一類非線性高階黏彈性波方程解的爆破

劉 霞，崔佳楠

(山西大學 數學科學學院，山西 太原 030006)

0 引言

本文研究一類帶有非線性阻尼項和源項的高階黏彈性波方程解的爆破：

(1)

波方程

(2)

解的爆破已被大量學者研究,并獲得一些結論[1-5],當沒有記憶項且h(ut)=a|ut|p-2,f(u)=b|u|q-2時,文獻[1]證明了初始能量為正時方程(2)的全局非存在性定理。方程(2)在h(ut)=a|ut|p(x)-2,f(u)=b|u|q(x)-2的情況下是變指數黏彈性波方程,文獻[2]利用Faedo-Galerkin方法和壓縮映像原理證明了其弱解的存在性,從而得到了解的爆破結果。文獻[3]研究了一類變指數波方程,通過構造能量函數得出其性質,進而利用柯西(Cauchy)不等式和積分估計得出方程的解在有限時間內爆破。當h(ut)變為強阻尼Δut,f(u)=|u|p-2uln|u|時,文獻[4]利用能量擾動法得出了方程(2)解的爆破現象。文獻[5]研究了當h(ut)=ut時,方程(2)解的衰減估計和爆破。文獻[6]討論了一類具有非線性邊界條件的黏彈性波方程解的存在性、指數衰減估計和爆破。

近年來,越來越多的學者研究了高階波方程解的相關性質。例如,當方程(1)中沒有記憶項時,文獻[11]用勢阱方法證明了在q>p的情況下解在有限時間內爆破,并給出了爆破時刻的一個上界。文獻[12]改進了文獻[11]的結果,考慮了非線性耗散項為一般形式時,方程(1)解的全局存在性和能量衰減估計。當方程(1)中沒有阻尼項時,文獻[13]通過使用Faedo-Galerkin方法,證明了弱解的全局存在性,也得出了初始能量非正的情況下，解在有限時間內爆破的相關結果。文獻[14]給出了非線性記憶項的高階阻尼雙曲系統的爆破結果。受上述研究的啟發,本文考慮阻尼項和記憶項都存在時，高階波方程解的爆破。由于本文研究的方程是高階方程,這使得一些項在估計時處理起來比較困難。本文采用能量擾動法和構造Lyapunov泛函法得到了方程(1)解的爆破結果。

1 預備知識

為了研究方程(1)解的爆破,下面給出一些記號和假設。

設φ∈C1(R),ψ∈W1,2(0,T)時,記

(3)

(4)

假設

(5)

假設g∈C(R+)且滿足下面的條件：

根據文獻[15],下面引理成立。

引理1對任給的函數φ∈C1(R),ψ∈H1(0,T)，有：

(6)

對于方程(1)解的局部存在性,可以參閱文獻[13]得到,這里不再給出證明。

2 解的爆破

首先, 定義方程(1)的能量如下:

(7)

引理3若條件(h1)成立,且u(t)是方程(1)的解,則E(t)是一個非增函數,且

(8)

其中：

證明用u(t)乘以方程(1)的第1個方程式,在Ω上積分,并使用條件(h1)和引理1,可得出式(8)成立。引理3證畢。

為方便計算,令

(9)

(10)

證明由條件(h1)、式(5)、式(7)、引理2和B1的定義,可得：

(11)

反證法。假設存在t0>0,有：

又由式(11)可得：

矛盾,因此式(10)成立。引理4證畢。

證明令

(12)

(13)

通過使用式(7)和式(12),有：

0

由條件(h1)和引理4,可知：

因此,通過以上不等式,有：

(14)

構造Lyapunov函數：

(15)

其中：ε足夠小,并且

(16)

對式(15)求導并使用方程(1),有：

(17)

則式(17)變為：

(18)

由赫爾德(H?lder)不等式和Young不等式可得,對0<ε1<1，有：

(19)

將式(19)代入式(18),得：

(20)

由式(7)和式(12)可知,式(20)可化簡為：

(21)

由條件(h1)和條件(h2)可知：

(22)

(23)

又

(24)

由條件(h1)、式(10)、式(23)和式(24),有：

(25)

將式(25)代入式(21)中,從而

(26)

為估計式(26)右面的最后一項,用如下的Young不等式:

將該估計式代入式(26),有:

(27)

令

(28)

其中：M1為固定的足夠大的常數。根據式(13)和式(28),可以推出：

(29)

根據q>p和式(14),顯然有：

(30)

其中：c1為正常數。由式(16)和代數不等式

(31)

(32)

考慮到式(30)和式(32),則式(29)可化簡為：

(33)

對足夠大的M1,可找到Λ1和Λ2,所以有：

(34)

則存在Γ>0,使式(34)化簡為：

(35)

因此,

L(t)≥L(0)≥0, ?t≥0。

又q>2,再利用H?lder不等式、Young不等式和索伯列夫(Sobolev)嵌入定理，有：

(36)

所以有：

(37)

又

(38)

結合式(35)和式(38)，易知：

(39)

對式(39)的左右兩端在[0,t]上分別積分,可推得：

可見，方程(1)的解在有限時間內爆破。定理2證畢。