立足通性通法 培養核心素養

楊亮

摘 要：解題能力是高中數學教學中非常重要的能力，也是教師教學的重要環節，面對無數數學題目歸納總結同類型題目的通性通法，是鍛煉學生思維、培養核心素養的必備途徑。教師在解題教學過程中一定要強調通性通法，讓學生感受、感悟通性通法的思維習慣，教師將解題的通性通法常態化、系統化、普遍化，便于帶領學生去體會數學的真諦，最終落實為培養數學核心素養的目標。

關鍵詞：通性通法;核心素養;解析幾何

一、通性通法對新高考和解析幾何的意義

新的課程標準要求在數學教學中培養學生“四基、四能、六核”，所以新高考考查的內容特別注重數學本質，通性通法，淡化技巧，圍繞高中數學的主干知識，重點考查借助數學的本質，活用求解數學問題的通性通法的能力和意識，解題能力的教學是否到位直接關系到學生知識點的掌握、思維的鍛煉、經驗的積累。如果教師在解題教學備課中能夠很好地研究解題的通性通法，并把其運用到實際的教學中，那么在解題的教學中提升學生的思維能力方面，培養學生的數學核心素養方面將會如魚得水，否則就會如魚上岸。

解析幾何的知識是高中數學重要內容之一，對學生的解題能力要求比較高。解析幾何的解題教學可以充分鍛煉學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算的數學核心素養，解析幾何承載著的是函數與方程思想，數形結合的思想，轉化化歸的思想，更能體現坐標法的通性與本質。直線與圓錐曲線的位置關系問題是解析幾何中非常重要而且精彩的組成部分，對于直線與圓錐曲線相交、相切、相離的題目多之又多，若處理時沒有對其通性通法的研究，不亞于在大海中迷失方向，也很難對整個解析幾何產生全局觀。

二、挖掘教材中的通性通法

筆者在一線教學中通過研讀教材結合高考試題對直線與圓錐曲線位置關系的問題的通性通法判別式法做了一些研究，發現有些高考試題考查直線與圓錐曲線位置關系的意圖在教材中是有滲透的，在教學時我們只要立足通性通法，認真研究思考就會發現。下面以直線與橢圓的相切位置關系為例體會一下判別式法，我們先來探討直線與橢圓的位置關系的通性通法，利用直線方程和橢圓方程組成二元二次方程組，通過帶入消元化為x或y的一元二次方程，利用判別式的值來判定有無交點及交點個數，這個過程就可以概括為判別式法。具體如下：設直線斜截式方程為：橢圓方程為：，我們來探究它們相離、相切、相交的充要條件。聯立兩個方程化簡整理得關于m的一元二次方程一元二次方程（1）的判別式

①當時，即時，直線與該橢圓相離;

②當時，即時，直線與該橢圓相切;

③當時，即時，直線與該橢圓相交。

上述推導經過了聯立、消元、判別式的過程，這是解析法基本操作，也是判斷直線與圓錐曲線關系的通性通法，教師應重視這個過程的推理，讓學生熟悉并掌握這種通性通法，便于后續解決有關弦長、切線方程、定點定值、最值、軌跡方程等解析幾何中的重要問題。位置關系中相切是很重要的，所以我們要重點提煉結論：直線y=kx+m與橢圓相切的充要條件是，我們可以利用上面的相切的結論得到對應的切線方程：（斜率存在時），下面通過教材例題的解析為例來體會這種聯立、消元、判別式的通法。先看一道A版2-1教材47頁例7：已知橢圓，直線l：4x-5y+40=0。橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最小？最小距離是多少？

以下是課本的分析解答：

分析：作出直線l及橢圓。觀察圖形，可以發現，利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點的直線，可以求出相應的最小距離。

解：由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交（通過a2k2+b2與m2的大小關系做判斷）.設直線m平行于直線l，則直線的方程可以寫成4x-5y+k=0（平行直線系設法）①

由方程組消去y，得，②

令方程②的根的判別式 得

由上圖可知，當時，直線m與橢圓的交點到直線l的距離最近，直線l與直線m間的距離。

試題評述：這道題是由直線與橢圓相離轉化為相切來解決的，從以上教材上給出的解答過程，我們不難體會到處理直線與橢圓位置關系的通性通法，教材把聯立方程組消去y得到關于x的一元二次方程②的過程書寫省略了，在教學時應該給與補充，便于學生體會中間的過程，為了保證我們得到的方程②的準確性，學生必須要掌握這個過程，這些步驟很關鍵，是解析法的基本程序和通法，許多同學處理該類問題出錯的地方就在于此步驟不準確。接著就是通過方程②的判別式求得k值，這一步涉及解析法中已知斜率的橢圓的切線方程的代數求法，解析中并沒有出現橢圓的切線這個詞，而是用直線與橢圓只有一個交點來處理的，這就是課標要求。

三、通性通法在高考題中的應用及拓展研究

直線與橢圓位置關系的判定只能聯立方程利用判別式來解決，所以有關直線與橢圓相切的問題就需要利用聯立、消元、來解決，這也是解析法的重要環節。我們再看一道2014年的廣東省高考數學試題（文理卷）：

已知橢圓的一個焦點為離心率為，

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。

解析：（1）略（2）設兩切線為①當軸或者軸時可知

②當l1與x軸不垂直也不平行時，，設l1的斜率為k且，且l2的斜率為，l1的方程為聯立方程因為直線l1與橢圓相切，所以

整理得：所以k是方程的一個根，同理可知：是方程的另一個根。

，整理得所以點P的軌跡方程為經檢驗滿足上式，綜上，點P的軌跡方程為

試題評述：此題的第一問非常基礎，符合高考的低要求，第二問用到了切線方程的求法，以及兩直線垂直的充要條件，上述解法也是應用聯立、消元、判別式的通性通法來處理的。

回到2014年的廣東省高考這道試題結合我們得出的結論，我發現橢圓相互垂直的兩條切線交點的軌跡問題教材上有滲透，A版2-1教材在橢圓的簡單性質一節課中在探討橢圓的范圍時，教材44頁中畫了一個橢圓的外切矩形，這個外切矩形的外接圓的方程就是。

教材81頁復習參考題B組第7題正是在引導我們發現上面的結論。

通過上面的兩個關于直線與橢圓相切的問題的剖析我們不難體會到處理該類問題的通法即判別式法，教師在教學時還可以聯系整章的內容發現高考試題與教材的隱性聯系得出一些實用的結論，解析幾何中類似“設而不求”“點差法”與該通法大同小異，通性通法不僅抓住了問題的數學本質，弄清了問題的來龍去脈，而且培養了學生解題思維的深刻性和批判性。

結束語

從事一線教學多年，我常常有這樣的體會：學生上課聽懂了，但是課后解題狀況百出，究其根源就是學生沒有抓住解決問題的通性通法，學生只能“做一題，會一題”，無法觸類旁通，學生的學習無法實現訓練思維、素養的提升。所以我認為在數學解題教學中更多地注重通性通法的教學，才能有更多的機會觸及數學問題的本質，才能更好地提升學生的思維能力和學科素養。

綜上所述，在數學教學中，通性通法的使用和深層次的理解伴隨一個螺旋上升、逐步深化、直達本質的過程。只有真正重視通性通法，多方位、多側面地深入理解和系統總結，才能讓學生抓住數學問題的本質，將學生的知識學習引向深入的探究，提升學生的數學學科核心素養。

參考文獻

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