理解教材、提升素養

鄭志剛

一、問題的提出

近日，筆者參加某校教學開放日活動，課題為蘇教版必修一§7.3.2《三角函數的圖象與性質》第一課時。評課時大家一致認為：類比冪指對函數問題的研究內容與研究方法，展開本節課的研究，關鍵是作出正余弦函數的圖象。當然也有一些疑惑：（1）學生熟悉的是代數描點，為什么還要幾何描點，并且幾何描點的方法前面沒學，之后也不再用，是否有必要講，如果要講怎么引入？（2）三角函數的性質之前通過三角函數線已經可以得出，這兒能不能不再描點而直接給出五點法作圖？再進一步通過圖象觀察將性質直觀寫出？

二、教學片段再現

片段A：

情境：三角函數在生活中的應用介紹;

問題1：你能說出正余弦函數的哪些性質？

生：定義域、奇偶性、周期性。

問題2：要想全面了解函數的性質，我們應從哪個方面入手？

生：做出函數的圖象，用描點法，

師：函數的周期能給我們提示？

生：只需作出y=sinx在一個周期，即[0，2π]上圖象。

問題3：怎么準確的描點（x0，sinx0）

師：借助三角函數線描點，教師展示幾何描點的過程與方法

反思：問題3的提出很突然，為什么要描點（x0，sinx0），描點為什么要借助三角函數線，沒有其他方法了嗎？教學設計的不自然將會導致學生分析問題解決問題的能力打折扣，時間長了就會陷入你講我記，你說我聽的局面，缺乏獨立思考。

片段B：

復習回顧：這節課研究三角函數的性質，前面研究過嗎？

生：三角函數線與誘導公式可以得到函數的性質

問題1：通過三角函數線和誘導公式可以得到正弦函數的哪些性質？如何得到？

生：觀察正弦線的變化，可以得到定義域、值域、單調性;由誘導公式可以得出正弦函數的奇偶性和周期性;（描述過程略）

問題2：你能作出函數的圖象嗎？

學生借助性質作圖，教師展示并借助信息技術輔助作圖，師生共同分析得出五個關鍵點。

問題3：三角函數線與圖象都能得到函數的性質，它們之間的關系是什么？

師生分析得出圖象上的點（x0，sinx0）對應單位圓中的弧長與正弦線，教師介紹幾何描點的方法

反思：此種設計將性質置于作圖之前，有值得借鑒之處，但是把幾何描點法作為圖象與三角函數線的關系研究，有為了教而教的感覺，缺乏單位圓在研究三角函數中所起的作用的理解。

三、幾點思考

1.注重發揮單位圓的作用，提升學生的直觀想象素養

單位圓與三角函數有著直接的聯系，任意角、任意角的三角函數、同角三角函數的關系、誘導公式、三角函數的圖象與性質都可以借助單位圓得到認識，在三角函數的研究中，借助單位圓的幾何直觀是非常重要的手段，這也是使學生領會數形結合思想，學會數形結合地思考和解決問題的好機會。筆者查閱了人教版必修一教材，對此內容的處理也是借助于正弦線幾何描點。對于畫正弦函數的圖象，教科書突出了單位圓的作用，先從作圖象上任意一點出發，明確作圖的原理，再用信息技術畫出足夠多的點，得到對圖象更直觀的認識，能夠使學生更清楚知識的發生發展、歸納概括的過程[2]。后續的兩角差的余弦公式也利用單位圓進行推導，使得單位圓成為整個三角函數研究的紐帶。

2.函數性質研究的一致性與多樣性

普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）提出三個關注：高中數學內容主要分為四條主線，它們既相互獨立，又相互聯系，各個章節的設計要體現三個關注：關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系，關注不同數學知識所蘊含的通性通法、數學思想。數學內容的展開應循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體[1]。

三角函數作為函數內容的一部分，是高中基本初等函數研究的最后一類，學生之前已經有了研究冪指對函數的經驗，借助這種經驗展開三角函數的研究，學生比較熟悉也很自然，這也是研究函數問題的一般方法。但三角函數有它的特殊性，如周期性與奇偶性可以簡化作圖。性質與圖象相互交融，一方面由圖象可以直觀得到性質，另一方面由性質可以輔助作圖，通過本節課的學習要使學生體驗研究函數圖象與性質方法的一致性與多樣性。

3.教學目標如何設定，教學難點如何突破

任何一節課，教學目標直接決定一節課的教學定位。如果定位于教知識，那么本節課完全可以不用介紹幾何描點法，學生用特殊角三角函數值描點，老師再借助信息技術輔助作圖即可得到圖象;如果定位于教思想方法，那么就需要把三角函數放在函數的整體框架里，借助學生已有的經驗自主建立研究三角函數的方法與內容;如果定位于學生核心素養培養，那么就要思考本節課能夠培養學生哪些數學核心素養，以什么為載體去培養？很顯然，定位于學生核心素養的培養立意更高，也是本輪新課程改革的最為關鍵的一個導向。

幾何描點法蘊含著豐富的數學元素，既有利用單位圓研究三角函數的整體性，也有著培養學生直觀想象核心素養的任務，故筆者認為應該要講。但這是一個難點，如何突破難點呢？常見的辦法有類比、歸納、推廣等，筆者覺得可以采用從特殊到一般的處理辦法，利用追問圖象的準確性，讓學生畫非特殊角的三角函數對應的點，先描一個點，如（ ），通過這個問題的解決入手，再推廣到一般情況。

四、教學改進

基于以上思考，筆者進行了重新設計，在任教班級嘗試，效果較好。

問題1：今天我們研究三角函數的圖象與性質，你能說出研究函數的方法與研究內容嗎？

生：通過作出函數的圖象，觀察函數圖象總結歸納函數性質;我們可以從定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、特殊的點與線等方面去觀察研究。

問題2：我們已經知道三角函數的哪些性質？對我們作出三角函數圖象有什么幫助？

生1：定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性好像也知道。

生2：只需作出一個周期內的圖象，取[0，2π]上的圖象;

生3：正弦函數是奇函數，我覺得取[-π，π]更好，這樣只需要作出[0，π]上的圖象，[-π，0]圖象可利用關于原點對稱作圖;（此處應該有掌聲）

學生活動1：嘗試作出正弦函數圖象。

學生采用描點法，在[0，π]內列出若干個特殊角三角函數值，再在坐標系中描點連線作圖。

教師展示學生作圖，并追問，

追問1：（0，0）與（ ）之間圖象你怎么得到的？會不會是下凹的形狀？

生：那就在這個范圍內再作幾個點。

追問2：如何描點（ ），困難在哪？有什么解決辦法？

生1：sin 是多少不知道，可以用計算器求出來，再描點。

生2：不需要，借助三角函數線，在單位圓中量出 的正弦線長度，即sin 的值，用尺規作圖就可以作出sin ;

追問3：如何在x軸上準確描出 這個點？有哪條線長度是 嗎？

生1：取π近似值，除以7

生2： 角所對的單位圓弧長是 ，可以把這段曲線拉直后平移到x軸上。

追問4：能準確作出任意一點（x0，sinx0）嗎？

生：取角x0對單位圓弧長為橫坐標，x0在單位圓中的正弦線為縱坐標（平移正弦線），即可作出該點。

學生活動2：信息技術展示幾何描點得出正弦函數圖象。

師生共同歸納[0，2π]五個關鍵點，以下過程略。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版2020修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]高中數學教材編寫研究章建躍、李海東主編北京：人民教育出版社2020.12