重知識生成 促思維生長

夏開艷

摘? 要：函數是刻畫現實世界的重要數學模型，是初中數學的重要內容。函數的圖象是研究函數的重要工具，文章以“函數的圖象”一課為例，從知識生成的視角闡述函數圖象的畫法，感受數形結合的思想，培養學生的整體意識，促進思維生長。

關鍵詞：函數圖象;知識生成;數形結合

目前在函數圖象的教學中往往只關注畫圖的操作技巧，即列表、描點、連線，而忽視為什么要研究函數的圖象、函數圖象的形成過程等問題，學生只是描摹過程，而不是啟發學生思考，導致學生對畫圖的步驟理解不到位。文章以“函數的圖象”教學活動設計為例，闡述一些相關思考。

一、內容和內容解析

1. 教學內容

本節課選自人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第十九章“函數的圖象”（第2課時）。

2. 內容解析

“函數的圖象”是在學生已經學習了平面直角坐標系、變量與函數，以及函數關系的三種表示方法等知識的基礎上，進一步認識函數圖象的意義和理解圖象的畫法，感受圖象的直觀，體會數形結合的思想方法。同時，本節課為后續學習一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質提供了一般的研究思路，體現了數學學習的一致性。

本節課的教學重點是理解函數圖象的意義，經歷畫函數圖象的過程，體會數形結合的思想方法。

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）了解函數圖象的意義。

（2）會觀察函數圖象獲取信息，根據圖象初步分析函數的對應關系和變化規律。

（3）經歷畫函數圖象的過程，體會函數圖象建立數形聯系的關鍵是分別用點的橫、縱坐標表示自變量和對應的函數值。

2. 目標解讀

達成目標（1）的標志：對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形就是這個函數的圖象。

達成目標（2）的標志：學會初步觀察圖象，從中獲取相關信息，并學會初步分析函數的對應關系和變化規律。

達成目標（3）的標志：對于一個函數，會通過列表、描點、連線畫出函數的大致圖象;會用圖象描述變量之間的對應關系，用變量的變化規律解釋圖象的特征。

三、教學問題診斷解析

在學習過程中，學生最大的困難就是將函數圖象的特征解析成變量的對應關系和變化規律。在分析圖象的過程中，需要用運動的觀點看圖象，即當自變量（橫坐標）增大（減小）時，函數值（縱坐標）增大（減小），建立圖象上動點與坐標、與變量的對應關系。這是學習的難點，克服這一難點的關鍵是理解函數圖象的意義。

四、教學過程設計

1. 創設情境，引入新知

圖1是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了南京冬季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化。

問題1：從圖1中你可以獲取哪些信息？

追問1：溫度T是時間t的函數嗎？

追問2：你還能用其他方法表示這個函數嗎？

師生共同總結識圖的步驟：（1）理解變量是什么;（2）理解點的意義;（3）理解點與點之間的聯系。

【設計意圖】從已有的知識基礎（函數的三種表示方法）和認知經驗出發，讓學生展開思維活動，為研究函數圖象的必要性建立了良好的條件，同時將研究的問題顯性化。

問題2：你能畫出這個函數的圖象嗎？

追問1：需要記錄多少個時刻的溫度？

追問2：教師采集了一些數據（10組），用表格整理出來（PPT展示），能畫出圖象嗎？

追問3：再增加一些數據，能看出圖象嗎？

【設計意圖】從10組數據到20組、30組數據不斷增加，使學生能夠逐漸感受到氣溫圖是由大量密集的時間點數據的采集記錄，在平面直角坐標系中描點形成的。

追問4：形成兩個變量的對應數據可以得到很多點，仔細觀察每兩個點之間是怎樣連接的？

師生共同總結：一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象。歸納畫函數圖象的方法：記錄數據—找圖象上的點—看趨勢—光滑曲線連接。

【設計意圖】通過生活中的問題讓學生體會到，當一個變量取定一個值時，通過圖象也可以唯一確定另一個變量的值，突出函數的本質屬性，進一步認識函數的意義，初步學習通過函數圖象分析函數的變化規律和變化趨勢的方法，體會圖象的直觀性。

2. 合作交流，探究新知

正方形的邊長x，正方形的面積S，面積隨邊長的變化而變化，寫出S關于x的函數表達式，并畫出這個函數的圖象。

問題1：函數的表達式是什么？自變量的范圍是什么？

追問1：怎樣獲得組成函數圖象的點？

追問2：如何確定滿足函數關系的點的坐標？

追問3：該函數圖象的點有多少個？為什么？

追問4：不畫圖之前，你能描述該函數的圖象大概是什么形狀的嗎？

追問5：該函數圖象的起始點是哪里？

師生共同總結：圖象上有無數個點，我們只能畫出自變量有意義的范圍內的有限個點，同時想象出其他點的大致位置。

【設計意圖】根據關系式的特征，通過分析、判斷、想象等思維活動，增加學生“由數想形”的活動經驗。教師板書，借助表格來整理數據。具體如下表所示。

[x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … S 0.25 1 2.25 4 6.25 9 … ]

教師借助投影展示學生所畫該函數的圖象，部分學生畫的圖象如圖2所示，點與點之間都是用線段連接的。

師：圖2是[S=x2x>0]的圖象嗎？

學生小組討論，教師巡視并指導。

生1：不是，圖象應該是無限延伸的。

生2：如果沒有描點B，直接連接點A與點C，如圖3所示，當自變量x取2時，對應的函數值有兩個，這與S是x的函數矛盾。

生3：圖2只是不夠精確，多取一些點，用曲線連接比用折線連接更接近。

教師用幾何畫板軟件展示，取大量[S=x2x>0]函數圖象上的點，讓學生觀察這些點的趨勢，得出該函數的圖象是一條光滑的曲線，如圖4所示。

師生共同總結：（1）點[0，0]取不到，要畫成空心;（2）取的點越多，圖象越精確;（3）x可以繼續取3.5，4，4.5，…所以該函數的圖象最后面要多畫一些出來。

師：畫函數圖象的一般步驟是什么？

生：列表、描點、連線。

【設計意圖】學生通過實際操作，經過層層設問，體會到畫函數圖象的一般步驟，這些經驗為后續學習新的函數起到積極的遷移作用。同時，通過觀察[S=x2x>0]的函數圖象，可以直觀地看出正方形的面積S隨著正方形的邊長x的增大而增大，從而感受到函數圖象的直觀性。

3. 類比學習，鞏固新知

在下列式子中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的對應值，即y是x的函數。畫出這些函數的圖象。

（1）[y=x+1;]

（2）[y=6x x>0。]

【設計意圖】學生獨立操作，初步學習畫函數圖象，進一步內化畫圖步驟。通過觀察這些圖象，初步認識有的函數的圖象是一條直線，有的函數的圖象是一條光滑的曲線，有的函數的圖象是不規則的。

問題1：為什么函數[y=x+1]的圖象是一條直線？

生4：從表達式可以看出，x每增加1，y都會增加1。這里變量y關于變量x的函數值是均勻變化的。

【設計意圖】引導學生觀察不同函數的圖象，養成聯想、類比、反思的習慣，從“形”和“數”兩個方面體會均勻變化，為后面學習一次函數的圖象為什么是直線做鋪墊。

4. 綜合應用，深化理解

運用所學知識，談談如何研究函數[y=x+1x。]

【設計意圖】通過學生的思考、討論、發言，加深學生對函數研究經驗的內化，發展學生的遷移能力。

5. 回顧總結，展望新知

問題1：通過這節課的學習，談談你對函數圖象的認識。

問題2：在今后的學習中，你還想研究什么？

【設計意圖】讓學生在回顧課堂經歷的基礎上，從知識、方法等角度總結自己的收獲，并通過相互分享、啟發，體會研究函數的一般方法，感悟知識的整體性。

五、教學反思

1. 循序漸進，關注知識生長

數學知識的教學，就是將要學習的新知識看作是舊知識的提高或延伸，在教學中需要將已有的知識經驗與學習能力融會貫通。本節課回顧與解讀“氣溫變化圖”，通過對“氣溫圖上的（關鍵）點的意義”和“氣溫圖是如何作出的”兩個方面的深入剖析，讓學生進一步理解圖象的優越性，即直觀且包含大量信息。在讀圖的過程中，讓學生感受到每個時刻都有唯一的氣溫與它對應，揭示函數本質，加深對函數概念的認識，借助圖象的生成過程，完成了對新知識（函數圖象的畫法）的建構，找到畫函數圖象的重要生長點。

2. 抽絲剝繭，體會逼近思想

數學課堂承載教學體驗的任務。數學體驗源于實踐操作，學生可以在體驗中獲得數學思考和數學表達。畫函數圖象是函數教學中十分重要的體驗，列表、描點、連線操作的生成過程，教師先讓學生列舉幾個時刻，通過追問“一天就這么幾個時刻嗎？”，再提供幾組數據，充實表格中的數據，描出所對應的點，再追問“一天有多少時刻？”“應該有多少對對應點？”“我們能描完嗎？”“無數個點組成了什么？”，通過不斷追問和點的“加密”過程，讓學生經歷實實在在的思考，體會這些點結合起來“擠”在一起形成了函數的圖象，學生一定能感受到“連（光滑）曲線”的必要性，體會數學結合的思想。

3. 一以貫之，拓展思維寬度

數學教學是數學思維活動的教學，數學思維的深度是衡量數學有效性的標準，思維活動的關鍵是要把握思維的方向性和層次性。通過層層設問、追問，在互動中形成環環緊扣的思維過程，解決了為什么要研究函數圖象，能不能繪制函數圖象，如何繪制函數圖象等問題。在新知識的學習中，學生對一次函數的圖象為什么是直線，并沒有停留在表面和感性的認識，而是通過觀察表達式、表格得出“從自變量每增加一個單位，函數值的變化量是固定值”，既讓學生理解一次函數表達式的數字特征，讓學生體會到函數關系式的結構與圖象之間有一種必然聯系，內化了數形結合的認識，實現了深度學習，培養了學生思考的習慣，為學生繼續研究新的函數積累了數學經驗，拓展了學生的思維寬度。

六、結束語

數學知識的學習是螺旋上升的，在課堂教學中需要激發學生對知識的渴求，讓知識的魅力征服學生，從知識生成、發展的視角導入新知識，突破原有認知的障礙，引發學生的深度思考，體會探究數學問題的樂趣，讓學生的思維觸角不斷生長，幫助學生建立良好的思維模式，達到提升學生思維層次的目的。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]卜以樓. 生長數學：卜以樓初中數學教學主張[M]. 西安：陜西師范大學出版總社，2018.