“數學實驗”教材的對比分析與思考

汪澤焱，韓 笑

(陸軍工程大學 基礎部，江蘇 南京 211101)

自1997年以來，“數學實驗”課程先后被清華大學、北京大學、北京師范大學、中國科學技術大學、國防科技大學等國內著名高校開設為一門重要的數學實踐課程。該課程主要教會大學生運用數學知識和數學軟件去解決實際問題的方法和手段，對培養大學生的實踐能力、協作意識和創新精神起到了至關重要的作用[1]，也推動了數學建模和數學實驗教學在高校的蓬勃發展，促進了高校數學教學的改革。

教材作為課程內容的基本載體和實施教學的基本依據，充分體現了教學的指導思想、教學內容體系和教學目標要求。教材是課程建設中的奠基性工作，加強教材建設是提高課程教學質量的重要內容。當前國內數學實驗教材有上百種，每種教材都有其自身特點和應用范圍。本文通過對其中使用率較高的10種教材進行詳細對比分析，指出了當前教材中存在的共性問題，并結合多年的教學體會和經驗，給出了加強“數學實驗”教材建設的思考和建議。

一、“數學實驗”教材的對比分析

為了解國內高校“數學建模”或“數學實驗”課程的教材使用情況，依托于當當網和知名高校教育網，開展了網上調查。調查發現，國內“數學實驗”教材種類繁多，數量達上百種之多，主要有《數學建模與數學實驗》等10種[2](詳情參見表1)。

表1 國內主要數學實驗教材統計表

(一)內容對比分析

1.按關鍵詞

所選10種教材內容涉及的知識范疇廣，既有屬于高等數學、概率論與數理統計和線性代數的經典內容范疇，也有屬于方興未艾的現代科學技術前沿。其中出現頻率較高的19個關鍵詞是線性代數、高等數學、優化模型、微分方程、統計模型、模式識別、回歸分析、模糊評價體系、分形學、數字圖像處理、圖像壓縮、計算幾何、參數估計、運籌學、數值計算、智能算法、排隊論、時間序列分析及數學軟件等。

下圖是部分出現頻率相對較高的關鍵詞在教材中出現情況的對比分析，圖中百分比為關鍵詞在10本教材中出現的比例。

圖1 部分高頻關鍵詞在各教材中的出現情況

由圖1可以看出，微分方程、微積分、線性方程(組)、統計推斷等關鍵詞在各教材中出現頻率均較高，也即相應數學知識點的數學實驗的設置在各教材是相對較多的。其中有關于智能算法的數學實驗在教材中出現就比較少了。在這個大數據的時代，人工智能已經成為當今研究的熱點，智能算法作為一個重要的研究工具也必須為當代大學生所熟識，所以這部分內容需要在“數學實驗”教材中補充。

2.按內容模塊

“數學實驗”教材內容大致可以分為高等數學類、線性代數類、概率論與數理統計類以及除此以外的其他類。在這10部教材中，各類所含的實驗數量比例如圖2示：

圖2 各類實驗在10部教材中的設置情況

從圖2可以看出，70%的數學實驗教材中含有高等數學類實驗，這與“高等數學”的課程性質和定位有正相關性。甚至有的教材就是專門為“高等數學”而編寫的，如表1中的《基于MATLAB的高等數學實驗》。“線性代數”和“概率與數理統計”的數學實驗設置相對少一些，有些教材甚至都沒涉及相關知識，這可能會造成學生對這兩門課程不宜進行實驗的誤解。其他類里包含智能算法、圖與網絡優化、運籌學、排隊論等實驗項目，這類實驗項目在教材里占比最少，這也是今后教材建設需要加強的內容。

3.按三門基礎課程里的實驗項目

涉及高等數學類知識點的教材主要從一元微積分、多元微積分、空間解析幾何和微分方程這幾個方面設計實驗，分別設置實驗項目個數如表2示：

表2 高等數學實驗項目設置情況統計表

從表2可以看出，微積分學類實驗項目基本上在數學實驗教材里都會涉及，且數量較多；空間解析幾何類和微分方程類實驗項目數量則較少，但微分方程類實驗項目每本教材里都會有。說明微積分學和微分方程類實驗是比較重要的。

涉及線性代數類知識點的教材主要從矩陣運算、線性方程(組)、非線性方程(組)這三個方面設計實驗，分別設置實驗項目個數如表3示：

表3 線性代數實驗項目設置情況統計表

從表3可以看出，線性代數類實驗項目數量普遍偏少，且大都集中在矩陣運算上，說明矩陣運算類實驗項目是線性代數中的重點。

涉及概率論與數理統計類知識點的教材主要從參數估計、假設檢驗、回歸分析這三個方面設計實驗，分別設置實驗項目個數如表4示：

表4 概率論與數理統計實驗項目設置情況統計表

表4中的實驗項目數量也不多，集中在參數估計和假設檢驗上，概率論中的數學實驗基本上沒有。

(二)軟件使用對比分析

國內數學實驗教材中使用的軟件主要有MATLAB、LINGO、SPSS、Mathematica和Excle，參見表5。

表5 軟件使用情況統計表

從表5中可以看出，大部分數學實驗教材主要使用MATLAB這一主流數學軟件來進行數學實驗的輔助教學。這與MATLAB突出的優勢是分不開的。MATLAB有著友好的用戶界面及接近數學表達式的自然化語言，使學者易于學習和掌握，并且其功能豐富的應用工具箱(如信號處理工具箱、通信工具箱等)，為用戶提供了大量方便實用的處理工具。

但也有教材用到兩個甚至多個數學軟件，如《數學建模實驗》此教材涉及了MATLAB、LINGO、LINDO三個輔助軟件。LINGO和LINDO確實有助于規劃問題的解決，但對于絕大多數非數學類專業的學生而言，更多的是應用數學知識去解決實際問題，數學軟件只是一種實現工具，教材中引入過多的數學軟件會讓學生顧此失彼，將數學實驗課程變為單純學習數學軟件的課程，所以在數學實驗教材編寫過程中要慎重使用數學軟件。

(三)教材結構編排的對比分析

10部“數學實驗”教材在教材整體結構的設計和章節的編排設計上有很大不同。教材整體結構上主要呈現兩種形式。一種是兩篇式，包括軟件篇和實驗篇。即教材前半部分系統介紹軟件使用方法，后半部分介紹具體數學實驗項目。第二種是融合式，即教材中軟件使用方法和數學實驗項目融合在一起呈現實驗過程。各教材整體結構詳見表6。

表6 教材整體結構編排設計情況統計表

兩篇式是從所謂的軟件入門開始的，然后再運用軟件開始進行數學實驗。這也許對于學生熟悉和掌握軟件是有益的，但是要想精通還需和實際問題相結合。融合式采用邊用邊學的方式結合具體數學問題介紹軟件，這也許會使得數學知識的學習和軟件的使用達到相得益彰的效果。

各教材具體章節的編排設計詳見表7。

表7 教材具體章節編排設計情況統計表

在具體章節的編排設計上，除了少部分綜合實驗教材，大部分教材的實驗設計都是由易到難，由簡單到綜合，循序漸進，符合學生的學習心理和學習過程。有的教材還考慮到學生數學基礎知識的參差不齊，會在實驗前或后給出數學知識要點，有助于學生學習，這是編寫數學實驗教材值得借鑒的寶貴經驗。

(四)數字資源的對比分析

各教材配套的數字資源情況如表8示：

表8 教材中配套的數字資源統計表

從表8可以看出，大多數實驗教材不僅提供紙質教材，同時還提供數字資源，包括教學視頻、案例數據、PPT、MATALB源程序等，更加有利于學生自學，這也是今后數學實驗教材編寫需要關注的方面。

(五)習題配置的對比分析

習題的數量和質量是衡量一本教材重要性的重要標志。各教材習題情況如表9示：

表9 教材中習題情況統計表

10部教材基本上都配置了各種類型豐富的習題供學生練習，但有一些教材以習題數量取勝，且以基礎題為主，綜合性、應用性、探索性的題目不多，且大多數教材沒有提供求解過程和答案。

在習題設置上，還有一些好的做法值得借鑒。比如將正文中的某些實驗內容編排在習題中，能夠啟發學生思考，利用正文中學到的思想方法去解決教材中沒有直接解決的問題；將三大類基礎課程中的復雜計算題設置為實驗教材習題，讓學生使用軟件解決，提高軟件使用效率；習題中的應用題部分選材廣泛，具有一定的啟發性探索性，需要學生將具體問題轉化為數學問題，并運用數學方法結合輔助軟件去解決，有利于開拓視野，激發學習興趣。

二、加強“數學實驗”教材建設的思考

通過對10部數學實驗教材的對比分析，可以找到一些共性問題：

一是教材更新時間比較長，10部教材中只有兩部是2018年以后的，其余都是2015年以前的。現在數學軟件更新升級速度快，數學實驗方法也在不斷優化，現有教材中有些函數或者命令發生了變化，實驗過程也許會有更好的選擇。

二是教材中都包含有“高等數學”“線性代數”和“概率論與數理統計”的數學實驗，但實驗項目數量不等、分布不均、涵蓋知識點不全，涉及的有關數學基礎知識也沒能在教材中體現。如果學生忘記了知識點，必須查找上述三本教材，部分導致學生使用數學實驗時感到不方便。

三是部分教材中數學實驗項目過于基礎簡單，只是用于解決一些數學上的基本計算問題。大數據處理、智能算法、排隊論、模糊綜合評價等方面的數學實驗項目數量過少。

四是教材中的數學綜合實驗項目基本上類同，都是一些常見的綜合數學建模案例，沒有充分考慮學生的專業特色、當前的熱點問題等。

五是部分教材中使用兩個甚至多個數學軟件，學生可能沒有那么多的時間和精力去學習多個數學軟件。有的教材中數學實驗過程或者模型求解過程過于簡單，所用到的MATLAB函數和命令也沒有列出，這將不利于學生將所學數學實驗方法用于解決問題。

六是有些教材資源建設還只停留在紙質層面上，沒有開發相應的數字資源，使用起來不方便。

為此，在編寫新的“數學實驗”教材時，要切實做到：

一是教材內容要能夠緊跟時代變化，及時對實驗內容進行調整更新，最好是3年一更新[3]。

二是實驗項目的選擇要強化“三個結合”：要與高等數學、線性代數、概率論與數理統計等三門基礎課程相結合，便于在講授三門基礎課程相關知識點時使用；要與學生所學專業相結合，設計一些專業相關度較高的數學實驗項目，激發學生學習數學興趣；要與實際應用相結合，要緊跟當前社會、科技、經濟等發展動態，適當增加大數據處理、人工智能等相關實驗項目數量[4]。

三是教材編排設計上要做到“三個注重”：注重問題分析過程，讓學生掌握實際問題到數學問題的轉化方法；注重軟件解決過程，教會學生運用軟件去編程求解問題；注重最終結果解釋，讓學生明白數學結果的還原過程。

四是教材中的數學軟件應以MATLAB軟件為主，要適當增加軟件命令基本用法、編程設計技術和最終代碼實現內容。

五是要注重數字資源建設，提供必要的拓展資料(如多媒體課件)、視頻資料(如教學視頻)、程序代碼的提供[5]。