尚科學的理性精神。

（作者單位：莘義成，棗陽市教學研究室;楊麗，棗陽市中興學校）