初二數學勾股定理

周志峰

最近我們學習了“勾股定理”。它是初等幾何中的一個基本定理，是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個定理雖然只有簡單的一句話，但它卻有著十分悠久的歷史，尤其是它那“形數結合”、“形數統一”的思想方法，啟迪和促進了我國乃至世界的數學發展。

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯要早得多。在我國最早的數學著作《周髀算經》的開頭，有一段周公與商高的“數學對話”：

周公問：“聽說您對數學非常精通，我想請教一下：我們一沒有登天的云梯，二沒有丈量整個地球的尺子，那么我們怎樣才能得到關于天地之間的數據呢？”

商高回答說：“我們已經在實踐中總結出了一些了解天地的好方法。如當直角三角形（矩）的一條直角邊（勾）等于3，另一條直角邊（股）等于4的時候，那么它的斜邊（弦）就必定是5。這就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的時候就總結出來的一個定理。”

如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，這就比畢達哥拉斯要早五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。

我國古代數學家們不僅很早就發現并應用了勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作出理論性的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。他創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，對勾股定理進行了詳細的證明。在“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE，它是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間那個小正方形的邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便有了如下的式子：a2+b2=c2。《九章算術》中的《勾股章》，對勾股定理的表述是：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：弦2=（勾2+股2）。

我國古代數學家對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數結合”、“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。正如我國當代數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓后的重現與繼續。”

我們今天學習勾股定理，不但要學會利用它進行計算、證明和作圖，更要學習和了解它的歷史，了解其中體現出來的“形數結合”、“形數統一”的思想方法，這對我們今后的數學發展和科學創新都將具有十分重大的意義。