理解“或”的含義要區別對待

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

一、有時“或”表示取并集(所有的對象都要取到)

例1 (教科書[1]第7-8頁例1第(1)小題)解方程x2-8x+1=0.

解析移項，得x2-8x=-1.

配方，得x2-8x+42=-1+42.

即(x-4)2=15.

例3 (教科書[2]第35頁例1)證明：與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡方程是xy=±k.

圖1

證明(1)如圖1，設M(x0,y0)是軌跡上的任意一點.因為點M與x軸的距離為|y0|，與y軸的距離為|x0|，所以|x0|·|y0|=k，即(x0,y0)是方程xy=±k的解.

(2)設點M1的坐標(x1,y1)是方程xy=±k的解，則x1y1=±k，即|x1|·|y1|=k.而|x1|,|y1|正是點M1到縱軸、橫軸的距離，因此點M1到這兩條直線的距離的積是常數k，點M1是曲線上的點.

由(1)(2)可知，xy=±k是與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡方程.

注因為xy=±k?xy=k或xy=-k，所以這里的“或”表示取并集(所有的對象都要取到)：題意即“與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡是由兩條等軸雙曲線xy=k與xy=-k組成的集合”.

另外，教科書[1]第34-35頁給出了“曲線的方程”及“方程的曲線”的定義.

一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：

(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

由此定義可知，曲線的方程(有時也叫做軌跡方程)是“一個二元方程f(x,y)=0”.

當然，由xy=±k?|xy|=k?x2y2=k2知，可把xy=±k看成“一個二元方程|xy|=k”或看成“一個二元方程x2y2=k2”.

為了簡潔，還是建議把例1及其證明中的三處“xy=±k”均改為“|xy|=k”，把“x1y1=±k”改為“|x1y1|=k”；或者把三處“xy=±k”均改為“x2y2=k2”，把“x1y1=±k”改為“x12y12=k2”.

例4 (教科書[2]第37頁習題2.1的A組第2題)求和點O(0,0),A(c,0)距離的平方差為常數c的點的軌跡方程.

例5 已知動點P到定點F(1,0)的距離與到直線x=3的距離之和為4，則動點P的軌跡方程是____.

所以(x-1)2+y2=(x+1)2(-1≤x≤3).

所以y2=4x(0≤x≤3).

所以(x-1)2+y2=(7-x)2(3

所以y2=48-12x(3

例6 若動點P到定點F(1,0)的距離比它到y軸距離大1，則動點P的軌跡方程是____.

解析y2=4x或y=0(x<0).設動點P(x,y).

若x<0，可得題設即動點P到定點F(1,0)與它到直線x=-1的距離相等，可得其軌跡是直線x=1的過點F的垂線在y軸左側的部分，其方程是y=0(x<0).

若x≥0，可得題設即動點P到定點F(1,0)與它到直線x=1的距離相等，可得其軌跡是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線不在y軸左側的部分，其方程是y2=4x.

綜上所述，可得所求軌跡方程是y2=4x及y=0(x<0).

注本題答案中的“或”表示取并集(所有的對象都要取到)：題意即動點P的軌跡是“由拋物線y2=4x(x≥0)與不含端點的射線y=0(x<0)組成的集合”.

例7 已知動圓M與兩圓C1:(x+4)2+y2=2及C2:(x-4)2+y2=2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是____.

綜上所述，可得答案.

解析如圖2所示：

圖2

二、有時“或”表示只能取其一(不能取其二)

例9 (1)本文的作者甘志國是男性或女性；

(2)北京市豐臺區豐臺第二中學2021屆高考狀元是男性或女性；

(3)今天是星期一或星期二或星期三或星期四或星期五或星期六或星期日.

注這三句話中的“或”表示只能取其一(不能取其二，更不能取其三、其四、……).

例12 (1)(資料[4]第26頁第5題)若拋物線過點(-1,3)，則該拋物線的標準方程為____；

(2)(教科書[2]第73頁第4(1)題)根據條件“頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6”，求拋物線的標準方程，并畫出圖形.

注答案中的“或”均表示只能取其一(不能取其二).

例13 (2013年高考新課標全國Ⅱ卷第10題)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|=3|BF|，則l的方程為( ).

A．y=x-1或y=-x+1

注該題選項中的“或”均表示只能取其一(不能取其二).

例14 教科書[2]第57頁最后兩段話中分別寫道：

(2)雙曲線x2-y2=a2的漸近線方程為y=±x.

注①因為漸近線是直線，所以(2)中的“漸近線方程為y=±x”即“漸近線方程為y=x或y=-x”，其中的“或”表示只能取其一(不能取其二).

圖3

②(1)的敘述不清楚，建議改述為：

例15 建議把教科書[5]第2頁的“思考”作改動.

教科書[5]第2頁寫到：

思考用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

因為英文字母共有26個，阿拉伯數字0～9共有10個，所以總共可以編出26+10=36種不同的號碼.

探究你能說說這個問題的特征嗎？

上述問題中，最重要的特征是“或”字的出現：每個座位可以用一個英文字母或一個阿拉伯數字編號.由于英文字母、阿拉伯數字各不相同，因此用英文字母編出的號碼與用阿拉伯數字編出的號碼也是各不相同的.

一般地，有如下原理：

分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

注上述思考題的答案不對，完整的解答應當是：

(1)只用一個大寫的英文字母編號，得26個.

(2)只用一個阿拉伯數字編號，得10個.

(3)只用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字編號且字母在前，得26×10=260個.

(4)只用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字編號且字母在后，得10×26=260個.

所以所求答案是26+10+260+260=556.

因為以上“思考”是為了總結出“分類加法計數原理”，所以建議把“思考”改為：

思考用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號(字母和數字不能同時選取)，總共能夠編出多少種不同的號碼？

這樣改動后，而后的文字不需再改動.

教科書[4]產生以上的錯誤原因是沒有理解“思考”中的“或”表示取并集(所有的對象都要取到)，而不是只能取其一(不能取其二).因而，在使用分類加法計數原理解題時，分類要保證“不重不漏”.

三、有時“或”表示能取部分(至少能取其二)

例16 (1)在未來的某一周里，已知周一、周二、周三、周四、周五均上班，周六、周日均不上班.如果上班族的G先生在這一周的某一天不上班，那么這一天是周四或周五或周六或周日；

(2)(本文的寫作時間是公歷2020年5月3日)公歷2021年2月8日-14日分別是農歷2020年臘月二十七-三十，2021年正月初一-初三，其中2020年臘月三十-2021年正月初三是假日(這連續的四天分別是周四、周五、周六、周日，上班族的G先生在假日不上班).如果G先生在公歷2021年2月8日-14日這一周的某一天不上班，那么這一天是周一或周二或周三或周四或周五或周六或周日；

(3)聽覺不靈敏的G先生躺在床上聽到他的四胞胎孫a,b,c,d(其中只有d是孫女)中的兩個孫子在說話，G先生斷言在說話的孫子是a或b或c.

注(1)這句話中的“或”表示能取“周四、周五、周六、周日”中的其二：周六、周日；

(2)這句話中的“或”表示能取“周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日”中的其四：周四、周五、周六、周日；

(3)這句話中的“或”表示能取“a,b,c”中的其二.