“微元與求和思想”在高中物理解題中的應用

莫桂華

【摘要】“科學思維”是新課程標準中物理學科核心素養的重要組成，物理教學中不僅要重視概念與規律的傳授，也要重視科學思維方法的培養。“微元與求和思想”在高中物理教學中經常使用，比如，瞬時速度的定義與測量、勻速圓周運動向心加速度的推導、勻變速直線運動位移的求解、物體沿曲線運動重力的做功等。“微元與求和思想”是中學階段學生必須理解和掌握的物理學科思想方法之一，在高中階段各類型的考試中，也常有考查。本文將通過典型題目，探討 “微元與求和思想”在高中物理解題中的應用。

【關鍵詞】微元;求和;高中物理;應用

一、什么是“微元與求和思想”

“微元與求和思想”實際上就是數學里面的微積分思想，在解題應用中稱為微元法。“微元與求和”的具體操作就是把整體或整個過程進行無限的細分和逼近，找出微元及其所遵循的規律，然后進行累計求和，最終找到宏觀的物理規律，從而解決問題。

“微元與求和思想”是分析和研究連續分布的對象，或受到非線性變化的外力作用，或經歷不均勻變化過程等情況的強有力的手段，是中學階段學生必須理解和掌握的物理學科思想方法之一。

二、“微元與求和”的解題應用步驟

典型例題：長為L的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質量為m，船的質量為M，不計水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？

1.微元的選取

把人從船頭走到船尾的過程無限分割，任取其中一段無限短的時間△t作為微元來研究，可認為人和船在此時間內做勻速直線運動，假設人與船在△t內速度分別為。

2.建立微元方程

以人船整體為研究對象，人從船頭走到船尾的過程中，整體所受合外力為零，由動量守恒可得，兩邊同時乘以△t，可得 ，在這極短的時間內可認為人和船的速率不變，可以求得人和船位移大小分別為， ，代入可得微元方程：。

3.累積求和

把所有的元位移分別相加有：，即，其中分別為全過程中人和船對地位移的大小，由幾何關系可得? ，最終求得船的位移。

三、“微元與求和思想”在高中物理解題中的應用

1.微元求和應用于求轉動切割導體棒電動勢

例題1： 一根長為l，以角速度w繞其一端點O勻速轉動的導體棒OA，試求導體棒兩端電動勢的大小。

解析：將OA細分為n（n無窮大）段，取第i段微元分析，其切割速度大小為，產生的電動勢為累積求和可得導體棒OA的電動勢：

評析：用微元求和的方法求解此題，數學難度會大一些，但比起課本里面構建回路，使用法拉第電磁感應定律求解，或者直接告訴學生用平均速度計算，學生反而更容易理解。

2.微元求和應用于求非點電荷電場的電場強度

例題2：半徑為R、電量為Q的圓環上電荷均勻分布，求圓環軸線上距離圓心O為x的P點處的電場強度。

解析：帶電圓環不能看作電荷量集中在圓心的點電荷，故使用微元求和的方法來求解。選電荷元 它在P點產生的電場的場強沿x軸的分量為：

，求和并根據對稱性可得：

且電場強度的方向沿軸線方向。

評析：題目是“微元與求和思想”在靜電場中的典型應用。通過靈活選取微元，利用點電荷的場強公式進行矢量疊加求和，實現了問題的解決。更重要的是，通過思想方法的選取，把看似不能解決的問題，轉化為可以用已有的規律解決的問題。

3.微元求和應用于變加速直線運動求位移

例題3：某研究小組經查閱資料了解到，在空氣中低速下落的物體所受的空氣阻力可認為與物體速度大小成正比關系（比例系數k為0.75），因此，下落的物體最終會達到一個恒定的速度，稱之為收尾速度.如圖所示為小球由靜止開始，在低速下落過程中速度隨時間變化的一部分圖象。已知小球的質量m = 0.5 kg，，求小球在0～0.5 s內的位移大小。

解析：選取時間微元，由牛頓第二定律可得，公式兩邊同時乘以，，累積求和：，其中，，，可得：，代入數據，可以解得 。

4.微元求和應用于變化的電流求電荷量

例題4：兩根間距為L，足夠長的水平放置的光滑平行金屬導軌通過電阻R連接，導軌間存在垂直導軌平面向上的磁感應強度為B的勻強磁場，一質量為m且與導軌接觸良好的導體棒以初速度向右運動，求通過電阻R的總電荷量q。

解析：選取時間微元△t，由動量定理可得，累積求和，可得，其中，，解得。

5.微元求和應用于求變力做功

例題5：兩個帶異號電荷的小球A和B，電荷量分別為q與Q，質量分別為m和M。A在B的右方，且與B相距。 初始時刻，B的速度為0，A具有向右的速度，同時A還受到一個向右的作用力f而保持勻速運動，求從開始到兩球間距離最大的過程中f所做的功及兩球的最大距離（A和B均可視為點電荷）。

解析：隨著兩帶電小球距離變化，它們之間庫侖力發生改變，所以f為變力，在相對B球靜止的參考系S中考察問題。初始時，A球的速度為，B球的速度為0，當兩球的距離達到最大值時，兩球速度相等，都是，根據動量定理與功能關系有， 式中I和W分別是在所考察過程中變力f的沖量和功。在所考察的過程中某一小段時間間隔內，的沖量為，在所考察的過程中，f的總沖量為，在時間內，A球的位移，力做的功為，在所考察的過程中，f的總功為，聯立解得。

6.微元求和應用于求變力沖量

例題6：如圖所示，電源的電動勢為E，電容器的電容為C，同一水平面上有兩根間距為L，不計電阻的平行光滑長直導軌MN、PQ，導軌內部存在磁感應強度為B，方向垂直于兩導軌所在平面的勻強磁場. 把兩根電阻相同、質量分別為和（）的導體小棒和無初速地橫放在導軌上，且它們在導軌上滑動時與導軌保持垂直并接觸良好。現將單刀雙擲開關開關S先合向1，待電路穩定后再合向2。求兩根小棒最終的速度大小。

解析：設兩小棒最終的速度的大小為v，則分別為、為研究對象得：， ，① 同理得： ②由①、②得：又因為 、、、，所以累積求和可得：

而Q=CE，q=CU′=CBLv ，所以解得小棒的最終速度

評析：從上面例題3到例題6四個題目的解答過程可以看出，如果遇到求解一個變量對另一個變量的積累的問題，比如功是力在位移上的積累，沖量是力對時間的積累，位移是速度對時間的積累，電量是電流對時間的積累，微元與求和是一種非常好用的方法。

四、結束語

“微元與求和思想”作為高中物理教學中提高學生學科素養的核心思想方法之一，在力學和電磁學等模塊都有廣泛的應用，教師在平時的教學中應該予以重視。目前，高中數學的教學內容涵蓋了微積分的初步知識，“微元與求和的思想”在物理中的應用一方面可以與數學的內容呼應，加深對微積分初步知識的理解;另外一方面也有利于加強物理過程分析的嚴密性。

參考文獻：

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