突出坐標(biāo)法培養(yǎng)遷移拓展能力

劉欣欣

摘 要：從教材中的例題練習(xí)遷移到高考題是復(fù)雜的思維進(jìn)階的過程，對思維、能力都有很高的要求，教師一定要花費(fèi)時(shí)間去研究高考試題和教材的暗線聯(lián)系。這樣在復(fù)習(xí)備考時(shí)才能有的放矢，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和自身對高考、對教材的理解，逐步培養(yǎng)學(xué)生在問題中進(jìn)行信息提取、歸納、反思的能力，引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行問題的遷移拓展，從而提高學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題的能力，達(dá)到鍛煉思維層次的目的。

關(guān)鍵詞：遷移拓展;坐標(biāo)法

一、從教材中尋找高考的母體進(jìn)行遷移

以人教A版選修2-1教材41頁例題3為母題進(jìn)行分析與遷移，由教材問題逐漸向高考試題遷移變式，讀者可以去體會整個(gè)過程中坐標(biāo)法的重要性。

題目：如圖1，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0）（5，0）。直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：利用坐標(biāo)法，由已知得，化簡得點(diǎn)M的軌跡方程為。

試題評述：人教A版2-1教材中類似問題設(shè)置了一道例題四道練習(xí)題：42頁練習(xí)題第4題，74頁習(xí)題2.4B組第3題，80頁復(fù)習(xí)參考題A組第10題，81頁復(fù)習(xí)參考題B組第5題，這幾道題目非常相似，分別從動點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線斜率的和、差、積、商為定值來研究動點(diǎn)的軌跡方程，重在讓學(xué)生體會坐標(biāo)法求軌跡方程的應(yīng)用，這道例題解完后如果我們再稍作思考是否會有這樣的疑問和猜想：若已知點(diǎn)A，B是橢圓長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的異于A，B的任意一點(diǎn)，可不可以得到AM，BM的斜率之積為定值呢？

下面我們進(jìn)行遷移拓展提出問題1：如圖2，已知橢圓方程為，點(diǎn)A，B是長軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，求證：直線AM，BM的斜率之積為定值。

證明：設(shè)M（x0，y0）

又得：所以直線AM，BM的斜率之積為定值。通過問題1我們不難觀察到A，B是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，那么我們繼續(xù)遷移拓展提出問題2：

如圖3，已知橢圓方程為，直線l過橢圓的中心O交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，求證：直線AM，BM的斜率之積為定值。

證明：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱可以設(shè)

得：所以直線AM，BM的斜率之積為定值。

我們還發(fā)現(xiàn)O是線段AB的中點(diǎn)，于是我們可以繼續(xù)遷移拓展提出問題3：

如圖，已知橢圓方程為，直線l過橢圓的中心O交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，求證：直線ON，BM的斜率之積為定值。

證明：如圖4，由問題2的證明過程可知：直線AM，BM的斜率之積為定值，又因?yàn)镺，N分別為線段AM，BM的中點(diǎn)，所以，所以直線ON，BM的斜率之積也為定值。我們還可以弱化問題3的條件繼續(xù)遷移拓展提出問題4：

如圖，已知橢圓方程為，直線l與橢圓交于點(diǎn)M，B是兩點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，求證：直線ON，BM的斜率之積為定值。

證明：如圖5，連接BO并延長交橢圓于點(diǎn)A，再連接MA，由問題2的證明過程可知：直線AM，BM的斜率之積為定值，又因?yàn)镺，N分別為線段AB，MB的中點(diǎn)，所以O(shè)N//AM，所以直線ON，BM的斜率之積也為定值。對于問題3我們還可以遷移得出：同理取線段MA的中點(diǎn)P連接OP，延長OP，ON分別與橢圓相交形成過中心的兩條弦，這里兩條弦所在的直線斜率之積為定值，這兩條弦稱為橢圓的共軛直徑。

二、高考試題重現(xiàn)感受坐標(biāo)法帶來的遷移變化

關(guān)于以上的遷移拓展下的結(jié)論在高考試題中出現(xiàn)的頻率是比較高的，筆者查閱了近十年的全國各地高考試題，其中2010年上海卷，2011年湖北卷，2012年天津卷，2015年新課標(biāo)全國2卷都對上面的遷移內(nèi)容有過考查，下面我們以2015年新課標(biāo)全國2卷文史類第20題為例體會一下：

題目：已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上。Ⅰ求橢圓C的方程;Ⅱ直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值。

解析：本題的第一問屬于基礎(chǔ)題目，目的是讓學(xué)生容易登上第一個(gè)臺階，順利過渡到第二問，第二問是中點(diǎn)弦問題常規(guī)的處理方式，主要有“點(diǎn)差法”或者“韋達(dá)定理法”求解，設(shè)A，B坐標(biāo)代入橢圓方程作差出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)和直線l的斜率;還可以設(shè)直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，并尋找兩條直線的斜率關(guān)系。

解：Ⅰ略。Ⅱ解法：如圖6，連接BO并延長交橢圓于點(diǎn)C，再連接CA，因?yàn)镃，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱可以設(shè)

得：，所以直線AC的斜率與直線l的斜率之積為定值。又因?yàn)镺，M分別為線段BC，AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M//AC，所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值。

結(jié)束語

本文至此不難體會到整個(gè)遷移拓展的過程中坐標(biāo)法的突出作用，坐標(biāo)法作為解析幾何通性通法中的重要方法，在處理諸如軌跡問題、直線與曲線位置關(guān)系、定值定點(diǎn)、最值、取值范圍等問題中有著重要意義。本文所研究的問題取材于教材，立足于數(shù)學(xué)思維的提升，最后劍指高考。整個(gè)分析過程充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思維方式即數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，如果教師能將教材中類似問題深入挖掘，適當(dāng)遷移拓展，這對學(xué)習(xí)者來說是非常有效的鍛煉思維的方式，也能讓學(xué)生更加接近高考試題，對學(xué)習(xí)者的核心素養(yǎng)提高也是有很大幫助的。

參考文獻(xiàn)

[1]劉新偉.圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定線問題[J].高中數(shù)理化，2019.

[2]顧劍鋒.淺談遷移理論在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2011.

[3]王申懷.人教A版選修2-1教材[M].北京：人民教育出版社，2007.