“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材的對(duì)比分析與思考

汪澤焱，韓 笑

(陸軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 南京 211101)

自1997年以來，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程先后被清華大學(xué)、北京大學(xué)、北京師范大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)等國(guó)內(nèi)著名高校開設(shè)為一門重要的數(shù)學(xué)實(shí)踐課程。該課程主要教會(huì)大學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件去解決實(shí)際問題的方法和手段，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生的實(shí)踐能力、協(xié)作意識(shí)和創(chuàng)新精神起到了至關(guān)重要的作用[1]，也推動(dòng)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在高校的蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了高校數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。

教材作為課程內(nèi)容的基本載體和實(shí)施教學(xué)的基本依據(jù)，充分體現(xiàn)了教學(xué)的指導(dǎo)思想、教學(xué)內(nèi)容體系和教學(xué)目標(biāo)要求。教材是課程建設(shè)中的奠基性工作，加強(qiáng)教材建設(shè)是提高課程教學(xué)質(zhì)量的重要內(nèi)容。當(dāng)前國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材有上百種，每種教材都有其自身特點(diǎn)和應(yīng)用范圍。本文通過對(duì)其中使用率較高的10種教材進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比分析，指出了當(dāng)前教材中存在的共性問題，并結(jié)合多年的教學(xué)體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)，給出了加強(qiáng)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材建設(shè)的思考和建議。

一、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材的對(duì)比分析

為了解國(guó)內(nèi)高校“數(shù)學(xué)建模”或“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的教材使用情況，依托于當(dāng)當(dāng)網(wǎng)和知名高校教育網(wǎng)，開展了網(wǎng)上調(diào)查。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材種類繁多，數(shù)量達(dá)上百種之多，主要有《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》等10種[2](詳情參見表1)。

表1 國(guó)內(nèi)主要數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材統(tǒng)計(jì)表

(一)內(nèi)容對(duì)比分析

1.按關(guān)鍵詞

所選10種教材內(nèi)容涉及的知識(shí)范疇廣，既有屬于高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)的經(jīng)典內(nèi)容范疇，也有屬于方興未艾的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)前沿。其中出現(xiàn)頻率較高的19個(gè)關(guān)鍵詞是線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)、優(yōu)化模型、微分方程、統(tǒng)計(jì)模型、模式識(shí)別、回歸分析、模糊評(píng)價(jià)體系、分形學(xué)、數(shù)字圖像處理、圖像壓縮、計(jì)算幾何、參數(shù)估計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)值計(jì)算、智能算法、排隊(duì)論、時(shí)間序列分析及數(shù)學(xué)軟件等。

下圖是部分出現(xiàn)頻率相對(duì)較高的關(guān)鍵詞在教材中出現(xiàn)情況的對(duì)比分析，圖中百分比為關(guān)鍵詞在10本教材中出現(xiàn)的比例。

圖1 部分高頻關(guān)鍵詞在各教材中的出現(xiàn)情況

由圖1可以看出，微分方程、微積分、線性方程(組)、統(tǒng)計(jì)推斷等關(guān)鍵詞在各教材中出現(xiàn)頻率均較高，也即相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)置在各教材是相對(duì)較多的。其中有關(guān)于智能算法的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在教材中出現(xiàn)就比較少了。在這個(gè)大數(shù)據(jù)的時(shí)代，人工智能已經(jīng)成為當(dāng)今研究的熱點(diǎn)，智能算法作為一個(gè)重要的研究工具也必須為當(dāng)代大學(xué)生所熟識(shí)，所以這部分內(nèi)容需要在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材中補(bǔ)充。

2.按內(nèi)容模塊

“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材內(nèi)容大致可以分為高等數(shù)學(xué)類、線性代數(shù)類、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)類以及除此以外的其他類。在這10部教材中，各類所含的實(shí)驗(yàn)數(shù)量比例如圖2示：

圖2 各類實(shí)驗(yàn)在10部教材中的設(shè)置情況

從圖2可以看出，70%的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中含有高等數(shù)學(xué)類實(shí)驗(yàn)，這與“高等數(shù)學(xué)”的課程性質(zhì)和定位有正相關(guān)性。甚至有的教材就是專門為“高等數(shù)學(xué)”而編寫的，如表1中的《基于MATLAB的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》。“線性代數(shù)”和“概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)置相對(duì)少一些，有些教材甚至都沒涉及相關(guān)知識(shí)，這可能會(huì)造成學(xué)生對(duì)這兩門課程不宜進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的誤解。其他類里包含智能算法、圖與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、運(yùn)籌學(xué)、排隊(duì)論等實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，這類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目在教材里占比最少，這也是今后教材建設(shè)需要加強(qiáng)的內(nèi)容。

3.按三門基礎(chǔ)課程里的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目

涉及高等數(shù)學(xué)類知識(shí)點(diǎn)的教材主要從一元微積分、多元微積分、空間解析幾何和微分方程這幾個(gè)方面設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，分別設(shè)置實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目個(gè)數(shù)如表2示：

表2 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)置情況統(tǒng)計(jì)表

從表2可以看出，微積分學(xué)類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目基本上在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材里都會(huì)涉及，且數(shù)量較多；空間解析幾何類和微分方程類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量則較少，但微分方程類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目每本教材里都會(huì)有。說明微積分學(xué)和微分方程類實(shí)驗(yàn)是比較重要的。

涉及線性代數(shù)類知識(shí)點(diǎn)的教材主要從矩陣運(yùn)算、線性方程(組)、非線性方程(組)這三個(gè)方面設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，分別設(shè)置實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目個(gè)數(shù)如表3示：

表3 線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)置情況統(tǒng)計(jì)表

從表3可以看出，線性代數(shù)類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量普遍偏少，且大都集中在矩陣運(yùn)算上，說明矩陣運(yùn)算類實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目是線性代數(shù)中的重點(diǎn)。

涉及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)類知識(shí)點(diǎn)的教材主要從參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析這三個(gè)方面設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，分別設(shè)置實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目個(gè)數(shù)如表4示：

表4 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)置情況統(tǒng)計(jì)表

表4中的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量也不多，集中在參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)上，概率論中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基本上沒有。

(二)軟件使用對(duì)比分析

國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中使用的軟件主要有MATLAB、LINGO、SPSS、Mathematica和Excle，參見表5。

表5 軟件使用情況統(tǒng)計(jì)表

從表5中可以看出，大部分?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材主要使用MATLAB這一主流數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的輔助教學(xué)。這與MATLAB突出的優(yōu)勢(shì)是分不開的。MATLAB有著友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握，并且其功能豐富的應(yīng)用工具箱(如信號(hào)處理工具箱、通信工具箱等)，為用戶提供了大量方便實(shí)用的處理工具。

但也有教材用到兩個(gè)甚至多個(gè)數(shù)學(xué)軟件，如《數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)》此教材涉及了MATLAB、LINGO、LINDO三個(gè)輔助軟件。LINGO和LINDO確實(shí)有助于規(guī)劃問題的解決，但對(duì)于絕大多數(shù)非數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生而言，更多的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)軟件只是一種實(shí)現(xiàn)工具，教材中引入過多的數(shù)學(xué)軟件會(huì)讓學(xué)生顧此失彼，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程變?yōu)閱渭儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件的課程，所以在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材編寫過程中要慎重使用數(shù)學(xué)軟件。

(三)教材結(jié)構(gòu)編排的對(duì)比分析

10部“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材在教材整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和章節(jié)的編排設(shè)計(jì)上有很大不同。教材整體結(jié)構(gòu)上主要呈現(xiàn)兩種形式。一種是兩篇式，包括軟件篇和實(shí)驗(yàn)篇。即教材前半部分系統(tǒng)介紹軟件使用方法，后半部分介紹具體數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。第二種是融合式，即教材中軟件使用方法和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目融合在一起呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)過程。各教材整體結(jié)構(gòu)詳見表6。

表6 教材整體結(jié)構(gòu)編排設(shè)計(jì)情況統(tǒng)計(jì)表

兩篇式是從所謂的軟件入門開始的，然后再運(yùn)用軟件開始進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。這也許對(duì)于學(xué)生熟悉和掌握軟件是有益的，但是要想精通還需和實(shí)際問題相結(jié)合。融合式采用邊用邊學(xué)的方式結(jié)合具體數(shù)學(xué)問題介紹軟件，這也許會(huì)使得數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和軟件的使用達(dá)到相得益彰的效果。

各教材具體章節(jié)的編排設(shè)計(jì)詳見表7。

表7 教材具體章節(jié)編排設(shè)計(jì)情況統(tǒng)計(jì)表

在具體章節(jié)的編排設(shè)計(jì)上，除了少部分綜合實(shí)驗(yàn)教材，大部分教材的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)都是由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理和學(xué)習(xí)過程。有的教材還考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的參差不齊，會(huì)在實(shí)驗(yàn)前或后給出數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)，這是編寫數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材值得借鑒的寶貴經(jīng)驗(yàn)。

(四)數(shù)字資源的對(duì)比分析

各教材配套的數(shù)字資源情況如表8示：

表8 教材中配套的數(shù)字資源統(tǒng)計(jì)表

從表8可以看出，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)教材不僅提供紙質(zhì)教材，同時(shí)還提供數(shù)字資源，包括教學(xué)視頻、案例數(shù)據(jù)、PPT、MATALB源程序等，更加有利于學(xué)生自學(xué)，這也是今后數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材編寫需要關(guān)注的方面。

(五)習(xí)題配置的對(duì)比分析

習(xí)題的數(shù)量和質(zhì)量是衡量一本教材重要性的重要標(biāo)志。各教材習(xí)題情況如表9示：

表9 教材中習(xí)題情況統(tǒng)計(jì)表

10部教材基本上都配置了各種類型豐富的習(xí)題供學(xué)生練習(xí)，但有一些教材以習(xí)題數(shù)量取勝，且以基礎(chǔ)題為主，綜合性、應(yīng)用性、探索性的題目不多，且大多數(shù)教材沒有提供求解過程和答案。

在習(xí)題設(shè)置上，還有一些好的做法值得借鑒。比如將正文中的某些實(shí)驗(yàn)內(nèi)容編排在習(xí)題中，能夠啟發(fā)學(xué)生思考，利用正文中學(xué)到的思想方法去解決教材中沒有直接解決的問題；將三大類基礎(chǔ)課程中的復(fù)雜計(jì)算題設(shè)置為實(shí)驗(yàn)教材習(xí)題，讓學(xué)生使用軟件解決，提高軟件使用效率；習(xí)題中的應(yīng)用題部分選材廣泛，具有一定的啟發(fā)性探索性，需要學(xué)生將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法結(jié)合輔助軟件去解決，有利于開拓視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

二、加強(qiáng)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材建設(shè)的思考

通過對(duì)10部數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的對(duì)比分析，可以找到一些共性問題：

一是教材更新時(shí)間比較長(zhǎng)，10部教材中只有兩部是2018年以后的，其余都是2015年以前的。現(xiàn)在數(shù)學(xué)軟件更新升級(jí)速度快，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法也在不斷優(yōu)化，現(xiàn)有教材中有些函數(shù)或者命令發(fā)生了變化，實(shí)驗(yàn)過程也許會(huì)有更好的選擇。

二是教材中都包含有“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，但實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量不等、分布不均、涵蓋知識(shí)點(diǎn)不全，涉及的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)也沒能在教材中體現(xiàn)。如果學(xué)生忘記了知識(shí)點(diǎn)，必須查找上述三本教材，部分導(dǎo)致學(xué)生使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)感到不方便。

三是部分教材中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目過于基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，只是用于解決一些數(shù)學(xué)上的基本計(jì)算問題。大數(shù)據(jù)處理、智能算法、排隊(duì)論、模糊綜合評(píng)價(jià)等方面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量過少。

四是教材中的數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目基本上類同，都是一些常見的綜合數(shù)學(xué)建模案例，沒有充分考慮學(xué)生的專業(yè)特色、當(dāng)前的熱點(diǎn)問題等。

五是部分教材中使用兩個(gè)甚至多個(gè)數(shù)學(xué)軟件，學(xué)生可能沒有那么多的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)多個(gè)數(shù)學(xué)軟件。有的教材中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程或者模型求解過程過于簡(jiǎn)單，所用到的MATLAB函數(shù)和命令也沒有列出，這將不利于學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法用于解決問題。

六是有些教材資源建設(shè)還只停留在紙質(zhì)層面上，沒有開發(fā)相應(yīng)的數(shù)字資源，使用起來不方便。

為此，在編寫新的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材時(shí)，要切實(shí)做到：

一是教材內(nèi)容要能夠緊跟時(shí)代變化，及時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整更新，最好是3年一更新[3]。

二是實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的選擇要強(qiáng)化“三個(gè)結(jié)合”：要與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等三門基礎(chǔ)課程相結(jié)合，便于在講授三門基礎(chǔ)課程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)使用；要與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相結(jié)合，設(shè)計(jì)一些專業(yè)相關(guān)度較高的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣；要與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，要緊跟當(dāng)前社會(huì)、科技、經(jīng)濟(jì)等發(fā)展動(dòng)態(tài)，適當(dāng)增加大數(shù)據(jù)處理、人工智能等相關(guān)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目數(shù)量[4]。

三是教材編排設(shè)計(jì)上要做到“三個(gè)注重”：注重問題分析過程，讓學(xué)生掌握實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化方法；注重軟件解決過程，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用軟件去編程求解問題；注重最終結(jié)果解釋，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)結(jié)果的還原過程。

四是教材中的數(shù)學(xué)軟件應(yīng)以MATLAB軟件為主，要適當(dāng)增加軟件命令基本用法、編程設(shè)計(jì)技術(shù)和最終代碼實(shí)現(xiàn)內(nèi)容。

五是要注重?cái)?shù)字資源建設(shè)，提供必要的拓展資料(如多媒體課件)、視頻資料(如教學(xué)視頻)、程序代碼的提供[5]。