把握數學核心概念　促進學生深度學習

畢曉光 吳雁

一堂有價值的數學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。既要有豐厚的知識和純熟的技能，更應該有數學方法的領悟、數學思想的啟迪和精神的熏陶。北師版《義務教育教科書·數學》六年級下冊“比例尺”一課是學生在對比的意義已有了一定的建構基礎，掌握了比的基本性質，具有了一定的生活經驗之上進行探索和學習的。這部分內容有較強的實際應用價值，它可為學生架起一道數學學習和現實生活之間的橋梁，使他們充分感受到數學的現實意義，從而進一步激發學習興趣，并為后續學習打下良好的基礎。

根據教材的編排意圖和六年級學生的認知基礎，我們確定了本節課的教學目標：讓學生在實踐活動中體驗生活中需要比例尺。通過觀察、操作與交流，體會比例尺的實際意義，了解比例尺的含義。結合具體情境，認識比例尺;能根據圖上距離、實際距離、比例尺中的兩個量求第三個量。運用比例尺的有關知識，通過測量、繪圖、估算、計算等活動，學會解決生活中的一些實際問題，進一步體會數學與日常生活的密切聯系。

一、以測試導入新課，激發深度學習的動力

這節課要研究的新知識需要學生有一定的動手能力。我們用了一個動手操作的小測試來引入本課，目的有三：一是以輕松的形式和學生進行溝通，有助于后面師生的交流與配合。二是學生的學習內容應當是現實的、有趣的、富有挑戰的，按要求畫線這個小活動就是現實的，是有趣的，而且用了測試這樣的環節來渲染，它便富有了挑戰性。這樣才會使他們感到一種樂趣，體驗到一種成就感，激勵他們進行更深入地學習與研究。三是由于測試的難度較低，所以學生在這一開始的環節中便能輕松獲得成功的喜悅，增強了完成本節課的信心，尤其是一些潛能生。這樣，以測試導入新課，能激發學生深度學習的動力。

師：請大家準備好本、尺子和筆，接受第一項測試，請在筆記本上畫一條長3厘米的線段。（課件出示3厘米，學生畫圖）

師：請接受第二項測試，請畫一條長1分米的線段。（課件出示1分米，學生畫圖）

師：看來這兩項測試都難不住大家，請看第三項測試，請畫一條長4米的線段。（板書，4米，學生中傳來質疑聲）

生：老師，畫不了。筆記本不夠大，畫不下。

師：誰有辦法能解決這個問題呢？

生：可以把它縮小之后畫出來。

生：可以按照比例畫下來。

師：你打算用多長來表示4米呢？

生：用4厘米。

師：他這樣做可以嗎？

生：可以。

師：是的，如果同學們學習了前一課，就更能夠體會這樣做是可以的了。你真會想辦法，在現實生活中，如果遇到要表示的距離過長或過大時，可以先將它縮小后再畫出來，這種方法非常有效，這也是我們做事時的一種解決策略，用“甄嬛體”說，那就是“極好的”。用4厘米來表示4米（板書，4厘米），那么，你能用比表示他們之間的關系嗎？（板書，比）

生：4厘米是4米的一百分之一，4米是4厘米的100倍。

師：你表達得真完整，他們的比是多少呢？

生：把4米換成400厘米，4比400就是1比100，它們的比是1比100。

師：你解釋得非常有條理，很清楚。（板書，1：100）

師：在數學上，我們把4厘米這樣畫在紙上的長度稱為圖上距離（板貼，圖上距離），那么4米稱為什么呢？

生：實際距離。

師：是的，4米表示實際的長度，稱為實際距離。（板貼，實際距離）

師：那么1：100表示什么意思呢？請同學們在小組里討論一下，說一說。

生：1：100表示圖上距離是實際距離的一百分之一，實際距離是圖上距離的一百倍。

生：1：100表示圖上距離如果是1厘米，實際距離就是100厘米。

生：表示圖上距離乘100就得到實際距離，實際距離除以100就得到圖上距離。

師：同學們說得都對。那么除了可以用4厘米來表示4米，還可以用多長來表示呢？

生：還可以用4毫米。

師：可以嗎？（板書，4毫米）

生：可以。

師：那么此時4毫米就稱為圖上距離，實際距離還是4米，它們的比是多少呢？

生：把4米換算成4000毫米，4比4000就等于1比1000，它們的比是1∶1000。

師：那么1∶1000表示什么意思？（板書，1∶1000）

生：表示圖上距離是實際距離的一千分之一，實際距離是圖上距離的1000倍。

生：如果圖上距離乘1000就得到實際距離，如果實際距離除以1000就得到圖上距離。

師：說得真好。這就是我們這節課要研究的內容——比例尺。（板書，比例尺）

在以上教學片段中，前兩項測試，我們選擇了不同的方法讓學生互檢互查，先是組長檢查，小組長一般在班級的成績、表達與活躍程度上都是更勝一籌的，他們的正確率更高，思考問題更全面、更嚴謹，通過他們的檢查，能夠有效指出并幫助一些潛能生改正錯誤，并使其表達完整。在這種條件下再進行第二輪近似的測試，相信有了經驗之后，錯誤率會大大下降。再讓同桌互檢，讓每一個學生都有檢驗別人答案的機會，充分地鍛煉了他們的判斷能力，并讓其感受到自己是學習的主人，體會到主動的優越感。這些細節對于那些平時不愛表達、畏懼表達的學生很有作用，這樣的細節能夠讓他們感受到作為檢查者的優越感，會改變他們今后對待學習、處理問題的態度與做法，這要比上好一節課重要得多，有意義得多。

“將4米長的線段畫在本上”這一要求的提出必定會引起學生的質疑，這也是我們設計的目的所在。有了質疑，才有興趣思考;進行了自主思考，才是有效的教學。按照教材的安排，本課學習比例尺之前，學生已經學習過了正、反比例、圖形的放縮等知識內容，根據這些知識就可以解決這個問題。說說4厘米與4米之間的關系，這個問題的設計意圖是讓學生從已有的知識出發，學習新知，4厘米與4米是兩個很具體的量，他們的關系是一目了然的，4厘米是4米的一百分之一，4米是4厘米的100倍。學生非常容易理解這一點，我們的課前設計是再用比的形式表示他們之間的關系，進而引出圖上距離與實際距離。這幾步走下來，學生就能夠從理解具體的數量之間的關系，進而輕松地理解圖上距離與實際距離這樣的概念之間的關系了。我們鼓勵學生用盡可能多的方式來表述當比例尺是1∶100時，圖上距離與實際距離之間的關系，這樣有助于他們從多角度去觀察、理解事物，也做到了尊重每一個學生，允許不同的學生從不同的角度認識問題，采用不同的方式表達自己的想法，使“不同的人在數學上得到不同的發展”。

二、以追問引發思考，開啟深度學習的思維

在課堂教學中有好幾處地方，我們都進行了反復提問，就是一個問題連續問了兩遍或三遍，根據以往教學經驗，無論是在哪一節數學課上，總會有幾個學生注意力不是百分之百的集中，一但提出集體回答的問題時，他們就人云亦云。如果問到了第二遍，就起到了強調和提醒的作用，能引起一些學生的注意，他們會下意識地想：是不是我說錯了？也就會快速思考，并確認答案。根據實際教學成果來看，這樣能起到強調重點知識的作用，能開啟學生深度學習的思維。

師：黑板上這些都是比例尺，誰能說說什么是比例尺？

生：比例尺就是圖上距離比實際距離。

師：是的，比例尺是圖上距離與實際距離的比。比例尺是一把尺子嗎？

生：不是。

師：比例尺是什么？

生：是一個比。

師：沒錯，那么比除了可以寫成這種形式，還可以寫成什么形式？

生：分數形式。

師：（板貼，[圖上距離實際距離]）同學們一起讀一下。

生：比例尺=圖上距離：實際距離=[圖上距離實際距離]。

師：在現實生活中，你見過比例尺嗎？在哪里見過？

生：地圖上有比例尺，房產局的墻壁上貼的平面圖上有比例尺，地球儀上有比例尺。

師：是的，比例尺在我們生活中的應用是很廣泛的，例如畫的平面圖和規劃圖上都離不開比例尺。（課件出示）同學們，現在老師手里就有一張中國地圖，誰能來找一找上面的比例尺呢？

師：給大家讀一讀這個比例尺，再把它寫在黑板上。（[112000000]）這個比例尺表示什么意思呢？

生：表示圖上距離是實際距離的一千二百萬分之一，實際距離是圖上距離的一千二百萬倍。

師：這里還有一張世界地圖，誰來找一找比例尺？1∶61000000這個比例尺表示什么意思？

生：表示圖上距離是實際距離的六千一百萬分之一，實際距離是圖上距離的六千一百萬倍。

師：同學們看黑板上的這些比例尺，你發現了什么？

生：我發現了他們的圖上距離都是1。

師：也就是他們的前項都是1。

生：我發現他們都是比。

在以上教學片段中，讓學生說說自己見過的比例尺是回憶的過程，總結比例尺的應用是傳授的過程，找地圖上的比例尺是觀察的過程，不管利用怎樣的形式，目的是讓學生知道，我們之所以要學習這個知識，是因為生活中用得到，學習它是為了方便我們的生活，讓學生感受到學習數學是為了服務于生活，而不只是為了做題、得分。

通過“觀察比例尺，說說你發現了什么”這樣的問題，將學生帶入觀察與思考之中，即使沒有發言的學生，也能夠注意到比例尺的特點，這樣就達到了全員思考、全員有所得的教學效果，還能讓學生在理解數學結果形成過程中積累數學活動經驗。正所謂趁熱打鐵，馬上讓學生計算幾個比較簡單的比例尺，目的是明確、探索和鞏固：明確計算方法，探索計算技巧，鞏固比例尺的概念。

三、以練習鞏固新知，豐富深度學習的經驗

鞏固練習部分，我們依照貼近生活的原則設計，學生興致勃勃。這些習題都富有生活氣息，洋溢著童趣。這種有效情境的創設使學生更加理解了數學與生活實際的聯系，從而達到了用數學知識服務于生活的目的。練習的難度由淺入深、由易到難，符合學生的認知規律和思考習慣。這樣的練習，能鞏固新知，豐富深度學習的體驗。

師：讓我們去看一看一直陪伴我們學習、成長的好朋友笑笑帶來了什么。（課件出示笑笑家的平面圖）你從圖中獲得了哪些信息？

生：這是笑笑家的平面圖。

生：比例尺是1：100。

生：我看到了表示方向的符號。

師：同學們觀察地真細心。那么，你們能利用笑笑為我們提供的比例尺，回答她提出的問題嗎？

師：同學們看，這是一幅中國地圖，你看到了什么？

生：它的比例尺是1：29000000。

師：你們的手中也有和它一樣的中國地圖，那么你能找到我們祖國的首都嗎？你能找到我們的家鄉沈陽嗎？估計一下，北京距離沈陽的圖上距離大概是多少？

生：2厘米。

師：請同學們測量一下，看一看你估計得準不準，然后再算一算，北京距離沈陽的實際距離大約是多少。

生：通過測量，我得到北京距離沈陽的圖上距離大約是2厘米，用2×29000000得到58000000厘米，再換成千米是580千米，所以北京距離沈陽的實際距離大約是580千米。

師：你為什么要用千米做單位呢？

生：因為用厘米，數字太大了。

師：是啊，因為距離太長，所以我們選用千米做單位比較合適。

師：如果在暑假期間，給你一次出去旅游的機會，你最想從哪兒去哪兒呢？算一算他們之間的實際距離大約是多少。和你小組里的小伙伴們分享一下。

生：我想去海南，我測量了一下沈陽到海南的圖上距離大約是9厘米，用9×29000000=261000000厘米，換成千米是2610千米，沈陽到海南的實際距離大約是2610千米。

師：同學們看，這是我家寶貝1周歲時拍的照片，（課件出示）通過測量，我得到照片上人像的高度是9厘米，攝影師告訴我，這張照片是按照1：9的比例尺制作的，你們能幫我算一算我家寶貝的實際身高是多少嗎？

生：你家寶貝的實際身高是81厘米。用圖上距離9厘米再乘9，就得到了實際身高81厘米。

師：謝謝你的幫忙。還有一張照片，（課件出示）我覺得照得還不錯，所以就把它放大了掛在家里，通過測量這張照片，得到照片上人像的高度是81厘米，你知道這張照片是按照怎樣的比例制作的嗎？

生：是按照1：1的比例制作的，因為圖上距離是81厘米，剛才我們知道了你家寶貝的實際身高也是81厘米，81比81就是1：1。

師：同學們在哪里見過1：1這個比例尺嗎？

生：在豆油的包裝上見過。

師：你說的是豆油的成分比。還有許多名人蠟像館里也是按照1：1的比例制作名人蠟像的。

師：同學們看，這是幸福路小學的全景圖，在他們學校的中間有一塊長方形的活動場地，長為80米，寬為60米。你們能幫助他們把這塊場地的平面圖畫出來嗎？不過有要求，需要按照1：1000的比例尺畫圖。

師：你是怎么畫的？

生：我畫了一個長是8厘米，寬是6厘米的長方形。

師：你是如何確定它的長與寬的圖上距離的？

生：80米就是8000厘米，用8000除以1000就是8厘米，圖上距離的長就是8厘米，同樣寬就是6厘米。

師：我們來看下一個問題，學校到小明家的實際距離為900米。你有辦法找到小明家在圖上的位置嗎？（小明家在學校的正西方）

生：根據方向標識，我知道小明家在學校的左邊。

生：這上面沒有比例尺。

師：是啊，缺少比例尺，我們該如何計算呢？這里有個標識，它是什么意思呢？比例尺分為不同的形式，像我們之前說的這些，就是數字式比例尺，還有用文字表示的，叫做文字式比例尺，剛才我們看到的那種，叫做線段式比例尺。所以它也是比例尺，通過這個比例尺，我們知道了這么長的線段就表示300米，那么小明家的位置應該在哪里呢？誰來指一指？你是怎么判斷小明家的位置的？

生：一條線段表示300米，那么3條線段就是900米了。

師：同學們，你們知道嗎，剛才我們說的這些比例尺全部都是將實際物體縮小之后形成的比例尺，這樣的比例尺叫做縮小比例尺，例如地圖上的比例尺。還有一種比例尺叫做放大比例尺，讓我們來聽一聽。（播放“你知道嗎”的錄音）

師：明白了嗎？10：1是什么意思？

生：表示用圖上距離10來表示實際距離1。

在以上的教學片段中，笑笑家的平面圖、地圖上的距離，還有后面的練習題（照片的比例、畫簡單的平面圖）等，每一道習題都能夠在實際生活中追尋到蹤跡，親切又具有實際意義。而且，這幾道習題把求圖上距離、求實際距離的不同類型也都涵蓋了。

在地圖上的距離這道練習題中，我們刻意強調了讓學生先估計北京到沈陽的圖上距離。這道題，對于學生而言比較簡單，容易上手。我們原本的設計是讓學生估計圖上距離，并且估計實際距離，然后再計算，比較估計的準確性。如果時間還允許的話，也可以按原設計讓學生多估計幾次。《義務教育數學課程標準（2011年版）》的學段目標第一學段的知識技能中要求：在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算。第二學段的知識技能中要求：理解估算的意義。如此可以看出，估算在小學階段占有重要地位。

之所以如此看重學生的估算能力，是因為在我們現實生活中估算是相當重要的。我們曾經特意留意過一天中的計算次數（不包括在課堂上的），一天之內，共計算了11次，其中有9次都是估算的。另外兩次，一次是買衣服時計算售貨員應該找回多少錢，便于核對;一次是計算打車的錢數加上燃油附加費一共是多少錢。而在生活中，例如大約要用多長時間做完飯，大約要用多久到達的目的地，前車距離有多遠，都是用估算，即使在超市購物結算時，也不用去精算錢數，因為有電腦在算。所以我們認為，估算這項能力對于每一個人來說都是很重要的，它能夠幫助我們在最快的時間內做好對事物的判斷以及處理。在以上的教學片段中，學生反饋北京與沈陽之間的實際距離時，把厘米換算成了千米，這樣的生活經驗是很可貴的，我們在這里也做了強調，希望學生在思考問題、解決問題時都能夠聯系生活實際。實際上，讓學生積累數學活動經驗是聯系學生生活經驗與學習數學知識的橋梁。

在以上的教學片段中，“你想去哪里旅游”這個開放式的問題完成好了能夠體現學生的個性，培養學生獨立的人格與主見，這是每個學生都需要具備的。用教師女兒的照片設計為習題，目的是讓學生感受到比例尺就在我們的身邊，在我們的生活之中，在我們的工作之中，也許它沒有直接標示出來，但是這個知識，這個數學原理是時刻存在于我們身邊的。而且，通過這道習題的解答，也讓學生感受到，比例尺并不都是前項為1，后項為一個很大的數字的那樣的比，也有很多像1∶9、1∶1這樣的比例尺。

在研讀教材中，如果說知識是寫在教材上的一條明線，那么數學思想就是隱含在其中的一條暗線。明線容易理解，暗線則需要教師深厚的專業素養做支撐。只有領悟并掌握教材中蘊含的思想方法，才能從整體上、本質上理解教材，才能讓精彩的教學環節發揮其真正的價值。讀未必懂，讀與懂之間必須有“思考”這座橋。教材不可能將所有價值豐富的知識發生過程都呈現出來，所以教師在教學過程中，不能簡單地照搬教材，而要既引導學生做，還要引導學生思考為什么這么做，要把學生思考過程完整展現出來。智慧的數學教學不應該只是一個由講解到接受、再到熟練的程序性學習過程，而應該是一個啟迪智慧，同時伴隨積極的數學思考的過程。

（責任編輯：楊強）