人工噪聲輔助可見光通信保密速率最大化研究

施 歌,李 勇,程 偉

(西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安 710129)

0 引言

可見光通信(visible light communication, VLC)結合了通信和照明技術，在過去十年中受到越來越多研究者的關注。與傳統的射頻(radio frequency, RF)技術相比，它具有實施成本低和頻譜源豐富等優勢[1-3]。盡管前景廣闊，但由于其廣播特性，VLC系統實際的部署仍然面臨安全問題的挑戰。最近，物理層安全(physical layer security, PLS)已經成為一種有前途的技術，可以保護無線通信并補充傳統應用層[4-6]上的加密技術。在射頻(radio frequency, RF)網絡中，近幾十年來，研究人員已經對RF系統中的物理層安全問題進行了深入研討[7-10]。但是，與RF系統相比，VLC系統具有一些不同的特性。例如，VLC通道調制信號是實數且為正值。由于發光二極管(light emitting diode,LED)的線性動態范圍有限，VLC系統的信號輸入受到峰值幅度約束的限制。因此，在VLC系統中，PLS的一些優化問題值得被重新審視。

多輸入單輸出(multiple input single output, MISO)和多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)是利用空間復用增益來增強VLC系統安全性能[11-15]。在室內使用多個LED陣列并且形成MISO傳輸是很自然的，因為它可以保證房間內照明充分且均勻。文獻[11]利用波束成形的方法，求解多輸入單輸出多竊聽者(multiple input single output multiple eavesdroppers, MISOME)信道的可達保密速率，并且仿真結果表明：迫零(zero-forcing, ZF)是近乎最優的安全傳輸策略。文獻[14]提出了一種預編碼方案，旨在增強最大化受峰值幅度約束的多用戶MISO VLC廣播信道的保密性能，數值結果表明：該方案優于常規的ZF預編碼。文獻[15]在采用同步光信號和功率傳輸技術的MISO VLC網絡中，考慮了保密波束成形設計，在理想信道狀態信息(channel statement information, CSI)和有界誤差CSI模型下最大化保密速率。除了使用波束成形來削弱竊聽者的接收效果外，提高物理層安全性能的另一個方法是人工噪聲[11-12](artificial noise，AN)。文獻[11]設計了一個多LED干擾器，向VLC系統中的竊聽者發射虛假干擾信號，并且不會干擾合法用戶。文獻[12]設計了一種最佳功率分配，在峰值幅度約束下增強廣義空間移鍵控VLC系統的保密性能。然而，在MISO VLC系統保密性能最壞的情況下，即多個配備有多個光敏二極管(photodiode，PD)竊聽者的情況下，保密信號和干擾信號協方差之間的最優功率分配，目前沒有文獻研究。

本文探討在配備多PD竊聽者的MISOME VLC信道中，人工噪聲輔助保密速率最大化(secrecy rate maximization, SRM)問題。在該問題中，考慮對保密信息協方差和AN協方差進行聯合功率優化。該問題的主要困難在于AN協方差使得目標函數不凸且難以優化。為了解決這個問題，通過推導得出了SRM問題的等效問題，轉換后的等效問題變成了凸問題且更容易解決。SRM問題被重塑為基于單變量半正定規劃(semidefinite programming, SDP)問題，并且可以使用凸優化工具箱(convex optimization toolbox, CVX)輕松求解。在SRM問題中，假定保密信息和AN都具有通用的發射協方差，即沒有將發送策略固定為波束成形或將AN限制在合法信道的零空間中。在推導等效SRM問題時，本文證明了發送波束成形是機密信息傳輸的最佳策略。該結果對于在VLC場景中使用波束成形提供了有意義的理論依據。

1 系統建模

本文設計一個室內VLC系統，該系統具有M個LED陣列和一個配備有單個PD的合法用戶。合法用戶的信道會被K個竊聽者偷聽，并且每個竊聽者都配備有Lk個 PD。所有的LED陣列都連接到一個中央控制單元(central control unit,CCU)，以便收集有關合法用戶和竊聽者的位置和通道增益信息，并且CSI可以通過RF或其他介質作為上行鏈路傳輸提供給CCU。在文獻[16-18]中，此假設已被廣泛用作合理模型。在CCU中，中央處理器會設計發射協方差矩陣并分配給LED陣列。s∈M作為LED陣列發送的信號矢量，合法用戶和第k個竊聽者接收到的信號分別表示為：

(1)

其中：k∈κ?{1,2,…,K}；h={h1,hm, …,hM}T∈M，為從LED陣列到合法接收者的信道增益響應矢量；Gk={g1,glk, …,gLk}∈M×Lk是從LED陣列到第k個竊聽者的通道增益響應矩陣；噪聲nb和ne,k是獨立的均勻分布的圓對稱高斯噪聲，其方差為N(0,δb2)和N(0,δe,k2I)。由于直射信道(line of sight, LoS)分量的信號強度遠高于非直射信道分量[18]，因此本文僅考慮LoS的分量。從第m個LED陣列到合法用戶的直射信道增益[19]可以表示為：

(2)

其中：β為朗伯照射次序；Ar為接收者PD的接收面積，m2；dm為從第m個LED陣列到合法用戶的距離，m；φm為第m個LED陣列的發射角，(°)；φm為合法用戶接收器PD的入射角，(°)；gof為光學濾波器的增益；f(φm)為光學聚光器的增益[14]。從LED陣列到竊聽者的信道建模類似于式(2)，主要取決于系統參數和它們的相對位置。本文采用了一種基于AN的方案，以降低竊聽者的接收效率。發送信號是保密信息和AN的和，即s=x+z。假定保密信號矢量x遵循高斯分布x～N(0,W)，其中，W是保密信息的協方差矩陣。對于AN，本文假設z～N(0,Σ)，其中，Σ為AN協方差矩陣。保密信號向量和AN信號向量都是統計獨立的隨機變量。在本文中，為實現最大保密速率，需要設計保密信息協方差和AN協方差。給定(W,Σ)，可達保密速率表示為[8]：

(3)

其中：Rb(W,Σ)為合法用戶的可達速率；Re,k(W,Σ)為第k個竊聽者的可達速率。該系統的安全性能是通過選取所有K個竊聽鏈接中的最小保密速率獲得的。合法用戶和竊聽者的可達速率的公式如下：

(4)

可達保密速率Rs能實現完美保密，即合法用戶能以Rs的速率正確地解碼機密信息，而竊聽者不能解碼任何信息。根據VLC的光學特性，本文考慮峰值幅度受約束的信號輸入，以確保人眼安全和光學設備的正確使用。發射信號s的峰值幅度限制條件如下所示[20]：

‖s‖∞≤A,

(5)

其中：‖·‖∞為向量的無窮范數；A為光信號的振幅允許最大數值，A≥0。在文獻[21]中，上述約束被松弛為E(|sisj|) ≤A2, 1≤i,j≤M。通過該方法，可將協方差矩陣的功率峰值幅度約束寫為：

‖W+Σ‖max≤A2,

(6)

其中：‖·‖max為最大范數，限制矩陣中元素的最大絕對值。為了在總功率約束和功率峰值幅度約束下獲得輸入協方差矩陣的最優設計，本文提出了一個求最大保密速率的問題，如下所示：

maxRss.t. Tr(W+Σ) ≤Pt, ‖W+Σ‖max≤A2,W≥0,Σ≥0,

(7)

其中：Pt≥0是LED陣列的總功率預算。在這個問題中，除了目標函數以外，所有的約束條件都是凸的。因此，需要采用一種方法來解決該目標函數的非凸問題。

2 基于SDP的問題解決方法

本文提出了一種基于半正定規劃的優化方法，以數值的方式解決SRM問題。首先，使用松弛變量β重寫問題：

(8)

其中：logβ可以解釋為竊聽鏈路的可達速率。此步驟為等效變換，可以通過調整β的值找出最佳解決方案。在此問題中，具有挑戰性的部分位于式(8)的非凸目標函數和第1個非凸約束條件中。為了克服這個困難，本文將首先通過使用夏恩-庫珀變換來重寫分數形式的目標函數，然后利用一個不等式來簡化式(8)的第1個非凸約束條件。首先，做出以下定義：

(9)

問題(8)重寫如下：

(10)

直觀上來說，該想法是約束分母為一個與β相關的定值，讓分子成為目標函數。將ξ>0替換為ξ≥0不會失去最優性，可以通過對問題(10)的任何可行解都不能為零的矛盾進行驗證。但是，由于式(10)中的第2個約束條件非凸，該問題仍然沒有變成凸問題。因此，需要介紹文獻[8]中的一個引理，如下所示：

(11)

已知問題(19)是凸的(因為目標函數是仿射的，并且約束條件是仿射且正半定的)，因此斯萊特(Slater)條件成立，KKT條件足以實現最優性[22]。下式求出了該問題的拉格朗日(Lagrange)公式：

(12)

其中：νij,φ≥0是功率峰值幅度約束和總功率約束的拉格朗日乘數。M1,M2≥0是兩個半正定協方差矩陣的拉格朗日乘數。Qk≥0,φ≥0分別是式(10)中第2行針對第k個竊聽者的信干比約束和第1行等式約束的拉格朗日乘子。根據一階條件得到：

(13)

(14)

對于等式的右側，除了V外，其他項為半正定。即使矩陣V內所有元素大于零(vij≥0)，也不能確定它是半正定。因此，為了繼續推導，本文提出了一個簡單的引理，如下所示：

(15)

(16)

根據數學統計的知識，兩個隨機變量a和b之間的相關性[24]表示為：

(17)

這意味著協方差的絕對值小于或等于兩個變量中的最大的方差值。因此，假設Var(a)≥Var(b)，有：

(18)

由此可知，兩個隨機變量中，至少一個變量的方差大于其協方差。協方差矩陣是由在對角線上的方差和協方差組成，這意味著可以始終在協方差矩陣的對角線位置上找到具有最大值的元素。因此，如果需要矩陣所有元素小于A2，那么只要對角線上元素小于A2即可，即引理2成立。通過使用引理1，最終將原始問題轉換為凸問題，如下所示：

(19)

其中：β值表示為

1≤β≤1+min (Pt,MA2)‖h‖2,

(20)

其中：右側的不等式基于瑞利商。目標函數對于某個β變為一個凸函數，而原問題變成一個基于β的半正定規劃問題，并且可以通過CVX工具箱進行求解。通過在β取值范圍上執行一維線性搜索，可以獲得使目標函數最大的β*值，從而求出最大保密速率R*，使用如下公式：

(21)

對于一個特定的β值，問題(19)的復雜度取決于內點法的復雜度，而內點法的復雜度取決于變量和線性約束的數量。因此，在最壞的情況下求解一個SDP問題的復雜度是Ο(((2+K+M)4)0.5)，其中，2+K+M是式(19)中的約束條件個數。

3 仿真結果

使用仿真結果來分析所提出的AN輔助方法在室內VLC系統中的安全性能。LED陣列均勻朝下懸掛在天花板上，合法用戶和竊聽者面朝上放置在同一高度。合法用戶和竊聽者的位置均在房間內隨機生成。仿真參數見表1。

表1 仿真參數

在仿真中，本文將所提出的最優AN輔助方法分別與基于各向同性AN輔助方法和無AN輔助方法進行了比較。在基于各向同性AN輔助方法中，AN協方差的結構由下式給出[7]：

(22)

圖1 保密速率與總功率的關系

圖1為保密速率與總功率的關系。圖1在繪制了兩種情況下相對于總功率的保密速率，即一個竊聽者(K=1)和多個竊聽者(K=3)。在單竊聽者情況下，AN輔助方法的性能與無AN輔助方法相同，這表明在只有一個竊聽者的情況下，使用人工噪聲對該系統的保密速率沒有明顯幫助。但是，對于多個竊聽者(K=3)的情況，所提出的AN輔助方法的保密速率明顯優于其他方案，并且隨著總功率的增加，它們的性能差距會逐漸增大。圖2為保密速率與竊聽者數量的關系。由圖2可知：隨著竊聽者數量的增加，所提出最優AN輔助方法和基于各向同性AN輔助方法的性能同時下降，這是因為更多的功率需要用于干擾竊聽者的傳輸。無AN輔助方法的性能急劇下降，因為在沒有任何人工噪聲干擾的情況下，具有良好信道狀態的竊聽者可輕松竊聽機密信息。此外，本文提出的AN輔助方法比其他方法具有更好的性能，并且隨著竊聽者數量的增加，性能首先趨于平穩。圖3為保密速率與LED陣列數量的關系。由圖3可知：安全性能隨LED陣列數量的增加而增加，這是因為合法用戶獲得了更多的陣列增益以提高其自身的安全性能。當LED陣列數量增加，無AN輔助方法的保密速率提高并接近AN輔助方法的保密速率。這意味著如果有足夠大的自由度(degree of freedom, DoF)，系統僅需要使用很少或不需要AN來改善安全性能。

圖2 保密速率與竊聽者數量的關系

4 結論

本文針對保密速率最大化問題，在配備有多個光敏二極管的多竊聽者的MISO-VLC系統中，設計了一種基于人工噪聲的最優傳輸方法。為了求解保密信息協方差和噪聲協方差的最佳功率分配方案，本文提出了一種將原始SRM問題轉換為凸問題的方法，并使用一維搜索對該凸問題進行求解。通過推導該問題的KKT條件，證明了波束成形是保護保密信息的最佳方法。此外，某些參數會對安全性能產生巨大影響，例如，LED陣列的數量和總功率，而其他參數則以較小的方式影響安全性能。最后，有兩種情況可能不需要AN來增強傳輸保密性，即只存在一個竊聽者的VLC系統，或是該系統具有較多的LED陣列數量，且遠超過竊聽者的自由度。