基于微命題和微方法的學生素養培養

戴娟

【摘要】 勾股定理是數學學科中的重要定理之一，揭示了自然界中的規律.它也是數形結合的典型運用，涉及生活中的各個領域，如軍事、工業、農業、航空、航海.所以，教師必須對其引起足夠的重視，在向學生講解勾股定理及運用的過程中，可以重點講解微命題以及微方法的應用，以此提升學生的數學素養.

【關鍵詞】 微命題;微方法;素養培養;勾股定理

數學源于實際生活，數學的發展主要依賴于生產實踐.教師從數學應用的角度處理數學、闡釋數學、呈現數學，能讓學生了解到數學是有用的，數學就在我們身邊.教師可以運用勾股定理培養學生微命題與微方法的運用，加強學生對數學課程的認知，提升學生的數學素養.

一、判斷三角形的形狀

例1? 已知△ABC，其中a=3厘米，b=4厘米，c=5厘米，在Rt△A′B′C′中，∠C′=90°，a′=3厘米，b′=4厘米，試分析△ABC的形狀，并結合教材進行作圖.

分析? 三角形的三邊長依次為3厘米、4厘米、5厘米，這樣的設計學生較為熟悉，可以提升學生的作圖能力.在學生較為熟悉的圖形中進行練習能夠促進學生的合理思考.在教師的啟發下，學生往往能夠想到△ABC為直角三角形，由此得出∠C=90°，并通常會想到兩個三角形全等，為下一步驗證做鋪墊.

二、地基挖得合格嗎

例2? 現有一人準備挖地基建房，他對地基面積進行了規劃，采用長方形的設計方式，如圖1 所示，從圖中可知，AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，判斷該設計圖是否合理.

分析? 解決這一實際問題需要用到數學中的勾股定理，要求將這一問題的解決轉化為實際問題的解答.教師可以引導學生從直角三角形的角度進行解答.

解 ∵AD2+DC2=62+82=100，AC2=92=81，

∴AD2+DC2≠AC2，∴△ADC不是直角三角形，

∴∠ADC≠90°，而標準為長方形，四個角應為直角，

故該設計圖不合理.

評注? 勾股定理的逆定理在解決實際問題中有著廣泛的應用，如用它來判定直角，在建房時，常需要在現場畫出直角，在沒有測量角的工具的情況下，工人常利用勾股定理逆定理得到直角.這個問題的解決讓學生感受到了數學的實用性，加深了他們對勾股定理逆定理的認知.

三、木棒能放進木箱嗎

例3? 現有一木箱，其長度為50厘米，寬度為30厘米，高度為40厘米.有一根木棒，其長度為70厘米，問：能將這一木棒放入這一木箱之中嗎？

分析? 木棒長70厘米，比木箱的長、寬、高均要長，從表面上看，木棒是難以直接放入木箱的，但是教師可以引導學生看到木箱是一個立體圖形，解決該問題需要學生具有一定的空間思維.

解? 木棍是能放入木箱的.如圖2，連接A1C1，AC1，在Rt△A1B1C1中，A1C21=A1B21+B1C21=502+302=3400.

在Rt△AA1C1中，AC21=AA21+A1C21=402+3400=5000.

∵5000>702，∴AC1>70，

∴70厘米長的木棒能夠放入木箱.

評注? 解決此題的關鍵在于明確AC1即為木箱所能容納的最大長度.這里充分利用了木箱各鄰邊的垂直關系，創造了連續運用勾股定理的條件，同時培養了學生的空間想象力.

這一題目的分析與解答充分利用了勾股定理，并將其運用到了空間之中.對木箱各個鄰邊的關系進行了分析后，可知木箱能夠容納的最大長度為AC1，這既體現了勾股定理的運用，又考查了學生的空間想象能力.

在勾股定理的運用過程中，教師應當幫助學生建立良好的微命題和微方法意識，發展學生的數學素養，提升學生的數學解題能力.

四、地毯鋪設所產生的費用問題

例4? 如圖3，現需要在一樓梯表面鋪設地毯，樓梯具有5米斜坡長度、3米高度，則需要準備多少長度的地毯？假設購置每平方米地毯需要30元，樓梯具有2米的寬度，則鋪設地毯需要花費多少元？

分析? 在這一題目的解答過程中，直接計算難以得出樓梯的垂直高度與水平寬度，但是通過對題干的分析，我們能夠得出BC即為樓梯的垂直高度，AC則為樓梯的水平寬度，可運用勾股定理求得AC，再計算AC+BC的長度.

解? 由題意知，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，以此能夠得出AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16，求得AC=4米.

因此能夠得到地毯的長度是AC+BC=4+3=7（米）.因此能夠得出地毯總面積是7×2=14（平方米）.

因此鋪設地毯所花費的費用是30×14=420（元）.

評注? 這個題目的情境充分體現了勾股定理在實際生活中的運用，體現了數學知識與實際生活運用之間的結合，要求學生結合題干所給條件構建一個直角三角形的模型，進而求解AC的長度.

五、折疊問題求解

折疊問題主要考查的是學生空間想象能力、邏輯推理能力及相關知識的靈活運用能力，在中考中較為常見，而通過勾股定理常能夠有效解答.

例5? 如圖4，在邊長為6的正方形ABCD中，邊CD的中點為E，將△ADE沿AE對折至△AFE，并延長EF與BC相交于點G，連接AG.（1）求證：△ABG≌△AFG;（2）求BG的長度.

分析? 本題考查了勾股定理、折疊問題、正方形的性質、全等三角形的判定與性質等，將勾股定理運用到其中能夠有效解答折疊問題.在解題過程中，可利用正方形的性質 尋找相應的直角與相等的邊.

解答? （1）∵ABCD為正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=AB.

通過折疊，能夠得到

AD=AF，∠AFE=∠D=90°.

因此可得到∠AFG=90°，AF=AB，可得∠AFG=∠B.

結合AG=AG，

即證得△ABG≌△AFG.

（2）如圖5，通過△ABG≌△AFG，

可得BG=FG.

假設BG=FG=x，可得GC=6-x.

由E為CD中點，可得CE=EF=DE=3，

因此可得EG=x+3，

則32+（6-x）2=（x+3）2，

解得x =2，

因此BG=2.

六、兩船距離問題

例6? 現有兩艘輪船分別以不同的速度沿著不同的方向行駛，其中一船向東南方向行駛，速度為16海里 時，另一船向西南方向行駛，速度為12海里 時，經過一個半小時的行駛之后，兩船之間相距多遠？

分析? 結合題干所給條件畫出示意圖如圖6，可知兩船之間具有90°夾角，經過一個半小時的行駛之后，可采用勾股定理求解兩船之間的距離.

解? 兩船行駛方向中，西南方向表示南偏西45°，東南方向表示南偏東45°，因此可知在兩船行駛過程中，OA，OB方向構成直角關系，據此計算，可知OB=12×1.5=18（海里），OA=16×1.5=24（海里），將AB兩點連接，△AOB為直角三角形，運用勾股定理能夠得出AB2=AO2+BO2=242+182=900.

因此得出AB=30（海里）.

故兩艘輪船在行駛一個半小時之后相距30海里.

評注? 解決航海問題的關鍵在于正確畫出幾何圖形，找出直角三角形，應用勾股定理來解決.

在求解兩船行駛以及兩車行駛產生的距離問題時，可以結合題意先作出圖形，找出直角三角形，然后運用勾股定理進行求解.本題是一道航海應用題，解題的關鍵是要準確找出所解直角三角形，其次要弄清題意，找出已知條件和所求對象.

七、家具能搬入房間嗎

例7? 圖7是某家具（轉角書櫥）的橫截面，請設計一個方案（已知書櫥高2米，房間高2.6米，故不從高度方面考慮方案設計），按如

圖8所給的長廊搬入房間，在圖8中把你的設計方案畫出草圖，并說明理由.（注：搬動過程中不可拆卸家具，不得損壞墻壁）

分析? 如圖9中的設計方案說理圖，作直線AB，延長DC交AB于E，由題意，在等腰直角三角形ACE中，CE=0.5，DE=DC+CE=2.過D作DH⊥AB于H，則DH=DE·? 2 []2 = 2 .

∵ 2 <1.5，∴可按圖9中的設計方案圖將家具從長廊搬入房間.

評注? 這是一道源于生活的實際問題，重點在于考查學生的綜合運用能力、解決實際問題的探究和創新能力，本題反映了生活中上的實際情況，很有創意，不但體現了用數學的眼光看世界，也體現了用數學的思維解決實際問題.

八、通過對勾股定理的總結，提升學生的核心素養

學生已經掌握了勾股定理a2+b2=c2的含義，所有的 直角三角形均能夠用此關系式表示邊的關系，無論多長的邊均可以用這一公式進行表示，字母a，b，c代表了直角三角形的各個邊長，a，b，c只是一個符號，也可以將其表示為x2+y2=z2.

對勾股定理的證明可以采用面積法，即趙爽弦圖，在代數式之間的恒等關系證明上可以采用對幾何圖形進行截、割、拼、補等方式.面積法在數學多個領域中均有重要的運用，包括射影定理的證明、直角三角形斜邊高的求解等.通過對勾股定理及其證明方法的運用，學生對勾股定理的認知有了進一步加深，具備了良好的解題能力.教師通過對勾股定理的總結，可指導學生對勾股定理進行靈活運用，在課程學習中逐步滲透數學本質，提高學生的核心素養.

九、結束語

在日常教學過程中，老師將生活中常見的現象以數學的形象呈現出來，具有很強的直觀性，學生會感覺到數學無處不在，也充分體現了“應用數學解決實際問題能力的考查”.以上幾題都是勾股定理的應用題，解題時教師要指導學生將實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素間的關系，即把實際問題抽象成數學模型（構造直角三角形），根據直角三角形中的邊角關系求解.解題時應注意：（1）分析題目，通過作圖找出或構建要解的直角三角形（或特殊四邊形，如梯形）;（2）選擇合適的邊角關系，簡化運算.

勾股定理在實際生活中有著較為廣泛的運用，在教學過程中，教師可以從微命題和微方法的角度加強學生對勾股定理的認知，促使他們在正確理解定理含義的基礎上正確解題，以此提升學生的數學核心素養.

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