數學分析習題課教學效果綜合評價模型的構建*

王 成 強

(成都師范學院 數學學院，四川 成都 611130)

主成分分析(PCA)模型是由K.Pearson和H.Hotelling等發展起來的統計模型[1]1-79[2]559-572[3]417-441，它是一種無監督的學習方法，在數據可視化、統計決策和統計測度等領域有著重要的應用[4]39-43[5]96-99.其主要作用是降低數據維數、減少數據冗余、過濾數據噪聲等.最小二乘線性回歸(OLS)模型利用最小二乘方法，為隨機變量設計出“最優”的線性關系表達式，或為數據找出“最優”的擬合平面，進而建立數據組之間近似的線性關系，在計量經濟學、數據科學和社會科學(如教育學)等領域都有廣泛應用.PCA模型和OLS模型在綜合評價中也有重要應用.綜合評價模型是指通過選擇建立恰當的數學模型，把多個描述被評價事物不同方面且量綱不同的統計指標轉化成無量綱的相對評價值，并綜合這些評價得出對該事物的一個整體評價方法[6]12-163[7]119-121.除了PCA模型和OLS模型外，常用的綜合評價模型還有層次分析(AHP)法、模糊綜合評價(FCE)法、Delphi法、灰色關聯度分析(GRA)法、TOPSIS技術等[6]12-163[7]119-121.

與其他類課程一樣，數學類課程的教學效果與學習效率評價也是該類課程教學評價的重要環節.數學類課程的學習評價方式及其指標體系一直是教育界的研究熱點.目前，國內中小學數學課程的教學評價研究成果十分豐富且極其系統[8]224-225，而國內有關大學數學課程教學評價方面的研究成果卻相對較少.本文闡述PCA模型與OLS模型在數學分析習題課教學效果評價中的應用.在數學分析習題課教學領域，有關教學效果評價已出現了一些研究成果.這些成果都是探討數學分析習題課的教學設計、教學模式選擇等問題的.例如：向昭銀等從若干方面論述了研究型教學融入數學分析習題課的一些教學原則[9]151-154；唐玲艷等從若干教學環節，分享了關于加強習題課建設、提高數學分析課程教學質量的幾點體會[10]91-94.本文側重對數學分析習題課的教學效果進行定量與定性相結合的測評，試圖建立相應的綜合評價模型.

一、PCA、OLS模型與算法

記

這里及以后的Span(·)表示由向量或向量組張成的線性空間；

……

記

……

記

步驟 4檢驗模型的合理性與修正模型.

二、實證研究

1.數據來源及說明 本次實驗的周期是成都師范學院2019-2020學年第一學期，共96學時.通過全程實時監測，得到了成都師范學院數學與應用數學專業2018級3班的數學分析習題課教學效果原始數據.數據含有6項指標：規范解答教材中的課后習題；正確解答教材中的課后習題；創新解答教材中的課后習題；推廣或改進教材課后習題中的結論；合理提出、分析并正確解答新問題；探究、發現并證明新結論.為方便數學建模，引進下列變量:X1為規范解答教材中的課后習題；X2為正確解答教材中的課后習題；X3為創新解答教材中的課后習題；X4為推廣或改進教材課后習題中的結論；X5為合理提出、分析并正確解答新問題；X6為探究、發現并證明新結論;Y為實驗對象數學分析學習質量的多次監測的平均成績.

2.數學分析習題課教學效果的綜合評價 利用Matlab軟件，根據數據分析結果，選擇前三主成分(數值計算結果顯示，其累計貢獻率約為99.8%)，忽略其他“次要”主成分，其中：

第一主成分為數學分析習題課對學生動手實踐能力的培養效果，記為:

M1=0.577 2X1+0.816 6X2+0.004 9X3+0.007 5X4-0.001 7X5-0.000 4X6.

第二主成分為數學分析習題課對學生創新能力的培養效果，記為:

M2=0.002 1X1-0.012 4X2+0.555 2X3+0.830 4X4+0.023 4X5+0.038 3X6.

第三主成分為數學分析習題課對學生研究能力的培養效果，記為:

M3=-0.056 9X1+0.042 2X2-0.024 7X3-0.036 6X4+0.546 3X5+0.833 4X6.

進一步利用Matlab軟件進行OLS分析，得:

以及信息表(參見表1)：

表1 以M1、M2、M3為回歸變量的回歸分析

以及信息表(參見表2)：

表2 以M1、M2為回歸變量的回歸分析

與表1相比，表2中R2與修正R2的值更接近1，P值與MSE更接近0.這些都蘊含著模型=0.367 5M1+0.310 6M2+1.795 9比模型=0.367 7M1+0.310 4M2-0.006 7M3更佳.

由圖1可以看出,學生在動手實踐能力與創新能力方面表現越好，數學分析習題課的教學效果就越好.與只看學生的一次性考試成績相比，本文給出的綜合評價結果既能充分體現該課程整體教學質量的優劣，又能恰到好處地顧及習題課的日常課堂教學效果評價，幫助教師實時有效地監測課堂教學效果.

圖1 數學分析習題課教學效果評價結果散點圖

三、結 語

本項目選取成都師范學院數學與應用數學專業2018級3班學生為研究對象，以學生規范解答教材中的課后習題，正確解答教材中的課后習題，創新解答教材中的課后習題，推廣或改進教材課后習題中的結論，合理提出、科學分析并正確解答新問題，探究、發現并證明新結論為評價指標，通過PCA模型找出主成分，進而研究了PCA-OLS統計模型在數學分析習題課教學效果綜合評價中的應用.與其他類型的綜合評價模型相比，PCA-OLS統計模型能排除數據搜集過程中摻雜的“噪聲”，具有明顯的可靠性.本項目的研究結果顯示，數學分析習題課對學生動手實踐能力、創新能力和研究能力的培養至關重要.