解三角形中的最值、范圍問題

◇ 山東 馮海俠

在新高考形勢下,“解三角形”應該會出現在第17題或第18題的位置,一般都屬于中等或中等偏下難度的題目,是學生必拿分的題．高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活,題型多變、綜合性強,有利于培養學生的創新意識．這類問題簡單,但部分學生卻拿不到滿分,尤其是求最值或范圍的問題．下面筆者以兩道高考題為例來歸納這類問題的解答方法及技巧,希望能幫助讀者突破瓶頸,提高學習效率．

例1(2019年全國卷Ⅲ理18)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinA．

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形,且c＝1,求△ABC面積的取值范圍．

解析

又因為B∈(0,π),所以,則0,所以,則,即

所以

又因為△ABC是銳角三角形,故且,所以則,即,所以

例2(2013年全國卷Ⅱ理17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a＝bcosC＋csinB．

(1)求B；

(2)若b＝2,求△ABC面積的最大值．

解析

(1)由已知條件及正弦定理得

又因為A＝π－(B＋C),故

由①②得sinB＝cosB,又B∈(0,π),所以

(2)△ABC的面積,由已知條件及余弦定理得,故當且僅當a＝c時,等號成立．因此,即△ABC面積的最大值為

解三角形中的最值及范圍問題主要有兩種方法,其一是利用基本不等式求最大值或最小值,這類問題多與余弦定理相結合,常見形式如下．

(1)a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2bccosA,從而求出bc的最大值；

在使用基本不等式時一定不要忘了等號的驗證,同時,要將所求式子轉化為含有一個未知數的函數,大多情況下是轉化成關于某個角的函數,利用三角函數性質及角的條件求解,有時也轉化為某個邊的函數,再結合邊的范圍求解．解三角形中的最值和范圍問題是重點也是難點,綜合性較強,所以學生不僅要有扎實的基本功,還要靈活應變,掌握做題技巧,這樣在高考中才能取得滿意的成績．