淺析概率論與數理統計在生活中的應用

許欣蘭 寶安中學

一、引言

概率論及數理統計是數學世界中較新的成員。概率是由兩位法國人Blaise Pascal和Pierre Fermat于1654年發明的。統計學的誕生則與著名的數學家高斯（Gauss）和拉普拉斯（Laplace）有關。在19世紀初，這兩位偉大的數學家在工作中意識到統計的重要性，不過，由于當時他們缺乏有力的數學工具，因此，他們并沒有深入研究統計學及相關的數理知識。后來，經過數學家近半個世紀的努力，統計理論才得到了發展[1]。在生產及生活中，統計學有著十分廣泛的應用。在研究工程、商業、醫學問題時，我們都會用到統計學知識。幾乎每一個較為復雜的社會科學和自然科學問題，都離不開統計學。醫生可能會依賴利用概率方法的計算機程序，來解釋某些醫學測試的結果；預拌公司的工人在混合混凝土時，也需要使用基于概率論的圖表；稅務人員在確定房屋的價值時，需要使用計算機上的統計軟件。科學與技術的發展是相輔相成的。隨著信息技術的發展，概率論與數理統計的應用將更加廣泛。

二、概率論與數理統計

作為數學的一個重要分支，概率論與數理統計在許多領域都有著廣泛的應用。概率論主要研究隨機事件的發生規律，而數理統計則是根據與概率相關的知識，解釋統計結果，或對總體的特征進行預測。在研究與概率論、數理統計相關的問題的過程中，我們需要首先分析數據的特征，選擇合適的模型，對數據的特征進行深入的分析，從而研究隨機事件的發生規律或某一指標的發展趨勢[2]。

三、正態分布及其在生活中的應用

（一）正態分布及其特征

正態分布是最重要的連續概率分布之一，在自然科學、工程學、醫學等領域都有著十分廣泛的應用。正態分布是描述生活及生產中一系列連續概率分布的最常用描述方式。當我們以相應的統計值為橫坐標，以概率為縱坐標時，就可以得到這些變量的概率密度函數圖像。統計學研究表明，對于符合正態分布的變量而言，其概率密度函數圖像的位置（即平均值）和參數（即標準差）可能是不同的，但是其一般形狀是幾乎相同的，典型的正態分布曲線是對稱的鐘形曲線。

正態分布有著近300年的歷史，一般認為，正態分布的理論發展始于棣莫弗（de Moivre）。在對二項分布進行研究的過程中，棣莫弗對一些情況進行了近似。然而，正態分布理論的發展較為緩慢，在之后的一個世紀中，許多著名的數學科學家嘗試進一步探索正態分布的特征。但是囿于當時的研究條件，他們始終沒有取得較大的進展[3]。不過，在不懈的探索中，科學家已經逐漸意識到，生活及生產中的許多變量都服從正態分布，正態分布在生物學、醫學、工程學、經濟學、金融學等學科的研究中都有著十分廣泛的應用。根據正態分布理論得出的模型非常可靠，能夠解決許多在實際應用中遇到的不確定性問題。

當連續隨機變量X服從一個數學期望（即均值）為μ、方差為σ^2的正態分布時，我們可以將其記作X～N（μ，σ^2）。數學期望μ決定了其概率密度函數圖像的位置，其標準差σ決定了分布的幅度，也就是圖像的“高矮胖瘦”。一般而言，從總體采樣時，概率密度函數圖像的位置與圖像的“高矮胖瘦”沒有必然聯系。

實際上，很多研究對象的多項特征都是服從正態分布的，正態分布在解釋實驗和觀察結果中具有不可估量的價值。正態分布模型可以很好地對數據進行擬合，能夠滿足大多數情況下的統計學需求。

拉普拉斯進一步發展了正態分布理論，他很好地解釋了正態分布的形成原因。拉普拉斯認為，大量的獨立隨機變量相加時，會產生一個量，這個量一般服從正態分布。因此，一群人的身高可能是服從正態分布的。首先，我們可以這樣認為，每個人都是他各個部分的總和。他的頭顱、軀干、腿腳，共同構成了他的身高。如果我們對頭顱、軀干、腿腳本身的長度或高度進行研究，就會發現，這些變量可能服從正態分布，也可能不服從正態分布，但是，當我們將這些隨機變量相加時，它們的總和往往會具有正態分布的特征。其次，我們還可以從影響發育的因素，對身高的正態分布特征進行分析。每個人的身高都與遺傳因素及環境因素（如生活習慣、經濟狀況）相關，在發育的每個階段，與其他階段的事件基本不相關的事件，會對特定個體的最終身高產生負面或正面的影響。這些相互獨立的事件，都有可能影響個體的身高，因為每個事件的影響都不太大，這些事件本身的特征幾乎不會體現在身高這一“總和變量”的分布特征中[4]。

由于將總和的各個分量相加后，變量的“正態性”更強，因此確保總和變量服從正態分布的條件，比確保各個變量服從正態分布的條件更寬松。不過，只有總和的分量具備一定的正態分布特征，總和才可能具備正態分布的特征。因此，只能在嚴格限制的條件下，總和變量才嚴格服從正態分布。

（二）正態分布在生活中的應用

我們以生活中的常見場景為例，說明正態分布在生活中的應用。王經理承包了一片魚塘，在這片魚塘中，他養了約20000條鯉魚。最近，王經理想要統計魚塘中鯉魚的重量分布情況，從而決定是否進行捕撈。他隨機捕撈了100條鯉魚，并一一稱出了這些鯉魚的重量，并對得到的數據進行了簡單的分析與處理。經過計算，這100條鯉魚的平均重量是2.5kg，標準差為0.5kg。如何通過這100條鯉魚的重量分布情況，初步估計池塘中所有鯉魚的重量分布情況呢？在這個問題中，我們需要首先對自然條件下鯉魚的重量分布規律進行基本的估計，由于池塘中幾乎所有鯉魚都處于完全相同的生長條件下，其重量服從正態分布。對被抽到的100條鯉魚的重量數據進行分析時，我們得到了正態分布的兩個十分關鍵的特征數據——鯉魚重量的平均值是2.5kg，標準差是0.5kg。如果我們用m表示鯉魚重量這一變量，則我們可以根據前述分析得到m～N（2.5，0.5^2），因此，我們可以根據正態分布的3σ原則，得到池塘中所有鯉魚的重量分布情況：重量介于2 ～ 3kg之間的鯉魚約占總數的68.27%，也就是約13654條，重量介于1.5 ～ 3.5kg之間的鯉魚約占總數的95.45%，也就是約19090條，重量介于1 ～ 3kg之間的鯉魚約占總數的99.73%，也就是約19946條。根據正態分布，如果我們隨機從魚塘中捕一條鯉魚，這條鯉魚的重量應介于1.5 ～ 3.5kg之間。

測量誤差也是服從正態分布的[5]。假設老師有一個長度為10cm的零件，他要求同學們用刻度尺測量零件的長度。多數同學得到的結果都會非常接近10cm，部分同學的結果可能有一定的偏差。如果老師要求100個同學測量零件的長度，這些同學的測量誤差應當服從平均值為0cm的正態分布，如果這些同學非常粗心，則測量誤差的標準差較大，其概率分布曲線較為“矮胖”；如果這些同學較為細心，則測量誤差的標準差較小，其概率分布曲線較為“高瘦”。

此外，一些氣象學、工程學、醫學中的變量，也服從正態分布。需要注意的是，正態分布模型中的隨機變量的取值范圍應當為（-∞，+∞），而這些領域中的變量，如年降水量、血紅蛋白水平等都是非負值。此外，正態分布要求變量關于均值對稱，而與水文相關的統計數據可能會出現一定程度的偏倚，如果應用上述公式直接進行處理，可能得不到可靠的結果。在處理這類數據時，我們可能需要應用改良的正態分布模型進行分析，才能更好地把握數據的規律，提高分析結果的準確性[6]。

四、二項分布及其在生活中的應用

二項分布是n個獨立的是非試驗中成功的次數的離散型概率分布，也是一種生活中十分常見的概率分布。我們需要特別注意二項分布的應用條件。只有這些實驗可以在相同的情況下任意重復多次，且每次試驗都可能得到兩種結果、每次試驗得到這兩種結果的概率都完全相同時，才能運用二項分布的知識對問題進行求解。一個十分典型的例子就是擲硬幣問題。在拋硬幣時，我們只會得到兩種結果——正面朝上或反面朝上。計算擲n次硬幣時，有m次正面朝上的概率時，我們就需要應用與二項分布相關的知識。首先，在擲硬幣時，正面、反面朝上的概率均為0.5，即 p = 1-p = 0.5。因此，我們在計算有m次正面朝上的結果的概率時，可以這樣進行計算：P (m) = C_n^m＊pm＊(1-p)n-m = C_n^m＊0.5n。在計算新生兒出生率、彩票中獎率時，我們都需要用到二項分布的知識。需要注意的是，如果各次試驗結果之間并不是相互獨立的，而是有著一定的聯系，那么我們不能應用正態分布來分析出現某一結果的概率。

五、概率論與數理統計的局限性

目前，概率論及數理統計的計算方法已經非常成熟，其在許多領域的應用都十分廣泛。不過，目前，我們對概率論的認識實際上是非常有限的。在預測隨機過程的結果的過程中，我們實際上很難高效地得出可靠的結論。在實踐中，許多依照當前理論得出的計算結果并不可信。即使應用計算機技術輔助計算或模擬隨機過程，也可能得不到非常貼合實際的模型。如何提高理論模型的準確性及預測性，是數學家面臨的十分關鍵的問題。例如，混合模型一直是統計學家的挑戰，無論是初學者，實踐者還是理論家，都無法很好地解釋這個模型的原理。此外，我們很難根據實際情況改造混合模型，使之更符合應用的要求。其實，還存在許多類似的“未知模型”，我們雖然了解這些模型的表達式，卻幾乎無法將其應用于實際生活中，這是一個非常嚴重的問題。如何提高模型的預測性，是一個十分關鍵的問題。我們應當注意將理論與實踐相結合。在建立模型后，應當根據實際結果，進行回歸分析，關注統計數據與模型預測值之間的差異，從而不斷調整模型，使模型更加貼合實際。這是非常重要的。只有不斷調整所建立的模型，才有可能突破概率論的局限性，使得到的結論更加可靠。

結語：概率論與數理統計是分析隨機事件及隨機過程的利器。許多研究人員從理論和應用的角度對其進行了研究。他們不斷發展概率理論，改進數理統計方法，使模型更加貼合實際。利用這些模型，我們可以高效地對隨機事件及隨機過程的結果進行預測，從而得到可靠的結論。在應用概率論及數理統計知識的過程中，我們可能需要首先分析實際情況的特征，從而應用適合這一情況的模型進行預測，否則，預測的結果將不夠可靠。