借助生活經驗，抽象概念本質

郭延巖

摘要：“生活中的比”是北師大版小學數學六年級上冊第69頁的內容，本課培養的核心素養是“模型思想”，即通過從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號表示數學問題中的數量關系，求出結果、并討論結果的意義。“比”的認識為后續學習正比例、反比例和函數模型奠定重要的概念基礎。

關鍵詞：生活中的比 ?抽象思維 ?模型思想

史寧中教授在《數學思想概論（第一輯）》中對數學思想做了明確的闡述：“至今為止，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系”。

一、教學對象分析

從心理發展上看，高年級學生正處于皮亞杰認知發展階段中的形式運算階段，他們的思維已發展到抽象邏輯推理水平，喜歡探索有趣的、自己熟悉的有挑戰性的問題，學生也已具備一定的閱讀、理解能力和自學能力。從知識上看，學生已有了“分數與除法的關系”、“分數乘、除法的意義和計算方法”、“分數乘、除法應用題”的基礎。關于“比”，學生印象比較深的是a與b之間的“差關系”，例如“中國女排以3比0完勝對手”。而本節課的授課內容主要在比較兩數之間的倍數關系，表明a與b之間的“倍關系”。因此，本節課重點應在于理解“比”表示的是兩個量的“倍數關系”這一重要意義。

二、課堂實錄

（1）借助情景，建立表象

師：小翔要做張少先隊大隊委的競選海報。請大家仔細觀察制作過程。

（動畫演示照片的形變過程）

師：經過調整，哪幾張圖和圖A比較像呢？

生：B、D和A像C、E和A不像。

師：像與不像可能會和圖形的什么有關系？

生1：照片的像和不像與圖形的面積大小有關，長乘寬的結果會影響它的像與不想。

生2：和本身長和寬的變化有關。

生3：分別和照片之間長和寬的倍數有關。

設計意圖：好的素材是兒童模型思想形成的基礎。通過學生感興趣的海報制作，動態呈現圖片變化過程。借助圖形中介，建立半直觀半抽象的表象，在豐富的表象基礎上，探索“長與寬的關系”，形成“比”基本感知。

2.循序漸進，語言表征

師：看來我們的思路都指向了圖片的長和寬的關系。下面我們就重點研究這幾張圖片，請看學習要求。

學習要求：

1. 想一想：相像的圖形，長與寬有什么關系？

2. 算一算：根據計算結果，你發現了什么？

3. 說一說：組內充分交流，說說你是用什么方法研究的，你的發現是什么。

（學生獨立思考，小組交流）

方法1：長與寬之積與圖形的相似無關。

生：我用乘法研究的，我計算的是他們的面積。我發現他們的面積和他們像不像沒有關系。

師：用面積沒有辦法判斷。還可以用什么方法？

方法2：同一圖形中長與寬的倍數關系。

生：A的長寬：6÷4=1.5;B的長寬：3÷2=1.5 ;D的長寬：12÷8=1.5 ;C的長寬：3÷8=0.375;E的長寬：12÷2=6。如果圖形的長是寬的1.5倍，與圖A相同，則這個圖形與A像。

方法3：不同圖形之間長與長、寬與寬的倍數關系。

生：A與B的長6÷3=2，寬4÷2=2。A與D的長6÷12=0.5，寬4÷8=0.5。B與D的長3÷12=0.25，寬2÷8=0.25。可以看出圖形如果兩個圖形之間的長和寬的倍數相同，說明他們的長和寬是同時擴大相同的倍數，所以這兩個圖形像。

師：我們發現圖形長和寬的倍數關系不變，看起來像;長和寬的倍數關系發生了變化，看起來不像。

師：這些算式我們都是用什么方法算的？

生：都用除法計算。

設計意圖：從抽象思想的深度，首先要經歷簡約階段，即把握事物的本質，把復雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達。本環節通過兩個同類量之比的計算，將圖形的長、寬關系抽象為數學運算。先呈現用長乘寬探究面積的方式，得出面積無法作為圖形像不像的判斷依據。接著呈現同一圖形中長與寬的倍數關系，通過標準例證體會用除法計算兩個數之間的倍數關系。最后呈現不同圖形之間長與長、寬與寬的倍數關系，運用“形變而質不變”的變式例證使學生深入理解概念內涵，突出“比”表達的是兩個量之間的倍數關系。

3.自主學習，建構概念

師：像這樣的式子。在數學里，我們把兩個數相除，又叫做這兩個數的比。這說明比表達的是兩個量之間的倍數關系。關于比，請大家自學課本p69，認一認。把你覺得關鍵的語句畫一畫。

（學生自主閱讀關于比的知識）

師：6÷4可以寫作：6：4，還可以寫成四分之六，計算后得1.5。通過自學，你還知道了什么？

生：中間的“：”在數學里叫“比號”，比號前面的數叫“前項”，比號后面的數叫做“后項”。商是“比值”。

師：比值怎么計算會嗎？

生：用前項除以后項。

師：根據剛才長和寬的關系，我們還可以寫出比嗎？

生：3：2=1.5;

師：3在比里稱作？2是什么？1.5是什么？

生：3在比里稱作前項，2是后項，1.5是比值。

我們還可以寫：12：8=1.5;3：8=0.375;12：2=6。

師：看來大家對比已經有了一定的認識了，你能從比的角度解釋照片為什么像嗎？

生1：不管怎么擴大或縮小，長與寬的比值是1.5時，照片一定像。

生2：長與寬的倍數關系可以用比來表示。

生3：長和寬同時擴大或縮小相同的倍數，照片會像。

師：你們總結的真好，不管我們的照片怎么擴大或縮小，長和寬的比值相同時。照片一定像。

設計意圖：抽象思想深度的第二階段，即符號階段。該階段是指去掉具體內容，利用概念表達已經簡化了的一類事物。符號的使用是數學思考的重要形式，數學符號的抽象性、簡約性、精確性和可運算性使得數學思維變成可視的符號操作過程。通過對“比”各部分名稱的認識，聯系具體圖形求解比值的運算體驗，為學生創造“舍去現實背景去抽象，回歸現實背景去聯系”的機會，將直觀經驗與理性思考結合，建構“比”的概念模型。

4.聯系生活，鞏固概念

師：比在我們的生活中無處不在，請你說一說這些比的含義。

（1） 我國國旗長和寬的比是3：2。

生：國旗的長是寬的1.5倍。

（2） 第六次人口普查的結果是男女人數的比是105∶100

生：如果有105個男生，就有100個女生。

（3） 地球上海洋面積和陸地面積的比是7：3。

生：地球上海洋的面積是陸地面積的三分之七倍。

師：你還能舉出一些生活中的比嗎？

生：金龍魚調和油的比例是1：1：1。

生：糖水中糖和水的比是1：2

師：昨天有一個振奮人心的消息，中國女排以十一場全勝豪取第十三屆女排世界杯冠軍！實在是太令人自豪了！那比賽中的比分和這節課學的比一樣嗎？

生：前項和后項可以是 整數、小數和分數，但計分只能是整數。

生：比要有一定的倍數關系。

生：除法的被除數不能為0。

師：剛才爭論那么多，其實，各類比賽中的比不是我們這節課學習的比，它只是一種計分形式，表示的是相差關系，不是倍數關系。

設計意圖：抽象思想深度的第三個階段是普適階段，即通過假設和推理建立法則、模式或模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物。概念教學既要引導學生由具體到抽象，形成概念;又要讓學生由抽象到具體，運用概念。通過勾連生活中的比，討論比和比值的意義，讓學生體會模型思想，厘清計分中的“比”表示的“差關系”與本節課所學的“倍關系”有差異，進一步體會“比”的意義。

5.分析練習，內化概念。

說一個用3：4表示的情景。

設計意圖：數學抽象是對現實世界具有數量關系和空間形式的真實材料進行加工、提煉出共同的本質屬性，用數學語言表達進而形成數學理論的過程，是由看得到摸得著的事物轉向無形的思維體驗。本環節運用“比”的知識解釋圖形相向的原因，通過“3：4表示的情景”反向運用抽象思想，強化對“比”的認識與表達，內化概念模型。