小學數學文化教學資源設計比較研究
——以“雞兔同籠”內容為例

佛山科學技術學院 李曉慧 王 鳳 張 楠 李 霞 楊豫暉

“雞兔同籠”出自人教版四年級下冊第9 單元數學廣角部分，其教學內容包含了眾多數學史料、豐富的數學思想和精神，是設計數學文化教學資源和實踐數學文化教學的重要切入點之一。故課題組邀請了兩位經驗豐富的教師嘗試對小學數學“雞兔同籠”數學文化資源進行挖掘和設計，并進行同課異構教學實踐。本文基于上述兩份課例的數學文化教學資源設計進行比較分析，嘗試為一線教育工作者進行數學文化教學資源設計提供案例支撐和實踐性指導。

一、相關概念界定

（一）數學文化

學術界關于數學文化的內涵至今尚無統一的界定。孫宏安認為數學文化是數學相關者在從事數學活動時的“內環境”，是人類適應數學活動的環境與創造數學活動自身及其成果的總和。楊豫暉結合數學文化教學實踐對以上界定的關鍵要素（內環境、活動、成果）進行具體的闡釋：“內環境”為數學共同體在進行數學活動時的“精氣神”；“活動”由“內環境”引發和驅動，在教師設計的數學問題情境中數學共同體經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，以及進行文化創造的過程；“成果”為數學共同體所創造的文化成果，包括精神產品和物質產品。

本文在現有理論之上，將數學文化界定為在教師引導和師生互動中雙方共同經歷數學探究活動的過程以及在活動中創造的文化產品的總和。其中，創造的產品有領悟數學思想、數學精神等隱性產品，以及學生獲得的新知識和作品等顯性產品。

（二）數學文化教學資源

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出，數學課程資源包括應用于教與學活動中的各種資源。孔凡哲等人提出凡是有利于數學課程實施與生成的各種物質和非物質的條件和因素都可稱為數學資源。

基于上述觀點，本研究將數學文化教學資源界定為能夠實現數學文化價值的顯性和隱性資源。其中，顯性數學文化教學資源指可以直接使用的物化材料，如各類書籍中與數學課程內容相關的數學故事、數學名題、數學史、數學與生活等素材；隱性數學文化教學資源指內隱的德育、智育和美育價值。

二、對比分析框架

數學文化相關的對比框架研究已有諸多成果，如王建磐等從欄目分布、運用形式等維度對教材中的數學文化進行對比分析。吳俊等從欄目分布、運用水平和呈現形式等維度對小學數學教材中的數學文化進行比較研究。潘蕾瓊等人從數學文化類型及欄目設置情況、數學文化價值（德育價值、智育價值、美育價值）維度對中美小學數學教材的數學文化進行比較研究。結合本文對相關概念的界定，以上研究與本研究具有一定的相似性，有較大的借鑒意義。

基于此，本文的數學文化教學資源設計的對比分析框架包括3 個一級維度。

（1）“數學文化教學資源環節分布”為一級維度，其對應的二級維度為導入環節、探究環節、練習環節和結束環節。

（2）“數學文化教學資源運用形式”為一級維度，其對應的二級維度為數學史運用形式（點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式）和其他數學文化教學資源運用形式[外在型、內在型（可分離型和不可分離型）]。

（3）“數學文化教學資源價值體現”為一級維度，其對應的二級維度為德育價值、智育價值、美育價值。

三、“雞兔同籠”數學文化教學資源設計對比分析

（一）數學文化教學資源環節分布

為了便于比較，本研究將按照課堂環節的先后順序對兩份課例中的數學文化教學資源進行統計，如表1 所示。

表1 數學文化教學資源環節分布

數量 1 4結合學生的認知水平對“雞兔同籠”題目進行改編和簡化。鼓勵學生大膽說出自己的猜測，體現學生的主體意識。鼓勵學生展示運用列表法解決問題的過程。鼓勵學生嘗試用自己喜歡的方法探究“雞兔同籠”問題的解答。鼓勵學生展示運用列表法解決問題的過程，隨之展示不同列表方式。—鼓勵學生展示運用假設法解決問題的過程，教師結合畫圖法進行補充。啟發學生展示運用畫圖法解決的過程。從畫圖法的探究中引出假設法，引導學生上臺展示運用假設法解決問題的過程。——引導學生對四種解法進行對比分析，滲透優化的思想。數量 4 7展示并引導學生解決日本的“龜鶴算”問題。展示并引導學生運用假設法解決《孫子算經》中的“雞兔同籠”原題。展示“抬腳法”，引導學生感受古人智慧的同時深入理解假設法。展示并引導學生解決由“雞兔同籠”改編的“植樹”問題。練習環節拓展學生思維，引導學生根據“雞兔同籠”問題進行編題。數量 4 4結束環節 引導學生感悟知識的聯系，總結收獲。出示“植樹”問題，拋出提問：“總頭數？總腳數？兔腳數和雞腳數？”引導學生運用已有知識解決問題。數量 1 1總計 10 16

從上表可知，課例1 與課例2 的共同點有：以數學史為出發點，側重于挖掘教學內容中蘊含的數學史料；將教學的核心放在探究環節，有力滲透了德育、智育和美育價值；在練習環節均呈現了古人提出的“抬腳法”和日本的“龜鶴算”，并對“雞兔同籠”歷史名題進行改編，拓展學生的思維。

值得一提的是，課例2 的數學文化教學資源設計較有特色，主要體現在五個方面：一是在導入環節融入較多的數學文化資源，激發學生的學習興趣；二是關注數學與生活的聯系；三是重視引導學生逐步學會根據實際情況選擇合適的解法，滲透優化的思想；四是引導學生根據“雞兔同籠”問題自行改編，大膽表達自己的想法；五是結合學生的改編情況，自然而然地呈現“植樹”問題，促進知識遷移的同時留下懸念，激發學生進一步學習的熱情。

（二）數學文化教學資源運用形式

1.數學史的運用形式

本文采用華東師范大學汪曉勤教授建立的分析框架，按數學史與數學知識的關聯程度，將數學史的運用形式分為五類。

（1）點綴式：孤立的圖片，如數學家畫像、反映數學主題的繪畫或攝影作品等。

（2）附加式：文字閱讀材料，包括數學家生平、數學概念、歷史上的數學問題、思想方法等。

（3）復制式：直接采用歷史上的數學問題、問題解法、定理證法等。

（4）順應式：對歷史上的數學問題進行改編，使之具有適合于今日課堂教學的情境或屬性。

（5）重構式：借鑒或重構知識的發生、發展歷史，以發生法來呈現知識。

其中：（1）（2）（3）為顯性呈現方式；（4）（5）為隱性呈現方式。

基于此，對兩份課例的數學史運用形式進行統計分析（表2）。

表2 課堂中運用數學史的五種方式及水平

由表2 可知，兩份課題均沒有涉及重構式。不同點則體現在三個方面：一是課例1 主要運用的是復制式，課例2 則是附加式；二是相同內容的運用形式不同；三是同一運用形式下的具體內容的展現形式不同且拓展的內容亦有差別。

總體而言，二者在運用形式上傾向于顯性呈現，隱性呈現形式較少。從運用形式的總量來看，課例2 較為豐富，資源設計更為流暢自然，符合學生的認知特點。

2.其他數學文化教學資源運用形式

通過對比可知，課例1 僅涉及數學史，沒有涉及其他數學文化資源。課例2 涉及2 處其他數學文化教學資源：一是從數學與生活的關系中引出數學與榴蓮的相似之處；二是通過猜成語游戲，自然而然地引出“雞兔同籠”課題。總體看來，兩份課例的其他數學文化教學資源甚少，存在進一步完善的空間。

（三）數學文化教學資源價值體現

以下將從德育價值、智育價值和美育價值三方面對兩份課例進行對比分析。

1.德育價值

兩位教師善于借用《孫子算經》中的名題和教材中的閱讀材料，用多種形式讓學生感受我國古代數學文化的博大精深，激發學生的民族自豪感。此外，教師在探究環節引導學生通過化繁為簡、猜測、畫圖、列表、假設等方法獨立探究，培養學生自立自強、勇于探索的精神，逐漸樹立遠大理想并為之奮斗，體現德育價值。

二者不同的是，課例1 的教師把學生分成小組，以小組的形式進行探究，提升學生的凝聚力。課例2 的教師則是側重于鼓勵學生大膽猜想，用自己喜歡的方法來獨立探究問題，貫徹“我的課堂我做主，做學習的主人”的學習理念。

2.智育價值

兩份課例關于智育價值的體現如表3 所示。

表3 體現智育價值的數學文化教學資源

從表3 可知，兩份課例在數學文化教學資源設計方面都十分重視智育價值的滲透。此外，通過觀察上表發現，課例2 在滲透智育價值方面展現的數學文化資源相對于課例1更為充盈，其設計方式值得參考與借鑒。

3.美育價值

通過分析可知，課例1 共有3 處體現美育價值：列表法體現了數學簡潔美；假設法體現了對稱美；教師結合畫圖法加深學生對假設法的理解，并運用多媒體展示古人常用的“抬腳法”，讓學生領會數學的對稱美、邏輯美、簡潔美。

課例2 共有5 處體現數學文化的美育價值。除了課例1 體現的3 處外，還包含另外2 處：一是引導學生對四種解法進行類比優化，滲透數學的類比美；二是鼓勵學生根據“雞兔同籠”問題進行編題，滲透創新美。

由此可見，兩份課例都關注了美育價值在數學課堂中的地位，并在教學中有意滲透數學之美，幫助學生提高數學的審美能力。

四、思考與建議

（一）拓展顯性資源類別，豐富數學文化課堂

教師在進行小學數學文化教學資源設計時，除了重視數學史的滲透外，應多挖掘數學與其他學科、日常生活、人文藝術等方面的聯系，豐富數學文化課堂。另外，科學技術、人文藝術等方面與數學密不可分，亦是數學文化教學資源設計的有效素材，將數學與其融合，不僅能夠提高數學課堂的趣味性，而且有利于學生理解知識，感悟數學文化的多元性。

（二）平衡資源運用水平，優化內容呈現方式

在運用形式設計方面，應豐富和平衡資源運用水平，優化數學文化內容的呈現方式，幫助學生深入感受數學文化的魅力，逐漸實現由淺層理解到深層掌握的飛躍。另一方面，教師在教學中可以考慮多種其他數學文化教學資源的運用，引導學生多方面理解數學文化。

（三）重視隱性資源設計，關注德育價值滲透

德育在學生的終身發展中起著引領性作用，是素質教育的重要組成部分，應貫徹于所有學科之中。基于此，教師在進行數學文化教學資源設計時，需關注德育價值的滲透，如通過師生互動、教輔工具等方式構建與數學文化資源相關的德育情境等，以幫助學生獲得智育和美育的同時，形成良好的品行和德行，實現立德樹人的教學理念。