依托課堂主線問題 發展數學建模能力

宋艷 杜崗

[摘 要]分析主線問題背景和數學建模教學現狀，闡述這兩個概念的內涵，構建主線問題范式與數學建?？蚣艿穆撓凳疽鈭D，闡述兩者融合的特征及意義，結合教學實踐從三個方面提出以主線問題發展學生數學建模能力的實施路徑，即創設主線問題情境，建立模型基礎;依托主線問題探索，經歷建模過程;利用主線問題拓展，重視模型應用。

[關鍵詞]主線問題;模型思想;數學建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0037-04

一、引言：主線問題和數學建模的提出與思考

（一）關注數學建模能力

在小學數學教學中，經常會出現這樣的現象：對于簡單的數學問題，學生一般很快就能找到解題思路，但對于文字較多、語言描述復雜的實際問題，就會有學生出現讀不懂題意、思路不清且無從下手的情況。究其原因，表面上看是學生審題能力薄弱，仔細分析，其實是學生的數學建模能力薄弱。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）提出了十個核心詞，“模型思想”是其中之一。其實，數學建模就是構建數學模型，它是提高學生數學關鍵能力的一個重要方面。一個復雜的數學問題，去其外衣，取其本質，其實就是一個簡單問題或幾個簡單問題的交叉呈現。數學問題的解決，從根本上說就是一個數學化的過程，將所要解決的問題進行抽象，挖掘其內在本質，將生活中的問題數學化，建立數學模型，提煉出對應的解題方法。學生的數學建模能力一般在初高中階段比較受重視，在小學階段提及和研究的并不多。其實，從小培養數學建模能力能為學生的數學學習打下堅實的基礎，使學生終身受益，因此教師應在小學階段就重視培養學生的數學建模能力。

（二）轉變課堂教學方式

課標還提出，要重視學生在學習活動中的主體地位。數學課堂要轉變教學方式，以學生為中心，把學生學習的主動性調動起來，使學生學會學習。主線問題教學方式就是把學生放在主體地位，實行啟發式教學，引導學生主動學習。主線問題的提出能夠產生各種積極的教學效果，它能為學生提供積極思考的時間，培養學生發現和提出問題的能力;能為學生提供主動探究的空間，使學生通過動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式，培養分析和解決問題的能力;能提高學生的學習意識，有效激發學生的積累、反思、質疑和創新意識，培養學生的數學關鍵能力，發展學生的數學核心素養。

（三）依托主線問題教學

隨著課程改革的大力推進，近年來，教師對在小學階段培養學生數學建模能力這方面也越來越重視。教學中，如何讓學生樹立模型意識，有效探尋解決問題的方法，提高學生的數學建模能力呢？結合自身的教學經驗，筆者依托主線問題教學，研究發展學生數學建模能力的實踐路徑。主要是以主線問題引領數學教學，調動學生學習的積極性，激發學生的探究欲望，使學生經歷數學建模過程，啟迪數學思維，培養數學關鍵能力，推動學生數學核心素養的培養落地。

二、闡述：主線問題和數學建模的內涵與價值

（一）主線問題和數學建模的內涵

1.主線問題的概念

主線問題是依據學生認知水平，針對學習內容核心進行發問，直指數學本質、凝聚教學重難點、引領學生進行自主學習、探究學習和合作學習的主要問題。它是課堂的“課眼”，是文本的“文眼”，是引領課堂的重要問題、核心問題和關鍵問題。主線問題教學是為了不教而問，它能夠強調課堂教學的主要內容，厘清課堂教學的邏輯結構，便于教學目標的有效達成。主線問題可以充分發揮學生的學習主動性，使學生的思維更具開放性。

2.數學建模的詮釋

課標指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。數學建模就是建立數學模型的過程，包括對實際問題進行提煉、抽象、簡化，以及確立、求解、驗證、解釋、應用和拓展數學模型的過程。

（二）主線問題和數學建模的聯系

以主線問題發展學生的數學建模能力主要是指在小學數學教學中設計課堂主線問題，通過主線問題的提出與解決，激發學生的探究欲望，結合師生、生生的互動學習，讓學生在經歷提煉、抽象、簡化、驗證、應用和拓展等活動過程中，培養自主學習的意識，發展數學建模能力。

主線問題教學的一般范式為“問題引領，凸顯目標—動手實踐，自主探究—交流展示，完善認知—鞏固練習，拓展應用—課堂總結，知識提升”。數學建模過程為“分析問題—提煉數學信息—建立模型—求解模型—驗證模型—應用模型”。在課堂教學中，筆者嘗試將兩者進行融合，使兩者相互聯系、相互影響。具體過程與聯系如圖1所示：

從圖中可以看出，主線問題引領教學，使學生在實際情境中發現并提出問題;主線問題啟發學生主動探索，讓學生在活動的過程中抽象并建立數學模型;主線問題鼓勵學生交流展示，幫助學生求解驗證模型;主線問題重視鞏固提升，讓學生應用拓展模型。主線問題教學與數學建模雖是獨立存在的兩個過程，但彼此之間又緊密聯系，相互影響、相互促進。這既可以提高學生的自主學習意識，又能夠發展學生的數學建模能力。

（三）主線問題和數學建模的價值

1.主線問題具有引領性，幫助學生建立建?；A

課標指出，要增強學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。主線問題具有引領性，主要表現在能夠促使學生對實際問題進行提煉、抽象和簡化。通過創設良好的學習情境提出主線問題，激發學生的學習興趣，引領學生由生活走向數學，在閱讀理解的過程中提煉出數學元素，在多元條件中抽離出數學問題，從而培養學生發現和提出問題的能力，這是培養學生數學建模能力的基礎。

2.主線問題具有探究性，啟發學生建立模型結構

建構主義理論的核心是以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。主線問題具有探究性，教師會向教學內容的核心進行發問，直指數學本質，突出教學重難點，促使學生主動探究。學生通過觀察、實驗、猜測、計算、推理等活動，對數學問題進行確立、求解和驗證，建立數學模型。

3.主線問題具有開放性，促進學生進行模型應用

數學家弗賴登塔爾指出，數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實。數學學習的主要目的是讓學生運用所學的數學知識去解決生活中的問題。主線問題具有開放性，學生在歸納總結數學問題的基礎上，將解決問題的方法和思路進行拓展，運用數學模型解釋生活中的現象，對數學模型進行再認識。學生在反思的過程中，對數學問題進行解釋、應用和提升，體會數學模型的價值，增強學好數學的信心。

三、探索：主線問題和建模能力的實踐與路徑

（一）創設主線問題情境，建立模型基礎

1.聯系生活素材提出主線問題，豐富數學模型表象

課標指出，呈現的素材應貼近學生現實。創設主線問題現實情境，讓學生經歷從現實生活情境中抽象出數學知識和方法的過程，豐富模型表象。著名特級教師黃愛華在“認識圓”一課中就充分利用了生活中的素材。課堂上，黃老師出示一張下水道井蓋的圖片，并提出以下問題：

主線問題1：下水道的井蓋為什么是圓的？

主線問題2：為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？

主線問題3：為什么車輪是圓的，不是方的？

“下水道的井蓋為什么是圓的？”這個問題引發了學生的一系列思考。學生根據黃老師的引領性問題展開想象，帶著好奇心和疑問自然地進入課堂，試著把生活語言轉化為數學語言，在思考的過程中初步感受圓的特征，建立圓的模型基礎。而后，黃老師提出“為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？”“車輪為什么是圓的，不是方的？”主線問題，帶領學生思考與探索圓的本質特征，并揭示直徑的概念。學生依據自己的經驗展開研究，體會到數學模型從生活中來又用于生活，使教學走向深入。

2.選擇典型素材提出主線問題，深入理解數學模型

數學模型的建立就是要讓學生體會和理解數學與外部世界的聯系。課堂上提供的素材要與需要建立的數學模型保持高度一致，這樣才有利于學生進行觀察、比較、抽象和概括等活動。以著名特級教師吳正憲老師的“乘法分配律”教學為例，吳老師先后呈現三幅情境圖（如圖2、圖3、圖4），提出以下主線問題：

主線問題1：一共有多少朵花？一共是多少平方米？

主線問題2：一共要鋪多少平方米的瓷磚？

主線問題3：這座大橋全長多少米？

這里的三個素材都具有典型性，這些情境結構與乘法分配律的表達形式高度一致。學生可以在解決實際問題的過程中感受到乘法分配律的存在，積累建立乘法分配律這一模型的直觀形象材料。

3.利用有趣素材提出主線問題，滲透數學模型思想

教學中，教師應當選擇適合兒童年齡特點且有趣的素材，激發學生的學習興趣，使他們在有趣的情境中感悟數學模型。

以“簡單周期”一課的教學為例。

教師出示故事：從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說……

師生齊讀這個故事后，教師提出主線問題1：你們的聲音為什么越來越小了？

生：這個故事有幾句話不斷重復出現，講不完。

教師相機引出周期問題，揭示課題。

教師出示兒歌：一二三四五，上山打老虎，老虎不在家，我們就捉它。

教師出示游戲規則：8個學生做游戲，全班一起邊唱兒歌邊數，誰輪到“它”字就被淘汰，進行三輪。

教師提出主線問題2：猜一猜，下一個淘汰的是誰？

學生在一輪輪游戲中認識到周期數量逐漸減少，并通過口頭計算，猜測哪位同學被淘汰，再用數的方法來驗證。

兒歌是學生喜歡的素材，教師提供學生感興趣的素材有助于提高學生學習數學的興趣，加深學生對知識的理解。學生在唱兒歌和做游戲的過程中感受周期現象，加深對周期問題計算方法的理解，感悟模型思想，體會建模過程。

（二）依托主線問題探索，經歷建模過程

教師在進行教學時，對于書本中的某些原理、定律、公式，不能只讓學生記住，還要讓學生明白它們是怎么得來的。啟發學生分析和解決數學問題，讓學生依托主線問題經歷探索的過程，數學模型才得以有效建立。主線問題教學需要給學生提供足夠的時間和空間，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程。接下來以蘇教版教材六年級下冊P28～29的“解決問題的策略”教學為例進行探討。

1.主線問題引領學生理解題意，抓住建模起點

培養學生的數學建模能力，首先要提高學生的閱讀理解能力和數學能力。主線問題的提出能夠引導學生準確理解題意，有效提取題目中的關鍵數學信息和把握這些數學信息之間的聯系。這是學生解決實際問題的基礎，也是數學建模的起點。

教師出示問題：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。各租了幾只大船和小船？

教師提出主線問題1：仔細讀題，你能找到哪些數學信息？大船和小船的數量需要滿足哪些條件？

解決問題的前提是理解題意。教師讓學生從題目中尋找數學信息，并提出“大船和小船的數量滿足哪些條件？”這一主線問題，促使學生深入思考，初步感知關鍵信息之間的聯系，為建立數學模型奠定基礎。

2.主線問題引導學生主動探索，抽象模型結構

主線問題教學需要培養學生的主動探索的能力，讓學生成為真正的探索者。豐富的活動可以幫助學生深入理解知識，優化知識結構，提高抽象和概括能力，培養數學建模能力。

教師提出主線問題2：你打算怎樣解決這個問題？說說你的想法。

生1：畫圖分析。（如圖5）

生2：列表分析。（如表1）

生3：用假設法分析。（如表2）

師：選擇寫一寫、畫一畫、算一算其中一種方法解答。

學生之前已經學過畫圖、列表、列舉、轉化、假設、替換等多種解決問題的策略。教師提出主線問題“你打算怎樣解決這個問題？”，讓學生通過動手實踐、自主探索和合作交流等活動分析、解決問題。學生給出多樣的解決問題策略，在自主探索的過程中初步感悟“假設—驗證—調整”的思考步驟，經歷建模過程。

3.主線問題驅動學生交流完善，求解驗證結果

主線問題的提出可以驅動學生交流反思，經歷求解驗證模型結果的過程，完善數學模型。

教師提出主線問題3：用畫圖、列舉、假設等策略解決這個問題時，有什么相同的地方？

生4：我是先假設，再計算驗證，然后不斷調整，直到得出答案。

生5：我是先假設，然后列算式得出答案的。（如圖6和圖7）

在學生得到正確答案之后，教師引導學生進行反思，回顧解決問題的思路，梳理策略的應用過程。學生進一步體會到無論運用哪種策略都要經歷“先假設（或猜想），再驗證和調整”這一過程。另外，教學中，也有學生在探索的過程中總結出列式的方法，比如假設都租大船或都租小船，找出總人數的差與大小船限乘的人數差的聯系，從而求出大小船只數。而這正是解決“雞兔同籠”實際問題方法的提煉，學生在不斷嘗試、計算、驗證等過程中建立數學模型。

（三）利用主線問題拓展，重視模型應用

在學生建立數學模型之后提出拓展性主線問題，可以引導學生利用模型解決實際問題，幫助學生體會數學模型的價值，并在解釋和應用數學模型的過程中，發展學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維解決問題的能力，發展學生的應用意識。

1.設置鞏固性主線問題，加強數學模型運用

學生在建立數學模型后，可以從一個問題的解決，概括總結出一類問題的解決方法，以加強數學模型的應用。教學中設置鞏固性主線問題，充分發揮學生的理解力和想象力，通過列舉幫助學生強化理解數學模型，感受數學模型的應用價值。

例如，在認識方程后，可以給學生出示一個方程，如[5x=20]，然后提出主線問題：“這個方程可以表示什么？”學生結合自己的生活經驗，尋找可以與這個方程相匹配的事例進行闡述，這既能讓數學模型與生活實際聯系起來，又可以強化經歷方程建模的全過程，使學生的思維由算術思維不斷向代數思維過渡，培養學生的數學建模能力，強化數學模型應用能力。

2.引出拓展性主線問題，促進數學模型推廣

提出拓展性主線問題，引導學生對已經抽象出的數學模型進行變式，通過分析不同情況之間的聯系，加深對數學模型概念的認知，形成網狀知識結構，豐富學生的數學基本活動經驗，促進數學模型推廣。

例如，“速度×時間=路程”是小學階段的一個基本模型。學生在經歷抽象、概括等活動得到數學模型后，通過改變實際問題推出“路程[÷]速度=時間”“路程[÷時間]=速度”兩個數量關系式，這是數學模型的拓展。同時，還可以用得到的數學模型解釋生活中的一些現象。在練習中，可以提出拓展性主線問題：“打雷時，為什么人們總是先看到閃電，后聽到雷聲呢？”當學生回答“因為光的傳播速度比聲音的快”后，教師可以順勢解釋：“就像賽跑一樣，同樣的路程，速度快的人先跑到終點。因此，我們一般先看到閃電，后聽到雷聲?！睂W生在變式練習以及拓展應用中進一步感受建立數學模型的重要性，進而推廣數學模型的應用。

3.提出反思性主線問題，體會數學模型價值

數學模型是從現實原型中抽象出來的數學結構，在形成具體的數學模型后，教師要提出反思性主線問題，使學生學會舉一反三、觸類旁通，形成一個整體的認知，為未來學習相關知識做好鋪墊，創造出數學建模的更高境界。

例如，前面提到的“雞兔同籠”問題，它的數學模型可以延伸到初中的二元一次方程。教學中，教師向學生介紹教材中的“你知道嗎”，使學生了解“雞兔同籠”問題是我國古代的數學名題。教師隨后提出反思性主線問題：“‘雞兔同籠’問題為什么有如此大的魅力？”經過討論，學生加深了對“雞兔同籠”問題的認識，進一步認識到“雞兔同籠”問題不是憑空想象的，生活中確實有很多這樣的問題。如汽車和自行車輪子數的問題、乒乓球單打和雙打人數的問題、儲錢罐里1角硬幣和5角硬幣數量的問題、籃球運動員投中3分球和2分球數量的問題……學生在提出這些問題的過程中舉一反三，進一步經歷抽象的過程，為今后學習二元一次方程積累了經驗，提高了數學建模能力。

總之，依托主線問題發展學生的數學建模能力不是一朝一夕能夠達成的，它是一個循序漸進的過程，需要教師在平時的課堂教學中一點一滴地滲透。教師可以有目的地深入研究教材，把握教學內容核心;有組織地引導學生經歷建模過程，提高學生學習的主動性;有意識地拓展學習內容，注重數學模型的應用。

（責編 吳美玲）