對一道課本例題的一般化探究

黃越霞

摘 要：例題、習題是課本的重要組成部分，而對例題、習題的答案尋求，學生一般不會有很大困難，使得我們常常忽略對例題、習題的深入挖掘和研究，從而丟棄了很多重要的教育資源。本文以課本中的一道例題為例，探究圓錐曲線中一類直線斜率乘積為定值性質及證明，以激發學生對課本例題、習題的研究興趣，體驗知識產生發展的過程，培養探究能力，發展創新意識。

關鍵詞：探究;斜率乘積;定值;證明

高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。新教材中例題、習題作為鞏固概念培養能力，體現新理念——正確的、科學的數學教學理念的主要載體，教學中應進一步充分地挖掘和研究。

題目1：設點A，B的坐標分別為（-5，0）（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊P108例3）

該題如果視為軌跡問題其解答是比較容易的，但如果是從研究性角度思考、探索，其潛力卻是巨大的。再看下面一題：

題目2：設點A，B的坐標分別為（-5，0）（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為，求點M的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊P121探究）

題目2與題目1作比較，你有什么發現？很快可以發現題目2與題目1條件中唯一不同之處是斜率之積由改為正的。這一條件的改變會發生什么變化？

通過解答我們發現：

題目1中的斜率之積改為，題目2中的點M的軌跡由橢圓變為了雙曲線。由此和給我們有了進一步想象空間，當斜率之積這個值小于0時點M的軌跡是橢圓，斜率之積這個值大于0時點M的軌跡是雙曲線。

因此，我們可以猜測如下：

（1）當斜率之積小于0時，點M的軌跡是橢圓;

（2）當斜率之積大于0時，點M的軌跡是雙曲線。

推測的結論是否成立呢，接下來我們來看一般化的探究。

探究1：已知的兩個頂點A，B的坐標分別為（-5，0）（5，0）。且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡方程。（課本選擇性必修第二冊P146復習參考題3第11題）

通過解答可得點C的軌跡是

（1）當m>0時，點C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線（除去A，B兩點）。

（2）當m<-1時，點C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓（除去A，B兩點）。

（3）當-1

（4）當m=-1時，點C的軌跡是圓心在原點的圓（除去A，B兩點）。

這樣能得出更有一般性的結論：

動點M到兩定點連線的斜率之積為定值m（m≠0）

則動點M的軌跡方程為（除去A，B兩點）。

事實上，把上述兩定點A，B改成更具一般性的“關于原點對稱的任意兩點A，B”，一般性質又可以進一步推廣如下：

設點A，B關于原點對稱，兩條動直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為定值m（m≠0），則動點M的軌跡為有心圓錐曲線（除去A，B兩點）。

（定義：圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統稱為有心圓錐曲線。）

以上過程不僅有效地培養了學生抽象概括的能力，也較深刻地揭示了例題、習題的本質，并通過對m的討論體現了分類討論思想，又培養了學生的思維品質。

教學中通過挖掘教材中的典型例題及習題的內涵、外延及其功能，并對它進行改編、拓展、延伸，是進一步深化課堂教學，激發學生探究興趣，培養探索能力的有效方法。

于是得到下面更加一般的性質：

探究2：已知橢圓，A，B是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，BP的斜率之積為定值。

證明：設點，

則，又因為A，B，P都在橢圓上

，兩式相減并整理得：

即

即直線AP，BP的斜率之積為。

由以上的證明方法同理可證雙曲線有以下類似的性質。

探究3：已知雙曲線，AB是雙曲線上關于原點對稱的兩點，P是雙曲線上任意一點，且直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，BP的斜率之積為定值。

為鞏固這一成果，體會解題過程中隱含的方法技巧，特設計兩道練習題。

練習1：已知橢圓，A，B是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線AP，BP的斜率分別為，，若的最小值為，則橢圓的離心率為_______

解：由探究2的結論可知

即即

即

練習2：已知雙曲線，A，B是雙曲線上關于原點對稱的兩點，P是雙曲線上任意一點，且直線AP，BP的斜率均存在，且直線AP，BP的斜率之積為2，則雙曲線的離心率是_______

解：由直線AP，BP的斜率之積為定值

上面兩道題目的共同點是都有2個關于原點對稱且和斜率有關，故可直接用結論解決，大大提高解題效率。

利用“直線AP，BP的斜率之積為定值”這個結論，我們又可以推出下面的結論

探究4：已知橢圓，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，其中點A在第一象限，過點A作x軸的垂線，垂足為C，連結BC并延長交橢圓于點P，直線斜率PA，AB存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

證明：設點

，

同樣的如果把橢圓改為雙曲線則得到以下結論：

探究5：已知雙曲線，過原點O的直線交雙曲線于A，B兩點，其中點A在第一象限，過點A作x軸的垂線，垂足為C，連結BC并延長交雙曲線于點P，直線PA，AB斜率存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

練習3：已知橢圓，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，其中點A在第一象限，過點A作x軸的垂線，垂足為C，連結BC并延長交橢圓于點P，若，則橢圓的離心率為______

解：由探究4可知

∴2b2=a2即

因為橢圓和雙曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。上述探究中的條件過P作x軸的垂線，改成過P作y軸的垂線又可以得出下面的結論

探究6：已知橢圓，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，其中點A在第一象限，過點A作y軸的垂線，垂足為C，連結BC并延長交橢圓于點P，直線斜率PA，AB存在，則直線PA，AB的斜率之積為定值。

證明：設點

，

因此，平時在教學中不能僅僅滿足于完成習題得到結果，而更要對條件和結論多反思、多總結，看是否有通性共性的知識隱藏在里面，經常這樣做，不僅可以提高學生的數學能力，也可以提高教師的教學水平。解析幾何題目中的定值問題是高考中的熱點、難點，很多學生感到無從下手。但是由前面的探究我們可以發現，其實這些熱點、難點問題都是由課本的習題演化而成，正所謂源于課本，高于課本。其實，只要平時注意積累，掌握一些課本外的結論，摸清題目的背景，解題時就能快速找準方向，從而事半功倍。

結束語

通過本例的證明與拓展，學生掌握了相關的知識與技能，體會到知識的聯系與綜合，這說明只要我們重視教材的使用，在處理教材問題時不淺嘗輒止，注意引導學生吃透課本典型問題的內涵，挖掘這些問題的潛在價值，并鼓勵學生對它們進行力所能及的類比，就可以讓學生變得更輕松，更主動，并使他們在創造性思維能力得到發展的同時，體會到學習數學的樂趣。課本上的不少例題、習題背景豐富深刻，解題思想耐人尋味，是最好的探究素材，若教師有意識地去引導學生探究和挖掘，往往會得到一些有價值的結論和重要的解題思想，同時對激發學生的探究興趣，培養學生的創新能力和理性精神均大有裨益。

參考文獻

劉占溪.挖掘習題資源 培養思維品質[J].中學數學教學參考，2006（8）：16-17.