依據課標，回歸知識本質　立足育人，引領數學教學

趙桂芳 莊宇

一、指導思想

2020 年遼寧省初中學業水平考試數學試題以《中共中央國務院關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》和《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》為指導，遵循《遼寧省教育廳關于進一步推進高中階段學校考試招生制度改革的實施意見》的具體要求，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，從有利于培養德、智、體、美、勞全面發展的社會主義建設者和接班人，有利于維護教育公平，有利于中考、高考改革的銜接出發，以引領遼寧省初中數學教學方式和學生學習方式為導向，為培養適應遼寧經濟社會發展的各類人才提供有力保障。

二、命題依據與思路

命題依據：“課程標準”是國家課程的基本綱領性文件，是國家對基礎教育課程的基本規范和質量要求，是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據。遼寧省初中學業水平考試數學試題以《義務教育數學課程標準（2011版）》為唯一依據，既不人為拔高標準，也不任意降低要求。

命題思路：緊扣“課程標準”要求的知識與技能、過程與方法和情感態度價值觀，全面考查“課程標準”要求的初中生應具備的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，加強新時代下對學生數學核心素養和學習能力的考查，著眼于培養“全面發展的人”。試題要考查學生能否結合具體情境發現問題并提出數學問題、能否從不同角度分析問題并選擇恰當的方法解決問題、能否用適當的方式來表達所解決的問題;試題素材要符合學生認知水平和生活經驗，體現公平性和適切性;試題設計要考慮到整張試卷閱讀量的適宜性，要注意語言、圖形、文字的準確性和規范性;試題要有利于學生思考與探索、理解與體驗，盡可能讓不同層次的學生個性地展示自己的學業水平;試題要蘊含方程、函數、建模、轉化、分類討論、數形結合等多種思想方法，考查學生對基礎知識和基本技能的理解與掌握情況;試題要考慮學業水平考試的“兩考合一”性質，兼顧結業與選拔，要有較好的效度、信度和區分度;試題力爭做到：立意高遠、導向正確、科學規范、師生滿意、專業引領。

三、試卷結構

試卷分為選擇題、填空題和解答題三種類型。選擇題為四選一的單項選擇題;填空題要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或者推理過程;解答題包括計算題、作圖題、證明題、應用題等，解答題應寫出文字說明、演算步驟、推證過程或按題目要求正確作圖。

試卷共25道試題，滿分150分，其中選擇題10道題，滿分為30分;填空題6道題，滿分為18分;解答題9道題，滿分為102分。“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”三個領域內容的總體分值比約為 4∶4∶2，“綜合與實踐”的考查融合在以上三部分內容中，所占的分值不超過試卷滿分的10%。試題按難易程度分為低、中、高三檔， 三檔試題的分值比例約為7∶2∶1。試題知識結構比例如表1所示。

四、試卷亮點及典型題分析

（一）依據課程標準，確保雙基落實

學業水平考試不僅要考查學生對初中數學基礎知識的掌握情況，也要考查學生以這些知識為載體，在綜合運用這些知識的過程中所反映出來的基本的數學能力。本套試卷全面覆蓋初中數學“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”的主要內容（“課程標準”中的一、二級目標100% 覆蓋，三級目標94% 覆蓋），對學生的抽象思維、空間觀念、統計觀念、合情推理與演繹推理等數學目標的達成進行了考查。題目避免了繁、難、 偏、怪，體現了九年義務教育階段數學課程的基礎性與普及性。如選擇題的第 1～9 小題，填空題的第 11～14 小題，解答題的第17，18，19，20（1），21，22（1），23（1），24（1），25（1）題都屬于考查數學基礎知識的題型。起點較低，考查的知識相對單一，內容大都來源于教材，將教材中的例題、習題通過簡單地類比、加工改造而得出，學生很容易上手并能正確解答。加強了知識的有效整合，增加了試卷的概括性和綜合性。

（二）尊重學生差異，展示學業水平

本套試卷既面向全體學生，讓每個學生都有成功的體驗，又有較好的區分度，為學有余力的學生留有展示自我的空間。試題設置從最基本的知識開始，由淺入深，由易到難，符合學生的解題習慣和思維特點。綜合題各小題的難度呈緩慢上升的變化趨勢，入口淺、重邏輯、思維深，且每個小題都有三種或三種以上的解答方法，合理區分了不同層次的考生，具有較高的信度、效度和必要的區分度。

第21題，如圖，某數學活動小組要測量建筑物AB的高度，他們借助測角儀和皮尺進行了實地測量，測量結果如下表。

請根據需要，從上面表格中選擇3個測量數據，并利用你選擇的數據計算出建筑物AB的高度。（結果精確到0.1米。參考數據：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（選擇一種方法解答即可）

分析：本題是以學生所熟悉的生活情境為背景，從綜合與實踐的角度出發設計的方案設計類原創試題，呈現了用不同的測量方案解決實際問題的方式。亮點是學生可以自主選擇方案，具有較大的思考空間和創造性，讓不同層次的學生都有“用武”之地，較好地避免了學生因機械記憶而產生的測量誤差，實現了要求學生經歷能用數學思維分析現實情境，利用數學知識解決問題的過程，考查學生運用“問題情境—數學模型—解釋應用”的問題解決模式解決問題的能力。根據解答的結果，能較好地推斷學生解決同類測量問題的能力和水平，可以提高試題的信度，而且通過數學問題的生活化，可以彰顯數學的價值。

（三）立足學科素養，促進全面發展

本套試卷通過數字信息作出解釋和推斷，考查數據分析觀念（第7，8，19題）;通過經歷圖形變換過程，考查空間觀念（第10，16，24題）;通過理解算理、運用運算法則進行準確計算，考查數學運算素養（第3，4，17題）;通過設置經過合理推斷或猜測類的問題，考查直觀想象和邏輯推理素養（第15，16，22，24，25題）;通過設計綜合與實踐類問題，考查數學抽象和數學建模素養（第8，21，23題）;在問題解決中重視對學習過程和形成的經驗的考查，對初中數學的日常教學起到了積極的導向作用。

第15題，如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A=45°，分別以點A和點B為圓心，大于[12] AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，直線MN交AD于點E，連接CE，則CE的長為 。

分析：本題作為原創試題，將基本尺規作圖融于以菱形為背景的圖形性質與判定的推理與計算之中。綜合考查學生對菱形的性質、線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、二次根式化簡等主干知識的掌握情況。尺規作圖，不僅要求學生能依據作法準確作出圖形，還要求學生利用已掌握的數學原理解釋尺規作圖的作圖原理。這一過程中體現了學生的不同思維水平，使得本題具有較好的效度。

第16題，如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點E和點F分別為AD，CD上的點，將△DEF沿EF翻折，使點D落在BC上的點M處，過點E作EH[?]AB交BC于點H，過點F作FG[?]BC交AB于點G. 若四邊形ABHE與四邊形BCFG的面積相等，則CF的長為 。

分析：本題作為原創試題，涉及矩形的性質、軸對稱的性質、輔助線的構造方法、三角形相似的判定與性質、勾股定理、一元二次方程的解法等相關知識，能較好地考查學生通過觀察、分析、聯想、遷移解決問題的能力，發展學生的空間觀念和應用意識，提升學生的空間想象、幾何直觀、運算能力、推理能力及綜合運用所學知識解決問題的能力。本題關注學生的個性化思維，有多種思維策略和解題方法（至少有4種解法），為通過多種途徑正確解答本題提供了較好的基礎。這樣做較好地解決了不同解法的等價性，提高了試題的信度。

（四）重視思維過程，凸顯思想方法

數學是思維的體操，數學思維是學生數學素養的重要體現。本套試卷以考查數學思維為核心，注重知識整體性與知識之間內在聯系的考查，突出對數學知識形成與發展過程及靈活運用的考查，體現思維深度。數學思想方法是數學的靈魂，是數學的本質，也是學生數學能力高低的主要體現。本套試卷的第 4，10，14，20，25 題考查了數形結合思想;第 15，16，21 題考查了化歸思想;第 6，7，19題考查了概率統計思想;第 8，16，22，23，24題考查了函數和方程思想;第10，14，20，24，25 題考查了數學建模思想、分類討論思想和化歸思想。

第10題，如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是射線AB上的動點（點E不與點A、點B重合），點F在線段DA的延長線上，且AF=AE，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°得到EG，連接EF，FB，BG。設AE=x，四邊形EFBG的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x的函數關系的是（）

分析：本題是借助點在射線上移動與不定線段旋轉的復合運動類原創試題。正確解答需要深刻了解點E在不同路段的運動過程中相應的函數關系，在一定程度上能有效考查學生確定運動變化過程中的函數關系的能力。本題將代數與幾何自然地結合在一起，考查了空間想象能力、邏輯推理能力與計算能力，體現了數形結合思想，而面積的表示和圖象的畫法體現了數學建模思想、分類討論思想和化歸思想。因為答案的迷惑性，使得本題具有很好的區分度，有益于難度分布的均衡性，具有較好的效度和可推廣性。

（五）強調數學應用，回歸知識本質

本套試卷以核心概念為抓手，以培養數學能力為目標，強調了數學與生活的聯系，讓學生的學習回歸知識本質。第6，7，8，18，19，21，23題都取材于生活，提供了“問題情境—建立模型—求解—遷移與應用”的學習過程，讓學生通過自己的主動探究與思考，體驗數學與生活的密切聯系，獲得一些研究問題的方法和經驗，發展思維能力和創新意識，體現了“用數學”的基本理念。

第19題，某服裝廠生產A品牌服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發A品牌服裝[x]件時，批發單價為[y]元，[y]與[x]之間滿足如圖所示的函數關系，其中批發件數[x]為10的正整數倍。

（1）當100≤[x]≤300時，[y]與[x]的函數關系式為;

（2）某零售商到此服裝廠一次性批發A品牌服裝200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服裝廠一次性批發A品牌服裝[x]（100≤[x]≤400）件，服裝廠的利潤為[w]元，問：[x]為何值時，[w]最大？最大值是多少？

分析：此題是一道以實際生活為背景函數綜合應用問題，以教材的例題、習題為基礎，將兩個不同的函數呈現在同一實際問題中，要通過用函數表示出問題中的等量關系，再借助函數的性質來獲得對實際問題的解決。正確解答本題需要通過“問題情境—建立模型—轉化為數學問題—解決數學問題—解決現實問題”的過程，可以培養學生的讀圖能力以及把生活中的實際問題轉化為數學問題來解決的能力，讓學生體會學習數學的實際價值，較好地體現了對函數應用的考查。本題各問的設置由淺入深、緊密相連，有利于學生正常水平的發揮，能有效區分不同學生的認識水平，考試結果具有較好的效度、信度和可推廣性。第（3）問需要分情況討論（分段函數）并對結果進行比較判斷，使得本題具有較好的區分度。

第7題，在市運會射擊比賽選拔賽中，某校射擊隊甲、乙、丙、丁四名隊員的10次射擊成績如圖所示，他們的平均成績均是9.0環。若選一名射擊成績穩定的隊員參加比賽，最合適的人選是（）

A.甲 B.乙

C.丙 D.丁

分析：本題是以實際背景為依托的統計問題，考查對統計量的正確理解，根據離散圖中情境的內在聯系挖掘隱含的信息、作出預測推斷的能力。使學生加深理解統計量在分析數據分布情況中的作用與意義，形成用數學的意識。本題設計的主旨不是套用方差公式進行機械地計算，而是考查學生通過數形結合的思想體會刻畫數據離散程度的意義。統計觀念較弱的學生也可能會將數據直接代入方差公式進行計算，這樣雖然計算量不大，但相對而言會耽誤一些時間，一定程度上使得本題具有較好的區分度。

（六）增強考查效度，提升試卷質量

本套試卷力求運用有限的題目更多地覆蓋初中階段的核心知識和思想方法，增強試題的考查效度。

第24題，如圖，四邊形ABCD是正方形，點F是射線AD上的動點，連接CF，以CF為對角線作正方形CGFE（C，G，F，E按逆時針排列），連接BE，DG。

（1）當點F在線段AD上時，

① 求證：BE=DG;

② 求證：CD-FD=[2]BE;

（2）設正方形ABCD的面積為[S1]，正方形CGFE的面積為[S2]，以C，G，D，F為頂點的四邊形面積為[S3]，當[S2S1=1325]時，請直接寫出[S3S1]的值。

分析：本題是以點的運動為前提，以正方形為依托的“旋轉+放縮”類原創試題，考生通過觀察、操作、猜測、歸納、類比、合理推斷等數學活動，探索動態變化過程中存在的恒等量關系，再用演繹推理證明結論成立，然后借助已有經驗創造性地解決新的問題。

本題通過設置兩個不同要求層級的小題，實現難度的梯次分布：第一問學生很好上手，為相當一部分學生順利尋找解題入口提供了一般性思路，也為解答第二問提供了一定的支持;第二問中，三條線段之間的數量關系是確定的，但這種確定性需要考生深入探究后才能獲得。本問解法多樣，可以考查考生的思維層次，有利于保證整張試卷的信度;第三問是第二問結論的延伸和拓展，需要學生主動對前面解決問題的過程進行反思和提升。

第25題，如圖1，直線y=x-4與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線[y=-12x2+bx+c]經過點B和點C（0，4），△ABO從點A開始沿射線AB方向以每秒[2]個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點A，B，O的對應點分別為點D，E，F），平移時間為t（0

（1）求拋物線的解析式;（2）當tan∠EMF=[43]時，請直接寫出t的值;（3）如圖2，點N在拋物線上，點N的橫坐標是點M的橫坐標的[12]，連接OM，NF，OM與NF相交于點P，當NP=FP時，求t的值。

分析：本題是以平面直角坐標系為背景的代數與幾何綜合應用類原創試題，是由三角形的平移引發點、線、角的變化，借助函數知識來研究圖形運動變化過程中的數量關系的問題。第（1）問是基礎題，考生能輕松解決;第（2）問難度不大，但個別考生會因為考慮不周而丟解，從而增加本題的區分度;第（3）問有一定的難度，尋找等量關系列方程求解是考生能想到的思路，但上手較慢，屬于拉分題。

本套試卷僅僅通過第24，25兩道壓軸題就覆蓋了“課程標準”要求的初中學生應該掌握的“正方形的性質、三角形全等的性質與判定、勾股定理、三角形相似的性質、平面直角坐標系、用點的坐標表示線段長、等腰三角形的性質與判定、線段中點的性質、三角函數、一次函數圖象與性質、二次函數圖象與性質、一元二次方程的解法”等核心知識。整個解題過程涉及知識的綜合運用和空間想象、數形結合、數學建模、類比化歸、分類討論等數學思想方法，考查學生從特殊到一般、從直觀到抽象、從感性到理性的思維過程。這樣設計，既可考查學生解決問題的策略，也可考查學生遷移知識、解決問題的整體能力，從而在整體上確保了試題具有較好的效度。

（七）關注育人功能，體現導學導教

本套試卷通過選取合適的素材，將社會主義核心價值觀自然融入到試題中，發揮試題的育人功能。如第8題，以《九章算術》中的一道有趣的“水深葭長”問題為背景，引領學生關注數學文化，增強建模意識（方程模型），體會數學的應用價值。第11題，以“全國保護修復濕地”為背景，考查了科學記數法，讓學生在解決問題的同時增強環保意識。第21題，以“數學活動小組要測量某建筑物的高度”為情境，讓學生自己選擇方案并做出解答，考查學生表達解決問題的能力，增強應用意識和創新意識。

另外，本套試卷超過90%的試題是原創題，保證測量公平性的同時，減少了因機械訓練、押題、猜題等對考試產生的負面影響，形成了積極的教學導向。

五、教育教學建議

每一次考試，對學生來說都是階段學習效果的檢測，對教師來說都是階段教學效果的評估。2020年遼寧省初中學業水平考試的相關數據統計結果，讓我們發現了新的問題，看到了日常教學中存在的不足，為了讓日后的課堂教學更有針對性和實效性，特提出如下建議：

（一）落實學科育人，提升學科素養

學生對知識的掌握、經驗的積累、乃至解題能力的提高，都必須建立在學生的身體力行之上，要讓學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方法的探索過程、問題結論的深化過程、方法能力的遷移過程。注重培養學生收集處理信息的能力、語言文字的表達能力，讓學生在參與數學思維活動、經歷知識產生發展過程中逐步提高創新意識和實踐能力。引導學生用數學的眼光分析生產、生活及其他學科中的一些具體問題，培養數學應用意識和建模能力。引導學生在問題解決中，體會數學與人類社會的密切關系，培育并發展學生用數學知識和數學方法處理解決生活中實際問題的能力。

（二）強化課堂陣地，加強學法指導

在平時教學中，不能脫離“課標”、教材而大搞“題海戰術”，應重視新舊知識之間的連接點和由舊知到新知的生長點，跨越學科界限、章節界限、甚至是學段界限，強化整體設計，讓學生經歷數學知識的發生、發展過程，感悟蘊涵其中的數學思想方法，并構建起初中數學學科的基礎知識網絡。在復習教學階段，教師不能隨意擴大知識范圍，任意提高復習題的難度，要毫不吝嗇地剔除某些復習資料中的偏題、難題和怪題，抓住基礎，讓學生掌握其精髓。要注意給學生更多的空間與自由支配的時間，積極指導學生制定自己的學習計劃，鼓勵學生自主探索和合作交流，促使學生形成有效的學習策略，幫助學生認識自我，樹立信心，使全體學生在情感態度、價值觀等方面得到健康的發展。

（三）重視思想方法，回歸數學本質

數學思想方法是數學學科的重要特點，是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的橋梁，是培養學生良好數學觀念和創新思維的重要載體。在教學中可引導學生學會閱讀、審題、獲取信息、解決問題，將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用。應重視將數學思想方法滲透入教學的全過程中，并通過不斷積累經驗，形成解決問題的意識和能力。要善于將學生從思維定勢中解脫出來，使其養成多角度、多元化分析問題的習慣，培養其思維的廣闊性、縝密性和創新性。對例題、習題的學習，不能就題論題，要以題論法，充分挖掘其中所蘊含的數學思想方法。

（四）立足教材本身，開展綜合實踐

“綜合與實踐”是以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動，其教學目標是幫助學生積累數學活動經驗，培養應用意識和創新意識。可以說，“綜合與實踐”所涉及的內容是寬泛的，如北師大版《義務教育教科書·數學》中的“制作視力表”“設計遮陽棚”等，人教版《義務教育教科書·數學》中的“體質健康測試中的數據分析”“制作立體模型”等。基于該領域內容本身具有的探索性、實踐性和應用性，建議教師要多研究課程標準，選擇合適的課題開展“綜合與實踐”活動，注意活動內容的適切性和活動形式的多樣性。讓學生在設計方案、合作探究、交流分享、反思改進、撰寫報告的過程中，提高觀察能力、動手能力、思維能力、質疑能力、表達能力和寫作能力。

（五）關注數學閱讀，助力思維深化

數學閱讀是從書面數學語言中獲得意義的心理過程和智力過程，初中階段是學生數學閱讀能力發展的關鍵時期，因此應當引起我們的高度重視。在數學課堂教學中，可以創設適當的問題情境來激發和保持學生的數學閱讀興趣;可以發揮教材的示范作用，選擇課題學習類題材做閱讀示范，培養學生數學閱讀的習慣;可以加強數學語言轉換的訓練，讓學生會運用自然語言來解釋較抽象的數學內容，幫助學生更好地理解和內化，等等。

（六）營造教研氛圍，帶動深度學習

有效教研是引領教師成長、帶動學校發展、助力學生成才的重要手段之一。建議利用網絡環境的跨時空特點，進行線上線下融合教研，打造學習型、研究型的教研隊伍，形成專業化系統化的教研體系。建議開展主題式教研，讓碎片的知識系統化、邏輯化，讓爭議的問題明朗化、清晰化，讓基于經驗的教學變成理性的思考、深入的鉆研、高端的設計、精彩的生成。通過務實、接地氣的教研活動，引領廣大教師更新教育理念、扎實業務功底、提升教學水平、厚植教育情懷。只有教師沉下心來深度思考，才能帶動學生的自主探究和深度學習。

（責任編輯：楊強）