融入數學文化的教學實踐與思考
——以《導數及其應用》第一課時為例

陳財釵

(福建省三明市大田縣第一中學 366100)

文化是什么？沒準確的定義，但共同的理解是相對于經濟、政治而言的人類全部活動及其產品.

談到數學文化，往往會聯想到數學史.數學史對學生數學素養的培養起著重要的作用.以數學史為背景進行課堂教學，可以培養學生探究能力，可以培養學生敢于挑戰、勇攀高峰的科學精神.筆者以《導數及其應用》第一課時為例，談談如何融入數學文化進行課堂教學.

【教學目標】讓學生了解微積分的建立過程，體會微積分這一里程碑式的偉大思想.

【教學重點】了解微積分的建立，體會微積分中蘊含的數學思想，引領本章的學習

【教學難點】了解為什么要建立微積分，以及其建立過程，了解這章的學習目標和任務

【教學過程】：

一、情境設置

1.我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度,如何描述這種現象呢?

2.我們學過了橢圓的有關知識，但它的面積怎么求？

設計意圖從生活入手，讓學生知道數學與我們生活息息相關，由兩個例子過渡到微積分知識，激發學生學習的積極性，引起學生探知欲望，為本節課的學習做好鋪墊.

二、講授新課

1.章前言的學習

請同學閱讀章前言，了解本章所學的主要研究內容和研究方法.

2.微積分的建立歷史背景

(一)極限思想的萌芽

魏晉時期數學家劉徽的“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”古希臘的安提芬的窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想.古希臘數學家阿基米德進一步完善了“窮竭法”，并將其廣泛應用于求解曲面面積和旋轉體體積.這些都體現了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形.

設計意圖了解早期的極限思想及為微積分思想的建立作出貢獻的數學家們，同時進行數學文化和愛國主義教育.

(二)建立微積分的源頭

微積分創立首先是為了處理下列四類問題：

(1)物體運動的路程與時間的關系，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體運動的加速度與速度，求物體在任意時刻的速度與路程；

(2)求曲線的切線，這是一個純幾何的問題，但對于科學應用具有重要意義.例如：運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向是軌跡的切線方向；

(3)求函數的最大值和最小值問題.如：在彈道學中涉及到炮彈的射程問題；

(4)求積問題.求曲線的弧長，曲線所圍區域的面積，曲面所圍的體積，物體的重心等.

設計意圖讓學生了解微積分的建立是與物理學的發展分不開的，這章的學習主要將從為解決這幾個問題入手，解決和這幾類有關的簡單數學問題，激發學生的學習興趣，也為本章學習作鋪墊.

(三)微積分的建立：

(1)微積分的創始人

圍繞著解決上述四個核心的科學問題，微積分問題至少被十七世紀十幾個著名的數學家和其他一些的數學家探索過.

牛頓和萊布尼茨達到了研究的頂峰.他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題(微分學的中心問題)，一個是求積問題(積分學的中心問題).

①艾薩克·牛頓(IsaacNewton，1643-1727)，英格蘭物理學家、數學家、天文學家、自然哲學家和煉金術士.牛頓平生三大發明：流數術(微積分)、萬有引力、光的分析.牛頓完整地提出微分和積分是一對逆運算，牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮.

②萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716)，德意志哲學家、數學家，和牛頓同為微積分的創建人.萊布尼茨研究微積分側重于幾何學來考慮的.精心設計了非常巧妙簡潔的微積分符號，從而使他以偉大數學家的稱號聞名于世.

設計意圖讓學生了解這兩位偉人所做的工作，在前人的基礎上如何完善，培養學生敢于挑戰、敢于攀峰的科學精神.

(2)微積分的建立

①微積分的發展史順序是: 積分—微商—極限—函數—實數.

②微積分的邏輯順序是：實數—函數—極限—微商—積分.

(3)微積分的課程

在大學，微積分是“高等數學”的主要內容之一.在高中微積分是高中選修課程的一部分.

設計意圖讓學生了解微積分和我們所學的實數、函數之間的關系，從而拉近距離，找到知識本源，也讓學生在學習這部分知識時能找到知識基礎.

(四)微積分的應用

(1)微積分學

物理中經典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯系.已知物體質量，動摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計算.生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變.化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退.經濟學亦經常會用到微積分學.幾乎所有現代科學技術都以微積分學作為基本數學工具.

設計意圖讓學生知道微積分學是個什么學科，它的應用在哪里，研究問題和研究方法分別是什么？

(2)微積分蘊含的數學思想

①直與曲的思想；②常量與變量的思想；③有限與無限的思想；④局部與整體的思想；⑤連續與離散的思想；⑥近似與精確的思想；⑦特殊與一般的思想.(5)微積分的思想方法：①極限思想；②函數思想；③化歸思想；④數形結合思想；⑤微分與積分的思想.

設計意圖讓學生了解微積分所蘊含的數學思想方法，這些思想方法有些是我們熟知的，有些是我們不了解的，激勵學生勇于攀峰，激起學生學習本章濃厚的興趣.

三、歸納總結

通過這節內容的學習，你對微積分有什么認識？有什么感悟？

以數學史為情景材料，可以引導中學生理解數學，對培養學生學習數學的興趣起到積極的推動作用；可以讓學生感受數學家的崇高品質以及探究解決數學問題的過程；可以弘揚中國優秀傳統文化，并使潛移默化增加學生的愛國主義情感.根據學生的認知水平，數學史是歷代數學家心血和汗水的結晶，將數學史知識恰當地融入高中課堂，讓學生了解數學發展思維是充滿辯證關系的.從而培養學生嚴謹求是、執著追求、開拓創新的精神，使學生逐步了解數學、認識數學、感悟數學和享受數學.