注重幾何分析巧求解幾最值

江蘇省新沂市第一中學 (221400) 束峰琛

關于解析幾何中的一些最小值與最大值問題，我們可以通過挖掘具體題目中的幾何特征，充分運用一些幾何圖形的性質和相關的幾何事實協助解題，這樣可以起到優化解題、提升思維品質之功效．本文歸納幾個典型題型并分析評注，希望能給讀者朋友有所幫助．

一、用對稱性

就是運用一個在初中平面幾何里已經證明了的幾何結論，也是光的折線原理，其核心是通過尋找點關于直線的對稱點，變折線段為直線段完成線段和(差)的最值．

例1 已知A(4，1)，B(0，4)和直線l：3x-y-1=0，試在l上找一點P，使|PA|-|PB|最大，并求P點坐標．

圖1

評注：關于線段和的最小值與線段差的最大值的問題，利用找對稱點的方法解決是經濟實用的辦法，解題中要根據題目要求解答對相應的問題，如求最值或點的坐標．

圖2

例2 已知定點A(3,1)，試在x軸和直線y=x上分別找點M和N，使△AMN的周長為最小，求此時線段MN所在的直線方程．

評注：三角形的周長就是三個線段的和，如果利用找對稱的的方法將三個線段轉換到一條直線上，這就是“兩點之間，線段最短”，從而解決了最小值問題．

二、用圓的性質

要求關于圓上的動點到定點或定直線的距離最小或最大問題，都是先求圓心到定點或定直線的距離，然后再減去或加上半徑達到求最小或最大距離的目的．

評注：解題的思路是先運用三角形的中線長公式將問題進行轉化為圓上的動點求最值問題，通過分析圓的幾何特征，抓住半徑為定值使問題轉化為定點與圓心的距離問題．

評注：通過運用圓的性質把兩個都動的點的距離問題轉化為一定一動的距離問題，這是成功解題的關鍵．

三、運用圓錐曲線定義

在橢圓、雙曲線、拋物線的定義中，有化曲為直及線段和與差的問題，這些也都是解決有關最值問題重要手段，必須注意運用．

圖3

評注：在求橢圓上的點到焦點距離問題時，運用橢圓的定義解題是較優化的方法，根據題目的需要還可以將點到焦點距離轉化為此點到對應準線的距離，這是統一定義的運用．

例6 已知拋物線方程為y2=4x，直線l的方程為x-y+4=0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，求d1+d2的最小值．

評注：本題是求動點P到定點距離與到定直線距離的和的最值，其解題思路是運用拋物線的定義、結合幾何圖形分析進行轉化求解．

四、注重幾何分析

解析幾何問題是用代數方法解決幾何問題，如果在求解過程中加強幾何分析，充分利用幾何圖形的性質列式解題會使解題過程大大優化，求最值問題也是如此．

圖4

評注：通過幾何分析，將求ΔPAB的面積最大問題轉化為點P到直線AC的距離最大，再轉化為圓心D到直線AC的距離，而此時的點P為直線m與圓D的交點．

評注：在此題求三角形面積的最大值問題中，通過將直線平移轉化分析，得到了直線與拋物線相切的極限情況，然后再由判別式法求出了極值點，這是幾何分析的成功范例．