利用數(shù)學(xué)模型解決金融學(xué)問題

張梓杰 江蘇省蘇州市昆山震川高級(jí)中學(xué)

一、引言

數(shù)學(xué)是一切理科的基礎(chǔ)，是一門十分重要的基礎(chǔ)學(xué)科。數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，也推動(dòng)了其他學(xué)科的發(fā)展。以物理學(xué)為例，利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)，我們可以研究物理變量的變化趨勢(shì)，探索自由落體的規(guī)律，研究電磁相互作用等。利用數(shù)學(xué)知識(shí)，我們還可以進(jìn)行金融分析；利用函數(shù)，我們可以精確地描繪出各種金融量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)，我們可以研究金融變量隨初始投入或時(shí)間推移的變化趨勢(shì)。所以，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決金融與經(jīng)濟(jì)問題，可以更準(zhǔn)確地研究金融與經(jīng)濟(jì)規(guī)律，促進(jìn)金融產(chǎn)業(yè)的健康穩(wěn)定發(fā)展。

二、數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過數(shù)學(xué)模型的建立，可以為我們較為精確、客觀地描述生產(chǎn)生活中的問題。研究生產(chǎn)生活中的變量之間的關(guān)系，并用具有數(shù)學(xué)含義的公式描述這種關(guān)系，就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。在對(duì)數(shù)學(xué)模型求解的過程中，我們可以得到解決實(shí)際問題的方法。在遇到十分復(fù)雜的問題或者在解決不可量化的問題時(shí)，我們可能需要對(duì)問題的產(chǎn)生原因進(jìn)行深入的分析，確定不同變量之間的關(guān)系，將不可量化的影響因素轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型中的參數(shù)，從而將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、直觀地將問題表達(dá)出來。在利用數(shù)學(xué)模型求解的過程中，應(yīng)當(dāng)注意到現(xiàn)實(shí)問題的約束條件。比如，商品的產(chǎn)量和售價(jià)不可以是負(fù)數(shù)；在投資回報(bào)率為負(fù)數(shù)時(shí)，投資策略是不可行的[1]。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以高效地解決許多領(lǐng)域中的復(fù)雜問題。因此，數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。

三、數(shù)學(xué)模型在金融學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

金融是一門快速發(fā)展的學(xué)科，在企業(yè)的存貸管理、投資決策、市場(chǎng)分析、戰(zhàn)略制定中有著十分廣泛的應(yīng)用。利用數(shù)學(xué)模型，我們可以精確地分析在實(shí)踐中遇到的金融學(xué)問題，幫助企業(yè)的經(jīng)營者及管理者更好地解決遇到的存貸問題、投資管理問題，更高效地分析市場(chǎng)需求及對(duì)手戰(zhàn)略，促進(jìn)企業(yè)的發(fā)展。

（一）利用數(shù)學(xué)模型解決存貸問題

在解決存貸問題的過程中，我們需要用到指數(shù)函數(shù)的知識(shí)。實(shí)際上，指數(shù)函數(shù)在生物學(xué)、公共衛(wèi)生、社會(huì)學(xué)、金融學(xué)等領(lǐng)域，都有著十分廣泛的應(yīng)用。在對(duì)生物的繁殖規(guī)律、細(xì)胞的生長分裂以及一些正反饋的研究中，我們都要用到指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)是，它的變化快慢與原函數(shù)始終成正比。在描述生活中的類似現(xiàn)象時(shí)，都會(huì)用到指數(shù)函數(shù)。實(shí)際上，在金融投資中，尤其是分析存貸的過程中，指數(shù)函數(shù)發(fā)揮了極其重要的作用。在銀行計(jì)算連續(xù)存款的利息時(shí)，我們需要用到指數(shù)函數(shù)。假設(shè)一個(gè)人有金額為A的閑置資金，想要存入銀行，有兩種存款方式可以選擇。第一種存款方式為，定期1年，年利率10%，如果到期后繼續(xù)買入，則以復(fù)利的方式計(jì)算利息。第二種存款方式為，定期8年，年利率12%，以單利的方式計(jì)算利息。在比較兩種存款方式的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果按照第一種方式存款，存款期限為n年，則n年后的本息和為T1(n)=A＊(1+10%)^n，如果按照第二種方式存款，則8年后的本息和為T2(n)=A＊(1+8＊12%)＊n，如果這個(gè)人打算將這筆存款存入銀行8年時(shí)間，即n=8，按照第一種存款方式，T1(8)=2.14A；按照第二種存款方式，T2(8)=1.96A?？梢园l(fā)現(xiàn)，雖然第一種存款方式復(fù)利的利率較低，但是由于隨著自變量的增加，指數(shù)函數(shù)的增幅逐漸變大，8年后，第一種存款復(fù)利的本息和較高。在存貸計(jì)算中，指數(shù)函數(shù)發(fā)揮著十分重要的作用。當(dāng)存款年限較長時(shí)，復(fù)利帶來的收益是十分驚人的[2]。

（二）利用數(shù)學(xué)模型解決邊際分析問題

在邊際分析中，導(dǎo)數(shù)有著非常廣泛的應(yīng)用。如果我們知道生產(chǎn)總成本與生產(chǎn)量的關(guān)系，就可以通過求生產(chǎn)成本對(duì)生產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)，得到每個(gè)產(chǎn)品的邊際成本，這就是邊際成本的求解；如果我們知道銷售總收益與銷售量的關(guān)系，就可以通過求銷售總收益對(duì)銷售量的導(dǎo)數(shù)，得到每個(gè)產(chǎn)品的邊際收益，這就是邊際收益的求解。在進(jìn)行投資決策時(shí)，邊際分析也是十分重要的。如果我們已經(jīng)知道某個(gè)項(xiàng)目的投資收益與投資量之間的關(guān)系，就可以通過求投資收益對(duì)投資量的導(dǎo)數(shù)，從而得出單位投資增量帶來的單位收益增量，分析投資的邊際收益。邊際收益的增長速度有三種情況。當(dāng)邊際收益遞增時(shí)，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變大，此時(shí)，投資者應(yīng)在確保風(fēng)險(xiǎn)可控的情況下，適當(dāng)增加投資，從而提升資金回報(bào)率。當(dāng)邊際收益不變時(shí)，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量保持不變，此時(shí)，投資者不應(yīng)當(dāng)盲目追加投資。這是因?yàn)椋谠黾油顿Y的過程中，資金回報(bào)率不會(huì)上升，而投入的資金越多，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)越大[3]。當(dāng)邊際收益遞減時(shí)，在不斷增大投資額的過程中，收益的增量逐漸變小，此時(shí)，投資者需要控制投入資金的規(guī)模，并且在不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的情況下，適當(dāng)回撤一部分資金。下面，我們舉例進(jìn)行分析。

假設(shè)某投資者打算投資一個(gè)項(xiàng)目，當(dāng)投入資金為x（百萬元）時(shí)，投資回報(bào)率（百萬元）R(x)=[-(x+0.1)^0.5-1/ (x+0.1)+10.32]/100，通過對(duì)這一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的分析，我們可以找出投資回報(bào)率隨投入資金變化的關(guān)系。在求導(dǎo)的過程中，可以令t=x+0.1，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過程。R(t)=(-t^0.5-1/t +10.32)/100，易得R’(t)=(-0.5/t^0.5+1/t^2)/100，由于t和x是線性關(guān)系，且t隨x的增大而不斷增大，我們可以通過求R(t)的駐點(diǎn)t0，得到R(x)的駐點(diǎn)。令R’(t)>0，t<1.59；令R’(t)<0，t>1.59；令R’(t)=0，t=1.59。我們不難發(fā)現(xiàn)，R(t)在t<1.59時(shí)是單調(diào)增的，R(t)在t>1.59時(shí)是單調(diào)減的，R(1.59)是R(t)的最大值。令t=x+0.1=1.59，可以求得x=1.49。也就是說，當(dāng)x=1.49時(shí)，R(x)取得最大值0.084，當(dāng)投入資金為149萬元時(shí)，投資回報(bào)率最高，為8.4%。投資者可以根據(jù)計(jì)算結(jié)果，投入適當(dāng)?shù)馁Y金，從而獲得更豐厚的回報(bào)。

（三）利用數(shù)學(xué)模型解決需求價(jià)格彈性問題

在金融分析中，我們常常需要研究商品的需求規(guī)律，從而做出相應(yīng)的決策。提高企業(yè)的收入。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，我們可以描述商品的需求隨價(jià)格變化的規(guī)律，并根據(jù)需求價(jià)格彈性，制定合適的銷售策略。假設(shè)A商品的價(jià)格為p時(shí)，市場(chǎng)需求量為q，我們就可以根據(jù)商品的歷史銷售數(shù)據(jù)，得到需求函數(shù)q = q( p) ，如果需求函數(shù)可導(dǎo)，我們就可以求出商品的需求價(jià)格彈性Ep：Ep = p/ q( p)＊q＇( p)。需求彈性在經(jīng)濟(jì)及金融學(xué)研究中，有著十分重要的作用。它可以較為直觀地反映表示某種商品需求量q 對(duì)價(jià)格p 變化的敏感程度。我們可以將Ep理解為需求量變化的百分比與價(jià)格變化的百分比之比。我們可以根據(jù)某一商品在某一價(jià)格處的需求價(jià)格彈性，制定合適的銷售策略[4]。

當(dāng)| Ep | < 1 時(shí)，如果企業(yè)采取降價(jià)策略，商品的需求量將發(fā)生較小的變化，總銷售收入將下降。如果企業(yè)想要提高營收，則應(yīng)在可接受的范圍內(nèi)提高價(jià)格。當(dāng)| Ep | > 1時(shí)，如果企業(yè)采取降價(jià)策略，商品的需求量將發(fā)生較大的變化，總銷售收入將上升。企業(yè)應(yīng)當(dāng)在保證銷售價(jià)高于成本價(jià)的同時(shí)，適當(dāng)降價(jià)，從而增加銷售收入。當(dāng)| Ep | 接近1 時(shí)，無論是漲價(jià)還是降價(jià)，由于需求將發(fā)生等比例反向變化，商品的總銷售收入將不會(huì)發(fā)生大的變化。因此，企業(yè)可能需要采取其他措施，提高總利潤。因此在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，企業(yè)的經(jīng)營者應(yīng)該充分利用導(dǎo)數(shù)，分析所經(jīng)營的商品的需求價(jià)格彈性，正確把握市場(chǎng)動(dòng)向，及時(shí)根據(jù)趨勢(shì)調(diào)整商品的價(jià)格，從而增加企業(yè)利潤[5]。

（四）利用數(shù)學(xué)模型解決市場(chǎng)分析問題

在制定市場(chǎng)戰(zhàn)略的過程中，企業(yè)常常需要對(duì)市場(chǎng)情況進(jìn)行分析，在這個(gè)過程中，我們可能需要用到導(dǎo)數(shù)及博弈論的知識(shí)[6]。假設(shè)在壟斷市場(chǎng)上，有兩家企業(yè)A和B。這兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種商品，且A企業(yè)和B企業(yè)的生產(chǎn)成本均為300元/件，且生產(chǎn)成本在未來一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生變化。這兩家企業(yè)的經(jīng)營者面臨著一個(gè)相似的問題：如何制定市場(chǎng)戰(zhàn)略，才能提高銷量，獲得更多的利潤？在此，我們假設(shè)兩家企業(yè)都是理性的，且它們?cè)谥贫ㄉa(chǎn)及銷售計(jì)劃時(shí)不考慮對(duì)手的計(jì)劃。它們面對(duì)的需求曲線為q=600-p。由于以上兩家企業(yè)幾乎完全相同，我們可以考慮其中一家企業(yè)的決策，從而推斷另一家企業(yè)的決策。設(shè)企業(yè)A的售出x件商品，總利潤為RA，企業(yè)B售出y件商品，總利潤為RB。那么RA(x)=(600-x-y)x-300x=-x^2-xy+300x, RA’(x)=-2x-y+300，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，當(dāng)y不變時(shí)，RA(x)隨x的增大先變大后變小，當(dāng)RA’(x)=0時(shí)，RA取最大值 。令RA’(x)=0，x=(300-y)/2。類似地，企業(yè)B應(yīng)選擇y=(300-x)/2，聯(lián)立這兩個(gè)方程并求解，我們可以得到，x=y=100，RA(x)=10000，RB(y)=10000，也就是說，當(dāng)兩家企業(yè)處于競(jìng)爭(zhēng)狀態(tài)時(shí)，他們都將以100件為銷售目標(biāo)。在銷售100件時(shí)，A企業(yè)和B企業(yè)的總利潤相同，為10000元。

四、結(jié)語

利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，我們可以高效地分析許多經(jīng)典的金融學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)問題。在求解數(shù)學(xué)模型的過程中，要注意利用換元法，將較復(fù)雜的部分當(dāng)做一個(gè)整體，從而簡(jiǎn)化函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，更清晰地顯示函數(shù)的變化規(guī)律。當(dāng)遇到包含多個(gè)變量，且變量之間存在較為復(fù)雜的關(guān)系的時(shí)候，可以借助信息技術(shù)，建立較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，并將模型可視化，從而高效地解決需要分析的問題。