分數階非線性混沌系統的自適應滑模同步

王春彥，邸金紅，毛北行

(鄭州航空工業管理學院 a.智能工程學院；b.數學學院，河南 鄭州 450015)

0 引言

分數階混沌系統在滑模同步方面取得的研究成果甚為豐富[1-4]。文獻[5]研究了分數階混沌不確定系統的滑模同步，設計出了巧妙的滑模面。文獻[6]基于適應有限時間反演模糊滑模方法，研究了非線性系統分數階混沌系統的同步，但考慮的不是高階系統。文獻[7]基于輸入受限滑模反饋同步，研究了分數階混沌系統的同步。文獻[8]進行了不確定分數階混沌系統的滑模穩定性分析。文獻[9]通過滑模技巧研究整數階非線性混沌系統的控制器設計。文獻[10]通過設計自適應控制規則獲得了混沌系統取得同步的充分性條件，但研究的是三維系統。文獻[11]研究了分數階飛行姿態的多向滑模控制，但研究的不是高階系統。分數階高階非線性混沌系統的同步引起了眾多學者的關注。例如，文獻[12]通過構造分數階滑模控制器研究了非線性整數階混沌不確定系統的同步。文獻[13]通過設計滑模控制器,研究分數階非線性混沌不確定系統的同步。由于高階分數階非線性混沌系統同步應用的廣泛性和挑戰性，在以上研究的基礎上，本文研究了一類分數階高維非線性混沌系統的自適應滑模同步。

1 主要結果

定義1卡普托(Caputo)分數階導數[12-13]定義為：

本文則考慮高階分數階混沌系統[13]，可以用分數階微分方程描述為：

(1)

(2)

(3)

假設1設不確定項△g(y,t)和外部擾動d(t)有界，即存在未知參數m,n>0,使得：

|△g(y,t)|

假設2e1(0)=0,e2(0)=0,…,en-1(0)=0。

根據式(3)第n個方程，Dtqen-1(t)=en(t)→0?Dt(n-1)qe1(t)→0。

對上式兩邊使用拉普拉斯(Laplace)變換，

s(n-1)qE1(s)-s(n-1)q-1e1(0)-s(n-1)q-2e2(0)-…-s(n-1)(q-1)en-1(0)→0，

其中：E1(s)=L(e1(t))，L為Laplace算子。根據Laplace終值定理有:

根據假設2?e1(t)→0，從而可得e2(t)→0,…,en-1(t)→0。

高階整數階混沌系統[13]可描述為如下方程：

(4)

(5)

(6)

假設3e1(0)=0。

2 數值仿真

數值仿真以分數階、整數階混沌系統[15-16]為例：

f(x1)=sin (ax1-bx1|x1|-(cx1)3)，α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4,q=0.873時，出現混沌吸引子，以上述系統為主系統，設計從系統為:

定義ei=yi-xi,得系統：

混沌系統以多渦卷系統為例：

f(x1)=sin (ax1-bx1|x1|-(cx1)3)，α=0.3,β=5.1,a=11,b=1.6,c=0.4，以上述系統為主系統，設計從系統為：

定義ei=yi-xi,得系統

定理2中系統誤差e1,e2,e3如圖2所示。從圖2中可以看出：3個誤差變量在初始時刻距離原點較遠，誤差變量相差較大，隨著時間的變化，3個誤差逐漸趨于一致并向原點靠近，此時混沌系統的主從系統取得混沌同步。通過定理1和定理2的比較不難發現，定理2是定理1的結論推廣和特例。分數階系統的相關結果相對于整數階系統表現出更優越的性能，主要是因為定理1設計的是分數階滑模面，因而系統誤差更容易被驅動到滑模面，收斂速率更快，需要更短的時間取得同步。這也體現出分數階微分方程建模的優越性和系統特點。

圖1 定理1系統誤差

圖2 定理2系統誤差

3 結論

研究了不確定分數階非線性高階混沌系統的自適應滑模同步，推導出一種滑模控制律、控制器及適應控制律。獲得高階不確定混沌系統自適應滑模同步的兩個充分性條件，得到的結論說明高維不確定混沌系統滿足適當的假設條件能夠獲得自適應滑膜同步，使用MATLAB軟件數值仿真檢驗了結論的正確性。設計出收斂性更強的滑模函數是下一步考慮的問題。