根號法在不定方程（組）中的應用

劉陸石

【摘要】 費馬大定理又被稱為“費馬最后的定理”，由17世紀法國數學家皮耶·德·費馬提出.他斷言當整數n>2時，關于x，y，z的方程xn+yn=zn沒有整數解.費馬沒有寫下證明，而他的其他猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣.雖然1995年，懷爾斯證明n>2時定理成立.但證明過程冗長，據說只有幾個世界級大師才能看懂.

完美長方體又稱完美盒，指棱長、面對角線和體對角線都是整數的長方體.數學家歐拉曾猜測完美長方體可能不存在.據說數學界至今沒有人找到完美長方體，也沒有人能證明完美長方體不存在.

海倫三角形就是邊長和面積都是有理數的三角形.人們基本上能找到三條高都是整數的海倫三角形，三角形平分線都是整數的海倫三角形，但一直沒有找到三條中線皆為整數的海倫三角形.

筆者研究數載，發現上述三個問題具有共性，可以用同一種方法來論證.代數結構相同是解決這三個問題的關鍵，用這種性質解決以上三個問題，可以做到游刃有余，簡明有力.

【關鍵詞】 費馬大定理;完美長方體;海倫三角形;有理數解;代數同構

定義? 若兩個方程（組）的解集在基于方程（組）上的代數運算結構相同，則稱這兩個方程（組）為同構方程（組），這兩個方程（組）的解集為等價解集.

一、費馬大定理的證法

（一）費馬大定理證法一

（二）費馬大定理證法二

（三）費馬大定理證法三

二、不存在三中線皆為整數的海倫三角形（證法一）

三、不存在三中線皆為整數的海倫三角形（證法二）

四、不存在完美長方體（證法一）

五、不存在完美長方體（證法二）